"Устный счет. Гимнастика для ума"

Автор: Михайлова Полина Ивановна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МБОУ Магасская СОШ
Населённый пункт: Верхневилюйский улус с. Харбала
Наименование материала: брошюра
Тема: "Устный счет. Гимнастика для ума"
Дата публикации: 15.01.2016







Вернуться назад       Перейти в раздел





Текстовая часть публикации


Содержание
Введение………………………………………………………………………2 Цели и задачи…………………………………………………………………4 Тезисы………………………………………………………………………...5 Основная часть……………………………………………………………….6 Заключение…………………………………………………………………..12 Литература…………………………………………………………………...12 Приложения………………………………………………………………….13 1

Введение.

История возникновения чисел.
Подсчитывать предметы люди научились ещё в древнем каменном веке - палеолите, десятки тысяч лет назад. Как это происходило? Сначала люди лишь на глаз сравнивали разные количества одинаковых предметов. Они могли определить, в какой из двух куч больше плодов, в каком стаде больше оленей и т.д. Если одно племя меняло пойманных рыб на сделанные людьми другого племени каменные ножи, не нужно было считать, сколько принесли рыб и сколько ножей. Достаточно было положить рядом с каждой рыбой по ножу, чтобы обмен между племенами состоялся. Чтобы с успехом заниматься сельским хозяйством, понадобились арифметические знания. Без подсчета дней трудно было определить, когда надо засевать поля, когда начинать полив, когда ждать потомства от животных. Надо было знать, сколько овец в стаде, сколько мешков зерна положено в амбары. И вот более восьми тысяч лет назад древние пастухи стали делать из глины кружки - по одному на каждую овцу. Чтобы узнать, не пропала ли за день хоть одна овца, пастух откладывал в сторону по кружку каждый раз, когда очередное животное заходило в загон. И только убедившись, что овец вернулось столько же, сколько было кружков, он спокойно шел спать. Но в его стаде были не только овцы - он пас и коров, и коз, и ослов. Поэтому пришлось делась из глины и другие фигурки. А земледельцы с помощью глиняных фигурок вели учет собранного урожая, отмечая, сколько мешков зерна положено в амбар, сколько кувшинов масла выжато из оливок, сколько соткано кусков льняного полотна. Если овцы приносили приплод, пастух прибавлял к кружкам новые, а если часть овец шла на мясо, несколько кружков приходилось убирать. Так, еще не умея считать, занимались древние люди арифметикой. Затем в человеческом языке появились числительные, и люди смогли называть число предметов, животных, дней. Обычно таких числительных было мало. Например, у племени реки Муррей в Австралии было два простых числительных: энэа (1) и петчевал (2). Другие числа они выражали составными числительными: 3= «петчевал-энэа», 4 «петчевал-петчевал» и т. д. Ещё одно австралийское племя – камилороев имело простые числительные мал (1), булан (2), гулиба (3) . И здесь другие числа получались сложением меньше: 4= «булан – булан», 5= «булан – гулиба», 6= « гулиба – гулиба» и т.д. У многих народов название числа зависело от подсчитываемых предметов. Если жители островов Фиджи считали лодки, то число 10 называли « боло»; если они считали кокосовые орехи, то число 10 называли «каро». Точно так же поступали живущие на Сахалине и берегах 2
Амура нивхи. Ещё в прошлом веке одно и то же число они называли разными словами, если считали людей, рыб, лодки, сети, звёзды, палки. Мы и сейчас используем разные неопределённые числительные со значением «много»: «толпа», «стадо», «стая», «куча», «пучок» и другие. С развитием производства и торгового обмена люди стали лучше понимать, что общего у трёх лодок и трёх топоров, десяти стрел и десяти орехов. Племена часто вели обмен «предмет за предмет»; к примеру, обменивали 5 съедобных кореньев на 5 рыб. Становилось ясно, что 5 одно и то же и для кореньев, и для рыб; значит, и называть его можно одним словом. Постепенно люди начали использовать для счёта камешки, палочки, части собственного тела. Вот как известный русский учёный Н.Н. Миклуха - Маклай описывал счёт папуасов: «Папуас загибает один за другим пальцы руки, причём издаёт определённый звук, например «бе, бе, бе..». Досчитав до пяти, он говорит: «Ибон-бе» (рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяя «бе, бе..», пока не дойдёт до «ибон-али» (две руки). Затем он идёт дальше, приговаривая «бе, бе…», пока не дойдёт до «самба-бе» (одна нога) и «самба-али» (две ноги). Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого-нибудь другого». Похожие способы счёта применяли и другие народы. Так возникли нумерации, основанные на счёте пятёрками, десятками, двадцатками. До сих пор я рассказывал об устном счёте. Устный счет – гимнастика для ума. Счет в уме является самым древним способом вычисления. Освоение вычислительных навыков развивает память и помогает усваивать предметы математического цикла. Существует много приемов упрощения арифметических действий. Знание упрощенных приемов вычисления особенно важно в тех случаях, когда вычисляющий не имеет в своем распоряжении таблиц и калькулятора. Я хочу остановиться на способах умножения, для производства которых достаточно устного счета или применения карандаша, ручки и бумаги. Мотивацией для выбора темы послужило желание продолжения формирования вычислительных навыков, умения быстро и чётко находить результат математических действий, в частности – умножение на 11, двузначные числа. Правила и приёмы вычислений не зависят от того, выполняются они письменно или устно. Однако, владение навыками устных вычислений представляет большую ценность не потому, что в быту ими пользуются чаще, чем письменными выкладками. Это важно ещё и потому, что они ускоряют письменные вычисления, приобретают опыт рациональных вычислений, дают выигрыш в вычислительной работе. На уроках математики приходится, много делать устных вычислений и когда учитель показал нам приём быстрого умножения на числа 11 и 111, у меня возникла идея, а существуют ли ещё приёмы быстрого вычисления. Я поставил перед собой задачу, найти и опробовать другие приёмы быстрого вычисления. 3

Цели проекта:
1. Изучить некоторые приёмы организации устного счёта, позволяющие ускорить и рационализировать вычисления. 2. Развивать память и повышать математическую культуру мышления, автоматизировать навыки устного счёта, развить речь, логическое мышление, математические способности, наблюдательность, интерес. 3. Развивать познавательный интерес к математике с помощью использования различных видов устного счёта.
Задачи:
- Составить алгоритмы для быстрого вычисления арифметических действий. - Освоить описанные ниже приемы устного счета для быстрого выполнения арифметических действий.
-
Научиться использовать приёмы устного счёта на различных уроках и в повседневной жизни. - Собрать материал по теме, проанализировать и представить в виде исследовательской работы. 4

Тезисы.

Актуальность:
Математика является одной из важнейших наук на земле и именно с ней человек встречается каждый день в своей жизни. Счет в уме является самым древним и простым способом вы- числения. Знание упрощенных приемов устных вычислений остается необходимым даже при полной механизации всех наиболее трудоемких вычислительных процессов. Устные вычисления дают возможность не только быстро производить расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результатах вычислений, выполненных с помощью калькулятора. Освоение вычислительных навыков развивает память и помогает школьникам полноценно усваивать предметы физико-математического цикла. Знание упрощенных приемов устных вычислений особенно важно в тех случаях, когда мы не имеем в своем распоряжении калькулятора и компьютера.
Гипотеза:
В старину говорили:
«Умножение – мое мученье»
. Значит, раньше было сложно и трудно умножать. Прост ли наш современный способ умножения? 5

Основная часть
Эта картина (приложение № 1) называется «Устный счет». Написал ее художник Николай Петрович Богданов – Бельский, 1895 году. Художник изобразил на этой картине невыдуманных учеников и учителя, очень хорошо знал своих героев: вырос в их среде. Учитель – это Сергей Александрович Рачинский, известный русский педагог, замечательный представитель русских образованных людей позапрошлого века. Он был доктором естественных наук и профессором ботаники Московского университета. В 1868 году С. А. Рачинский решает «уйти в народ». Он держит экзамен на звание учителя начальных классов. На свои средства открывает школу для крестьянских детей в селе Татево Смоленской губернии и становится в ней учителем. Его ученики так хорошо считали устно, что этому удивлялись все посетители школы. Не случайно, художник изобразил С. А. Рачинского вместе с его учениками именно на уроке устного решения задач. Эта картина – гимн учителю и ученику. В своей работе я остановлюсь, на вычислениях, для производства которых достаточно устного счета или применения в некоторых случаях карандаша, ручки и бумаги. Освоение описанных ниже приемов устного счета позволит нам быстро выполнять арифметические действия, что будет способствовать развитию памяти и повышению математической культуры мышления. Знание упрощенных приемов устных вычислений особенно важно в тех случаях, когда вычисляющий не имеет в своем распоряжении таблиц или калькулятора. В своей работе я хочу остановиться на способах умножения натуральных чисел. Существуют специальные способы выполнения действий для устного счета, рассчитанные на ум «обычного» человека и не требующие уникальных способностей. - Умножение на 11, сумма цифр которого не превышает 10. - Умножение на 11, сумма цифр которого 10 или больше 10. - Умножение на 22, 33,…99. - Умножение на число, оканчивающееся на 5. - Умножение и деление на 25 и 75. - Умножение и деление на 50. - Умножение и деление на 111, 1111, сумма цифр которого не превышает 10. - Умножение и деление на 111, 1111, сумма цифр которого 10 или больше 10. - Умножение на 9, 99, 999. - Возведение в квадрат двузначных чисел, имеющих 5 десятков. - Возведение в квадрат двузначных чисел, имеющих 5 единиц. - Способ изменения сомножителей. 6

Умножение

натуральных

чисел

Умножение на 11
Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр. Примеры: 72x11 = 7(7 + 2)2 = 792; 35x11 = 3(3 + 5)5 = 385. Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения. Пример: 94 х 11 = 9 (9 + 4) 4 = 9 (13) 4 = (9 + 1) 34 = 1034.
Умножение на 22, 33, .... 99
Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, ..., 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 44 = 4 х 11, 55 = 5 х 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11 (см. выше п. 1): 24 х 22 = 24 х 2 х 11 = 48 х 11 = 528; 23 х 33 - 23 х 3 х 11 = 69 х 11 = 759; 18 х 44 = 18 х 4 х 11 = 72 х 11 = 792. Кроме того, можно применить закон об одновременном увеличении в равное число раз одного сомножителя и уменьшении другого: 28 х 33 = (28 х 3) х (33 : 3) = 84 х 11 = 924, 48 х 22 = (48 х 2) х (22 : 2) .« 96 х 11 = 1056 и т.д.
Умножение на число, оканчивающееся на 5
Чтобы четное двузначное число умножить на число, оканчивающееся на 5, можно применить следующее правило. Если один из сомножителей увеличить в несколько раз, а другой уменьшить во столько же раз, произведение не изменится. Примеры: 44 х 5 = (44 : 2) х 5 х 2 = 22 х 10 = 220; 28 х 15 = (28 : 2) х 15 х 2 = 14 х 30 = 420; 32 х 25 = (32 : 2) х 25 х 2 = 16 х 50 = 800. 7
При умножении на 65, 75, 85, 95 числа следует брать небольшие, в пределе второго десятка. Если возьмем произвольное число (четное), тогда придется потрудиться и перемножить двузначные числа: Примеры: 48 х 65 = (48 : 2) х 65 х 2 = 24 х 130 = (24 х 10 + 24 х 3) х 10 = (240 + 72) х 10 = 312 х 10 = 3120; 36 х 85 = (36 : 2) х 85 х 2 = 18 х 170 = (18 х 10 + 18 х 7) х 10 = (180 + 126) х 10 = 306 х 10 = =3060. Чтобы научиться быстро умножать на 65, 75, 85 и 95, надо хорошо знать, как умножать устно двузначные числа такого вида: 14 х 18 - 14 х (10 + 8) = 14 х 10 + 14 х 8 = 140 + 112 - 252; 13 х 19 = 13 х (20 - 1) = 13 х 20 - 13 = 260 - 13 = 247.
Умножение и деление на 25 и 75
Для того, чтобы научиться устно умножать и делить на 25 и 75, надо хорошо знать признак делимости и таблицу умножения на 4. На 4 делятся те, и только те числа, у которых две последние цифры числа выражают число, делящееся на 4. Примеры: 124 делится на 4, так как 24 делится на 4; 1716 делится на 4, так как 16 делится на 4; 1800 делится на 4, так как 00 делится на 4. Чтобы число умножить на 25, надо это число разделить на 4 и умножить на 100. Примеры: 484 х 25 = (484 : 4) х 25 х 4 = 121 х 100 = 12 100; 124 х 25 - 124 : 4 х 100 - 3100. Чтобы число разделить на 25, надо это число разделить на 100 и умножить на 4. Примеры: 12 100 : 25 = 12 100 : 100 х 4 = 484; 3100:25 = 3100:100x4 = 124.
Умножение и деление на 75
Чтобы число умножить на 75, надо это число разделить на 4 и умножить на 300. Примеры: 32 х 75 = (32 : 4) х 75 х 4 = 8 х 300 = 2400; 48 х 75 = 48 : 4 х 300 = 3600. Чтобы число разделить на 75, надо это число разделить на 300 и умножить на 4. Примеры: 2400:75 = 2400:300x4 = 32; 3600 : 75 = 3600 : 300 х 4 = 48. 8

Умножение и деление на 50
Чтобы число умножить на 50, надо это число разделить на 2 иумножить на 100. Примеры: 432 х 50 = (432 : 2) х 50 х 2 = 216 х 100 = 21 600; 848 х 50 = 848 : 2 х 100 = 42 400. Чтобы число разделить на 50, надо это число разделить на 100 и умножить на 2. Примеры: 21 600 : 50 = 21 600 : 100 х 2 = 432;, -.' 42 400 : 50 = 42 400 : 100 х 2 = 848.
Умножение и деление на 111, 1111 и т.д.
Кто знает, как умножать и делить на 11, может легко умножать и делить на 111. Рассмотрим примеры. Если сумма цифр меньше 10, то легко умножать на 111, 1111 и т.д. Примеры: 24 х 111= 2 (2 + 4) (2 + 4) 4 = 2664; 36 х 111 = 3 (3 + 6) (3 + 6) 6 = 3996; 24 х 1111 = 2 (2 + 4) (2 + 4) (2 + 4) 4 = 26 664; 36 х 1111 = 3 (3 + 6) (3 + 6) (3 + 6) 6 = 39 996. Чтобы двузначное число умножить на 111, 1111 и т.д., надо мысленно цифры этого числа раздвинуть на два, три и т.д. шага, сложить цифры и записать соответствующее количество раз их сумму между раздвинутыми цифрами. 72 х 111 111 = 7 999 992. Раздвинуть 7 и 2 на 5 шагов. Если единиц 7, то шагов будет на 1 меньше, то есть 6. Если единиц 9, то шагов будет 8 и т.д. Немного сложнее, если сумма цифр равна 10 или более 10. Примеры: 48 х 111 = 4 (4 + 8) (4 + 8) 8 = 4 (12) (12) 8 = (4 + 1) (2 + 1) 28 = 5328; 75 х 111 = 7 (7 + 5) (7 + 5) 5 = 7 (12) (12) 5 = 8325. В этом случае надо к первой цифре 7 прибавить 1, получим 8,далее 2 + 1 = 3, а последние цифры 2 и 5 оставляем без изменения. Получаем ответ: 8325 85 х 111 = 8 (13) (13) 5 = (8 + 1) (3 + 1) 35 = 9425; 69 х 111 = 6 (15) (15) 9 = (6 + 1) (5 + 1) 59 = 7659. 9

Умножение на 9, 99, 999
К первому множителю приписать столько нулей, сколько девяток во втором множителе, и из результата вычесть первый множитель. 286∙9=286∙(10 - 1)=2860 – 286=2574, 23∙99=23∙(100 - 1)=2300 – 23=2277, 18∙999=18∙(1000 - 1)=18000 – 18=17982
Умножение на 5, 25, 125
Разделить число соответственно на 2, 4, 8 и результат умножить на 10, 100, 1000. 46∙5=46:2∙10=230, 48∙25=48:4∙100=1200, 32∙125=32:8∙1000=4000.
Возведение в квадрат двузначных чисел, имеющих 5 десятков
К 25 прибавить цифру в разряде единиц и к результату приписать справа квадрат числа единиц так, чтобы получилось четырехзначное число. Этот способ основан на тождестве: (50+а) 2 =100∙(25+а)+а 2 . Примеры: 1) 51²=2601 Решение. а) 25+1=26, пишем 26; б) 1²=1, приписываем 01. 2) 58²=3364 Решение. а) 25+8=33; б) 8²=64.
Возведение в квадрат двузначных чисел, имеющих 5 единиц
Примеры: 1) 25²=625, а) 2(2+1)=6, пишем 6; б) 5²=25, пишем 25. 2) 75²=5625, а) 7(7+1)=56, пишем 56; 10
б) 5²=25, пишем 25. То есть, число десятков умножаем на число, большее его на единицу и приписываем справа квадрат 5.
Способ изменения сомножителей
24∙25 = (24:4)∙(25∙4) = 6∙100 = 600, 17∙12 = (17∙3)∙(12:3) = 51∙4 = 204. При этом сведение одного из множителей к однозначному числу - лишь частный случай, скажем: 28∙55 = (28:2)∙(55∙2) = 14∙110, что вычислять уже легче. Счет в уме является самым древним и простым способом вычисления. Знание упрощенных приемов устных вычислений остается необходимым даже при полной механизации всех наиболее трудоемких вычислительных процессов. Устные вычисления дают возможность не только быстро производить расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результатах вычислений, выполненных с помощью калькулятора. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память и помогает нам полноценно усваивать предметы физико–математического цикла.

11

Заключение.
Мы вступили в новое тысячелетие! Грандиозные открытия и достижения человечества. Мы много знаем, многое умеем. Кажется чем-то сверхъестественным, что с помощью чисел и формул можно рассчитать полёт космического корабля, «экономическую - ситуацию» в стране, погоду на «завтра», описать звучание нот в мелодии. Нам известно высказывание древнегреческого математика, философа, жившего в 4 веке д.н.э.- Пифагора - «Всё есть число!». Согласно философскому воззрению этого учёного и его последователей, числа управляют не только мерой и весом, но также всеми явлениями, происходящими в природе, и являются сущностью гармонии, царствующей в мире, душой космоса. Описывая старинные способы вычислений и современные приёмы быстрого счёта, я попытался показать, что как в прошлом, так и в будущем, без математики, науки созданной разумом человека, не обойтись. Изучение старинных способов умножения показало, что это арифметическое действие было трудным и сложным из-за многообразия способов и их громоздкости выполнения. Современный способ умножения прост и доступен всем. При знакомстве с научной литературой обнаружили более быстрые и надежные способы умножения. Поэтому изучение действия умножения – тема перспективная. Возможно, что с первого раза у многих не получится быстро, с ходу выполнять эти или другие подсчеты. Пусть сначала не получится использовать прием, показанный в работе. Не беда. Нужна постоянная вычислительная тренировка. Из урока в урок, из года в год. Она поможет приобрести полезные навыки устного счета. Учитель математики предложила мне для изучения книгу Билла Хэндли «Считайте в уме как компьютер» (приложения № 2 - № 4). Мне книга понравилась, и у меня появилось желание продолжить работу и узнать ещё другие методы устного счёта. А пока я изучал и анализировал уже известные способы умножения. Но кто знает, возможно, в будущем я и мои одноклассники сами сможем открыть новые способы вычислений.
Литература:
1. Э.Л.Струнников. «Устный счет». 2. Н.Л. Мельникова. «Развитие вычислительной культуры учащихся». 3. Г.А. Филиппов. «Устный счет — гимнастика ума». 4. Билл Хэндли. «Считайте в уме как калькулятор». 5. М.В. Величко. Проектная деятельность учащихся. Математика 9-10 классы. 12
Приложение № 1. Богданов-Бельский Николай Петрович. «Устный счёт. В народной школе С.А.Рачинского» 13
Приложение № 2. Очень полезная и легкая в усвоении книга, подойдет абсолютно всем. Рекомендую. 14
Приложение № 3. Ознакомьтесь с содержанием. 15
Приложение № 4. Продолжение содержания. 16