"Свойства пересекающихся хорд"

Автор: Рычкова Елена Михайловна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МОУ СОШ №26
Населённый пункт: г. Вологда
Наименование материала: Методическая разработка урока геометрии в 8 классе
Тема: "Свойства пересекающихся хорд"
Дата публикации: 05.09.2015







Вернуться назад       Перейти в раздел





Текстовая часть публикации


Конспект

урока математики
Учебный предмет:
геометрия

8 класс

Урок спланирован в соответствии с УМК «Геометрия 8 класс». Авторы Л.С. Атанасян и др.

Тема урока:
Свойства пересекающихся хорд
Цель урока:
восприятие и первичное осознание учебного материала по теме «Свойства пересекающихся хорд», выработка умений и навыков по решению задач на применение теоремы об отрезках пересекающихся хорд;
Образовательные задачи:
1. Повторить математические понятия по теме «Окружность»; 2. Сформулировать и доказать теорему об отрезках пересекающихся хорд; 3. Применить теорему при решении геометрических задач; 4. Узнать, как можно применять теорему об отрезках пересекающихся хорд в практической деятельности.
Развивающие задачи:
1. Продолжить развитие таких мыслительных процессов как: внимание, память, логическое мышление; 2. Развитие информационной, коммуникативной, кооперативной и проблемной компетенции (классификация В.И.Блинова, И.С.Сергеева)
Воспитательные задачи:
1. Воспитать волю и настойчивость в достижении поставленной цели;
Тип урока
: урок изучения, первичного предъявления и закрепления нового знания.
Оборудование:
мультимедийный проектор (интерактивная доска), экран, слайды.
План проведения урока:
1. Организационный момент (2 мин.) 2. Актуализация знаний (5 мин.) 3. Целеполагание (3 мин.) 4. Первичное предъявление нового материала (15 мин.) 5. Минута релаксации 6. Первичное закрепление материала (10 мин.) 7. Задание на дом (3 мин.) 1
8. Рефлексия (2 мин.) Итого: 40 минут 2



Этапы урока

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

МОТИВАЦИОННЫЙ ЭТАП

1.
Организационный момент Учитель приветствует учащихся, проверяет их готовность к уроку. – Здравствуйте, ребята, садитесь! Я рада видеть вас на уроке математики! – Какую большую тему по геометрии вы начали изучать? Начать урок хочу словами великого русского поэта А.С. Пушкина
«Вдохновение в геометрии нужно не меньше, чем в поэзии».
(слайд №1) – Согласны ли вы с данным высказыванием? В конце урока мы снова с вами вернемся к данной фразе. Ребята садятся на места, готовы к уроку, слушают учителя. – Окружность;
ОПЕРАЦИОННЫЙ ЭТАП

2.
Актуализация знаний - Действительно, некоторые математики были поэтами и наоборот. Среди таких людей известный американский поэт, творчество которого вы обзорно будете изучать на уроках литературы, автор знаменитой «Песни о Гайавате» Генри Лонгфеллоу. (слайд №2) Наверное, поэтому яркие образы, украшающие математические понятия, которые он использовал в своем романе «Каванг», позволяют запечатлеть на всю жизнь некоторые теоремы и их применение. Хочу предложить вам решить задачу, которая встретилась в этом романе. Учитель читает условие задачи (слайд №3).
Задача: «Лилия, на одну пядь поднимавшаяся над поверхностью воды,

под порывом свежего ветра коснулась поверхности озера в двух локтях

от прежнего места; исходя из этого определить глубину озера» (1 пядь

равна 10 дюймам, 2 локтя − 21 дюйму).
Открываем тетради, подписываем число, классная работа, задача. Учитель работает у доски и задает вопросы классу. Составим математическую модель задачи. – Изобразим дно и поверхность озера (учитель на доске изображает 2 отрезка, подписывает дно и поверхность озера). – В условии задачи сказано, что лилия под порывом ветра коснулась поверхности воды. Открывают тетради, подписывают число, классная работа, приступают к решению задачи совместно с учителем. 3
– Какую геометрическую фигуру она опишет? (анимация на слайде №4). – Проводим окружность. Обозначим точки пересечения отрезков с окружностью (т. А, В, C, D, Е, F). (слайд №5) – Для решения этой задачи нам необходимо вспомнить основные понятия по теме «Окружность». Назовите их! Учитель на доске записывает перечисленные понятия. – Какие элементы окружности мы можем увидеть на нашем чертеже? После того, как ученики назвали хорды, учитель выделяет на доске хорду АВ красным мелом. (анимация на слайде №5) – Выделим хорду АВ цветным мелом, она нам понадобится.(Анимация) После того, как ученики назвали диаметр окружности, учитель выделяет диаметр СD синим цветом. (анимация на слайде №5) – Выделим диаметр С D цветным мелом, он нам тоже понадобится при решении. – Можем ли мы диаметр СD назвать хордой? – Окружность (или дугу окружности); Предлагают варианты ответов: центр окружности, радиус, диаметр, хорда, вписанный и центральный угол; – т.О – центр окружности, радиус АО; – хорды АВ и EF; – диаметр СD, – Да, т.к. диаметр самая большая хорда окружности; 4
Прошу Вас сейчас дать определения тем понятиям, которые записаны на доске. На размышление 2-3 минуты. Тем временем 2 ученика будут работать самостоятельно у доски на отметку. Вызывает учеников к доске
Задача 1:
(чертеж задачи за доской, условие задачи на карточке). Хорды AD и ВС пересекаются в т. Е. Известно, что угол АВС равен 50 , угол DEC равен 100 . Найдите градусную меру угла ADC и угла ВЕА.
Задача 2:
(чертеж задачи на доске, условие задачи на карточке) Хорды АВ и CD пересекаются в т. О. Известно, что угол DAB равен 50 . Докажите, что АОD подобен СОВ. Составьте отношение пропорциональности сходственных сторон этих треугольников. У1 самостоятельно решает у доски по готовому чертежу. У2 самостоятельно решает у доски по готовому чертежу; 5 A D B C E 100 0 50 0 A B C D O 50 0
Фронтальный опрос класса. Учитель задает вопросы классу: – Дайте определение хорды. – Дайте определение, что такое диаметр. – Какой угол называется вписанным? – Какой угол называется центральным? – Какие теоремы по данной теме и свойства вписанных углов вы еще можете сформулировать? Проверим работу учеников у доски и оценим. Заслушаем ответ У1. После ответа ученика, учитель задает вопросы классу: – Верный ответ в задаче? Какую отметку поставим ученику? (учитель совместно с учениками оценивает работу ученика у доски) Заслушаем ответ У2. После ответа ученика, учитель задает вопросы классу: Учащиеся с места отвечают на вопросы учителя. – Отрезок, соединяющий две точки окружности; – Хорда, проходящая через центр окружности; – Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность; – Угол с вершиной в центре окружности; – Теорема о вписанном угле (вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается); – Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны; – Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой; У1 рассказывает решение задачи; У2 рассказывает решение задачи; 6
– Проверьте ход доказательства задачи! – Верно, ли записано отношение пропорциональности сходственных сторон подобных треугольников? – Какую отметку поставим ученику? – Все основные понятия и свойства мы повторили, вернемся к задаче. Нанесем данные на чертеж. Обратите внимание, в задаче даны старинные величины измерения, переведем в дюймы, если известно, что 1 пядь равна 10 дюймам, 2 локтя − 21 дюйму. – Длины каких отрезков нам известны? (слайд №6) – Читаем вопрос задачи, что надо найти? – Каким отрезком обозначена глубина озера? – Как обозначаем неизвестную величину? – Из какой геометрической фигуры можно найти неизвестный отрезок? – Можем ли мы из одного треугольника найти неизвестную х? Достаточно данных? – Давайте найдем еще один треугольник, который связан с данным, для этого соединим точки С и В, А и D. – Какие треугольники образовались? Если учащиеся затрудняются, учитель предлагает сделать дополнительное построение, провести отрезки AD и CB и рассмотреть 2 треугольника; – Какие равные элементы в этих треугольниках вы видите? – Что можно о них сказать? – АЕ=ЕВ=21; СЕ=10; – Определить глубину озера; – Отрезок ЕО; – Переменная х; – Из треугольника; – Нет; – АЕD и CЕB; – угол АЕ D равен углу CЕВ, т.к. вертикальные; – угол DAB равен углу В CD, т.к вписанные и опираются на одну дугу; – Треугольники подобны по I признаку; – Отношение сходственных 7
– Что следует из подобия треугольников? – Составим равенство из произведений отрезков. Подчеркните, к нему еще вернемся. – Длины каких отрезков нам известны? – Знаем чему равна длина отрезка ЕD? – Как найдем ЕD? Подставляем числовые значения в равенство. 21•21=10•(2х+10) – Что записано на доске? – Как будем его решать? Решим уравнение и найдем неизвестную х. 21•21=10•(2х+10) 441=20х+100 20х=341 х=17,05 Ответ: глубина озера 17,05 дюйма. – Вернемся к равенству, которое подчеркнули АЕ ЕВ=ED ЕС. – Что такое АЕ и ЕВ для хорды АВ? – Значит, что записано в левой части равенства? сторон; ; – АЕ ЕВ=ED ЕС; – АЕ, ЕВ, СЕ; – Нет; – ЕD=EO+OD=2х+10 – Уравнение; – Левую часть перепишем, в правой части раскроем скобки; – Отрезки; – Произведение отрезков хорды АВ; – Произведение отрезков хорды CD; 8
– Что записано в правой части? – Как прочитаем равенство? – Произведение отрезков хорды АВ равно произведению отрезков хорды CD; Определение темы урока, целеполагание Итак, мы получили некоторое свойство пересекающихся хорд. – Ребята, как вы считаете, оно справедливо для любых пересекающихся хорд? Теперь мы может сформулировать тему нашего урока. Какова она? В тетрадях запишите тему урока «Свойства пересекающихся хорд». – Какую цель поставим на урок? – Давайте цель урока разобьем на отдельные задачи, решение которых нам поможет достичь цели. Эти задачи соответствуют плану нашего урока. – Что мы уже с вами сделали и что предстоит сделать? Ваши предложения! (учитель прикрепляет на доску таблички с задачами урока) – Посмотрите внимательно, выполнили ли мы какой-либо из пунктов нашего плана? – Да; – Свойства пересекающихся хорд; – Доказать свойство пересекающихся хорд и применить его при решении задач; Предлагают варианты ответов: – 1) повторить понятия по теме «Окружность»; 2) доказать свойство пересекающихся хорд; 3) применить свойство при решении задач; 4) узнать применяется ли данное свойство в жизни; – Да, т.к. вспомнили понятия по теме «Окружность»; 9
Первичное предъявление нового материала Откройте учебники и найдите теорему, выражающую полученное нами свойство. Прочитайте и запишите формулировку в тетрадь. (слайд №7)
Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд
: если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Учитель вызывает к доске ученика для доказательства теоремы. – Запишем план доказательства теоремы. – Что выделим из формулировки теоремы в условие и заключение? – Что запишем в дано? – Что нужно доказать?
Дано:
АВ и CD – хорды, АВ СD = E
Доказать:
АЕ ВЕ=СЕ DE
Доказательство:
1) АЕD подобен СЕB по I признаку; 2) Запишем отношение сходственных сторон ; Учащиеся открывают учебник и читают теорему об отрезках пересекающихся хорд, записывают формулировку в тетрадь; У1 на доске записывает план доказательства, остальные учащиеся оформляют записи в тетрадях; У1 с комментариями на доске записывает план доказательства теоремы; – АВ и CD – хорды, АВ СD = E; – АЕ ВЕ=СЕ DE – Выполнили еще один пункт 10
3) По свойству пропорции АЕ – Возвращаемся к плану урока. Что можете сказать? плана, доказали свойство пересекающихся хорд; Минута релаксации На стенах кабинета развешаны таблички, на которых изображены углы. Все учащиеся встают. Задание. 1. Покажите рукой на рисунок, где изображен центральный угол. 2. Покажите рукой на рисунок, где изображен угол, градусная мера которого равна 30 . 3. Покажите рукой на рисунок, где изображен вписанный угол. 4. Покажите рукой на рисунок, где изображены равные углы и назовите, чему равна их градусная мера. Учащиеся встают и отвечают на вопросы учителя. Первичное закрепление материала – Вернемся вновь к плану урока! Какая задача следующая? – Молодцы! Закрепим наши знания на практике. – Я предлагаю Вам решить 2 задачи по готовым чертежам. (текст задач представлен на слайде №8) – Исходя из данных чертежа задачи, выписать, что известно, что необходимо найти и оформить решение в тетрадях.
Задача 1:
– Применить свойство пересекающихся хорд при решении задач Учащиеся в тетрадях оформляют решение задачи. Проверка решения на слайде: 11 4 : 4 ED 2,5 10 ED 2 5 ED 2,5 EB AE ED CD : Ответ Решение         

Задача 2:
Возьмите карточки самооценки. Найдите графу «Решение задач по чертежам». – Если решены обе задачи правильно, поставьте себе 2 балла. – Если одна - 1 балл. – Если вы ошиблись в решении обеих задач, поставьте прочерк. – Теорема об отрезках пересекающихся хорд пригодится вам при сдаче основного государственного экзамена в 9 классе. – Предлагаю вам решить задачу из банка данных ОГЭ. Работаем в парах. Не Выставляют баллы в карточки самооценки. В парах обсуждают задачу и 12 12 : 12 144 CE 144 CE CE 16 9 EA BE ED CD : 2 2 Ответ Решение        
забывайте правила работы в паре: распределите обязанности, слушайте мнение партнера. Вам необходимо выбрать оптимальный способ работы и прийти к общему мнению. Задания выполняйте дружно. О готовности сигнализируйте поднятой рукой. (текст задачи и ее решение на слайде №9).
Задача:
Хорды АВ и CD пересекаются в точке S. Известно, что AS:SB=3:4, DS=16, SC=3. Найдите длину отрезка АВ. записывают решение в тетрадь.
РЕФЛЕКСИВНО-ОЦЕНОЧНЫЙ ЭТАП
В карточках самооценки найдите графу «Работа в парах». Если задача решена правильно, поставьте 3 балла. Эта задача – более сложная. Если правильно применена теорема, но допущена вычислительная ошибка - 1 балл. Посмотрите на итог: 5 баллов в карточке – отметка «5» 4 балла в карточке – отметка «4» 3 балла в карточке – отметка «3» Если в карточке баллов меньше, после урока подойдите за индивидуальным домашним заданием. 2. Задание на дом Предлагаю домашнее задание на выбор: На отметку «4» решите задачу, предложенную на карточке.
Задача:
Хорды MN и KL пересекаются в точке А, причем хорда MN делится точкой А на отрезки, равные 1 см и 15 см. На какие отрезки точка А делит хорду KL, если KL в 2 раза меньше хорды MN? На отметку «5», решите задачу, а также придумайте и решите задачу, в которой будете использовать теорему об отрезках пересекающихся хорд. На следующем уроке заслушаем, какие задачи вы придумали и проверим их решение. Открывают дневники, записывают домашнее задание, получают карточки с домашним заданием. 3. Рефлексия Вернемся к высказыванию А.С Пушкина о том, что «Вдохновение в геометрии нужно не меньше, чем в поэзии». – Как вы относитесь к этой фразе сейчас, в конце урока? Действительно, это так.
Это правда
13
Давайте подведем итог урока. Вернемся к задачам урока. – Все ли они выполнены? – Достигли ли мы цели урока? Посмотрите на картинку пруда с лилиями. В этом пруду живут рыбки разного цвета. Давайте поместим в пруд и рыбок вашего настроения и отношения к уроку. Обсудите в парах и выберите одну рыбку.  Если урок вам показался интересным, хотя и трудны и вы узнали что- то новое, пусть в пруде живет красная рыбка;  Если урок был интересным, но для вас не сложным и вы не узнали ничего нового, пустите в пруд желтую рыбку;  Если урок вам не понравился, и вы не узнали ничего нового, пусть в пруд плывет зеленая рыбка. Она тоже имеет право на жизнь. Мне работать с вами понравилось и новое сегодня для меня, это вы – ребята, поэтому моя рыбка будет красного цвета. Кто-то великий сказал «Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение» Пусть в вашей жизни будет больше таких приключений. Урок закончен. Оценочная карточка № Задание Количество баллов 1. Решение задач по готовым чертежам 2. Работа в парах ИТОГО: 14
15