"Применение метода интервалов для решения неравенств"

Автор: Коршунов Вячеслав Юрьевич
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МБОУ Больше Маресевская СОШ
Населённый пункт: село Большое Маресево, Чамзинский район, Республика Мордовия
Наименование материала: Урок алгебры в 9 классе
Тема: "Применение метода интервалов для решения неравенств"
Дата публикации: 25.11.2015







Вернуться назад       Перейти в раздел





Текстовая часть публикации


Применение метода интервалов для решения неравенств.

Цель урока:
рассмотреть применение метода интервалов для решения неравенств различных типов.
Задачи урока:
1. Сформировать у школьников мотивацию к изучению данной темы. 2. Развивать у учащихся умение пользоваться опорными знаниями, для их применения в новой ситуации. 3. Развивать у учащихся математическое мышление (умение наблюдать, выделять существенные признаки и делать обобщения). 4. Развивать у учащихся навыки творческого подхода к решению задач.
Оборудование и материалы
: компьютер, проектор, экран, презентация для сопровождения занятия, раздаточный материал для учащихся.
Ход урока

1.

Сообщение темы и цели урока.

2.

Повторение и закрепление пройденного материала.
1) Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор задач, вызвавших затруднения). 2) Повторение применения метода интервалов для решения неравенств 3) Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).
Вариант 1.
№1. Решите методом интервалов неравенства: а) (25)(3)0; xx -+ б) 2 4430. xx +-< №2. Найдите область определения функции: 2 3 6325. yxxx =-+×-
Вариант 2.
№1. Решите методом интервалов неравенства: а) (52)(4)0; xx -+< б) 2 9320. xx +- №2. Найдите область определения функции: 2 5 27534. yxxx =×-+×- Самопроверка самостоятельной работы с оцениванием
3.

Изучение нового материала.

Нами уже рассматривался метод интервалов для решения квадратных неравенств. Применим тот же метод к решению неравенств высоких степеней. Рассмотрим схему решения на следующем примере.
Пример 1.
Решим неравенство ( ) ( ) ( ) ( ) 6325 52130. xxxxx +×+××-×- Решение Прежде всего, отметим, что если в разложении многочлена на множители входит сомножитель ( ) 0 k xx - , то говорят, что 0 x - корень многочлена кратности k . Данный многочлен имеет корни: 1 5 x =- кратности 6; 2 2 x =- кратности 3; 3 0 x = кратности 1; 4 1 x = кратности 2; 5 3 x = кратности 5. Нанесем эти корни на числовую ось. Отметим корни четной кратности двумя черточками, нечетной кратности – одной чертой. Определим знак многочлена на каждом интервале, при любом значении х не совпадающем с корнями и взятом из данного интервала. Получим полную диаграмму знаков многочлена на всей числовой оси: Теперь легко ответить на вопрос задачи, при каких значениях х знак многочлена неотрицательный. Отметим на рисунке нужные нам области, получим: Из рисунка видно, что такими х являются { } [ ] { } [ ) 52;013; x Î--+¥ UUU .
Проанализируем смену знаков в корнях различной кратности
. Посмотрите внимательно на диаграмму знаков, что можно заметить? (предполагаемый ответ: в корнях четной кратности смена знаков не произошла, а в корнях нечетной кратности – знак меняется). Давайте проверим, подтвердится ли данное наблюдение при решении других неравенств. Решите неравенство 1 вариант: ( ) ( ) ( ) ( ) 452 327100. xxxx -×+×-×-< 2 вариант: ( ) ( ) ( ) ( ) 253 92610. xxxx -×-×+×->
(Два ученика решают неравенства на откидной доске не видной классу, остальные выполняют задание самостоятельно, затем проверяем полученное решение по вариантам и снова делаем выводы о смене знака в зависимости от степени кратности корня).
Обобщая ваши наблюдения
, приходим к важным выводам  Для решения неравенства важно знать, является ли k четным или нечетным числом.  При четном k многочлен справа и слева от 0 x имеет один и тот же знак (т.е. знак многочлена не меняется),  При нечетном k многочлен справа и слева от 0 x имеет противоположные знаки (т.е. знак многочлена изменяется). Еще небольшое замечание, что бы применять метод интервалов, нужно сначала привести в неравенство к указанному виду (т.е. разложить на множители). Рассмотрим способы решения рациональных неравенств ( ) ( ) 0 Px Qx Ú методом интервалов Заметим, что рациональные неравенства легко сводятся к решению неравенств высоких степеней. Умножим обе части такого неравенства на многочлен ( ) 2 Qx , который положителен при всех допустимых значениях х (т.к. ()0 Qx ¹ ). Тогда знак исходного неравенства не меняется, и получаем неравенство ()()0 PxQx ×Ú , эквивалентное данному неравенству. Итак: ( ) ( ) 0 Px Qx Ú эквивалентно системе неравенств ()()0, ()0, PxQx Qx ×Ú ì í ¹ î которая далее решается методом интервалов.
Пример 2.
Решим неравенство ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 123 0. 52 xxx xxx -×-- ³ -×+ Отметим, прежде всего, что знаменатель неравенства не может быть равен нулю и найдем область определения неравенства: ( ) ( ) 2 52(5)(2)0 xxxxxx -+=-+¹ откуда 2, 0, 5. xxx ¹-¹¹ Сведем данное рациональное неравенство к алгебраическому. Для этого умножим обе части неравенства на положительное выражение – квадрат знаменателя (замети, что при этом знак неравенства не меняется). Получаем: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 123520 xxxxxx ----+ . Разложив квадратный трехчлен на множители, имеем: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 131520 xxxxxx --+-+ . Решаем это неравенство методом интервалов. Находим корни многочлена и определяем их кратность: х =1 (четная кратность), остальные корни 3, -1, 0, 5, -2
(нечетной кратности). Отмечаем корни на числовой оси с учетом области определения неравенства и определяем знаки на промежутках с учетом кратности корней. Ответ: ( ) [ ) { } [ ) ;21;013;5 x Î-¥-- UUU .
4.

Задание на уроке (первичное закрепление материала).

Фронтальная работа с классом
№389 (а, в), № 390 (в, г), №393(а), №394(а). №389. Решите неравенство, разложив его левую часть на множители: а) ( ) ( ) 2 16170; xx -+> в) 3 250. xx -< № 390. Решите неравенство: в) ( ) ( ) 2 1240; xx --< г) ( ) ( ) ( ) 2 74210. xxx +--> №393. Решите неравенство: а) 8 0. 4 x x - > + №394. Решите неравенство: а) . 5 4 2 6 < + + x x
5.

Задание на дом
Повторить §15 (глава II), №389 (б), № 390 (б), №393(б), №394(б). Подумайте, как имея готовую диаграмму знаков построить эскиз графика функции.
6.

Подведение итогов урока, рефлексия.
1. Что вы ожидали от работы на данном уроке? Сравните свои предварительные цели и реально достигнутые результаты. 2. Какие чувства и ощущения возникали у вас в ходе работы? Что оказалось для вас самым неожиданным? 3. Что вам более всего удалось, какие моменты были выполнены наиболее успешно? 4. Перечислите в порядке убывания основные трудности, которые вы испытывали во время учебы. Как вы их преодолевали?
7.

Задания (для тех, кто желает знать больше).

№1. Решите неравенство: а) ( ) ( ) 22 3773; xx ->- б) ( ) ( ) ( ) 34 3620; xxx +-+£ в) 2 251 . 673 x xxx - ³ --- №2. Постройте эскизы графиков функций: а)  ) ( ) 2 1 2 + - = x x y ; б)  ) 2 1 2 + - = x x y .
Литература
1. Учебник: Алгебра-9 класс, Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, М.: Просвещение, 2009. 2. Рурукин А.Н., Полякова С.А., Поурочные разработки по алгебре: 9 класс. – М.: ВАКО, 2010 – (В помощь школьному учителю).