"Правильные многогранники"

Автор: Батуева Евгения Владимировна
Должность: преподаватель математики
Учебное заведение: ГБПОУ "Коркинский горно-строительный техникум"
Населённый пункт: г. Коркино Челябинская область
Наименование материала: презентация
Тема: "Правильные многогранники"
Дата публикации: 14.02.2016







Вернуться назад       Перейти в раздел





Текстовая часть публикации

Батуева Евгения Владимировна

Симметрия относительно точки

Симметрия относительно точки

Симметрия относительно прямой

Симметрия относительно прямой

А

А

А

А

1

1

О

О
Точки А и А 1 называются симметричными относительно точки О (центр симметрии), если О – середина отрезка АА 1 . Точка О считается симметричной самой себе.
А

А

А

А

1

1

a

a
Точки А и А 1 называются симметричными относительно прямой (ось симметрии), если прямая проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка прямой считается симметричной самой себе.
a

a

a

a

a

a


Симметрия относительно плоскости

Симметрия относительно плоскости

А

А
Точки А и А 1 называются симметричными относительно плоскости (плоскость симметрии), если плоскость проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка плоскости считается симметричной самой себе.
А

А

1

1

О

О
  
Если фигура имеет центр (ось, плоскость) симметрии, то говорят, что она обладает центральной (осевой, зеркальной) симметрией. Фигура может иметь один или несколько центров симметрии (осей симметрии, плоскостей симметрии).
О

О

А

А

Центр

Центр

симметрии

симметрии

О

О

А

А

Плоскость

Плоскость

симметрии

симметрии

О

О

А

А

a

a

А

А

1

1
Точка (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) симметрии, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры.
Центр, ось, плоскость симметрии фигуры.

Центр, ось, плоскость симметрии фигуры.

А

А

1

1

Ось

Ось

симметрии

симметрии

А

А

1

1

С симметрией мы часто встречаемся в архитектуре.
Почти все кристаллы, встречающиеся в природе, имеют ось или плоскость симметрии. В геометрии центр, оси и плоскости симметрии многогранника называются
элементами симметрии

элементами симметрии
этого многогранника.
Апатит

Апатит

Золото

Золото


Кальцит (двойник)

Кальцит (двойник)

Поваренная

Поваренная

соль

соль

Лед

Лед


Альмандин

Альмандин

Ставролит (двойник)

Ставролит (двойник)


Правильный тетраэдр

Правильный тетраэдр
составлен их четырех равносторонних треугольников и в каждой вершине сходятся 3 ребра. 4 грани, 4 вершины и 6 ребер. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180 0 Выпуклый многогранник называется
правильным,

правильным,
если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится равное число ребер. В каждом правильном многограннике сумма числа и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2. грани вершины ребра
Г + В = Р + 2

Г + В = Р + 2

60

60
 
+ 60

+ 60
 
+ 60

+ 60
 
<

<

360

360
 
60

60
 
Мы различаем
правильный тетраэдр

правильный тетраэдр
и правильную пирамиду. В отличие от правильного тетраэдра, все ребра которого равны, в правильной треугольной пирамиде боковые ребра равны друг другу, но они могут быть не равны ребрам основания пирамиды.
«тетра» - 4

«тетра» - 4
Названия многогранников пришли из Древней Греции и в них указывается число граней.
Правильный тетраэдр не имеет центра симметрии. Осей симметрии – 3. Плоскостей симметрии – 6. Прямая, проходящая через середины двух противоположных ребер, является его осью симметрии. Плоскость, проходящая через ребро перпендикулярно к противоположному ребру, - ось симметрии.
Элементы симметрии тетраэдра.

Элементы симметрии тетраэдра.


Куб

Куб
составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270 0 . 6 граней, 8 вершин и 12 ребер
«гекса» - 6

«гекса» - 6

Куб, гексаэдр.

Куб, гексаэдр.

<

<

360

360
  Куб имеет только один центр симметрии – точку пересечения его диагоналей. Осей симметрии – 9.
Элементы симметрии куба.

Элементы симметрии куба.

Куб имеет 9 плоскостей симметрии.

Правильный октаэдр

Правильный октаэдр
составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 240 0 .
«окта» - 8

«окта» - 8
Октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер
<

<

360

360
 

Правильный икосаэдр

Правильный икосаэдр
составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти правильных треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300 0 .
«икоса» - 20

«икоса» - 20
Икосаэдр имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер
<

<

360

360
 

Правильный додекаэдр

Правильный додекаэдр
составлен из двенадцати правильных шестиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 0 .
«додека» - 12

«додека» - 12
Додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер.
<

<

360

360
 
Первым свойства правильных многогранников описал древнегреческий ученый Платон. Именно поэтому правильные многогранники называют также телами Платона.
Платон

Платон

428 – 348 г. до н.э.
Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников.

огонь

огонь

воздух

воздух

вода

вода

земля

земля

Правильные многогранники в философской картине

Правильные многогранники в философской картине

мира Платона.

мира Платона.
Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр – как самый обтекаемый – воду; куб – самая устойчивая из фигур – землю, а октаэдр – воздух.

вселенная

вселенная
Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим.
Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли скульпторы, архитекторы, художники. Их поражало совершенство, гармония многогранников. Леонардо да Винчи (1452 – 1519) увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Сальвадор Дали на картине «Тайная вечеря» изобразил И. Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

Архимед

Архимед

287 – 212 гг. до н.э.
Это многогранники, которые получаются из платоновых тел в результате их усечения.  усечённый тетраэдр,  усечённый гексаэдр (куб),  усечённый октаэдр,  усечённый додекаэдр,  усечённый икосаэдр. Архимед описал
полуправильные многогранники

полуправильные многогранники


Усеченный тетраэдр

Усеченный тетраэдр
Выполняя простейшие сечения, мы можем получить необычные многогранники. Усеченный тетраэдр получится, если у тетраэдра срезать его четыре вершины.

Усеченный куб

Усеченный куб
Срезав вершины получим новые грани – треугольники. А из граней куба получатся грани – восьмиугольники. Усеченный куб получится, если у куба срезать все его восемь вершин.

Кубооктаэдр

Кубооктаэдр
Можно срезать вершины иначе. Получим кубооктаэдр. У кубооктаэдра можно снова срезать все его вершины получим
усеченный кубооктаэдр.

усеченный кубооктаэдр.


Усеченный октаэдр

Усеченный октаэдр
Срежем у октаэдра все его восемь вершин. Срезав вершины получим новые грани – квадраты. А из граней октаэдра получатся грани – шестиугольники.
Можно срезать вершины иначе и получим новый полуправильный многогранник.

Икосододекаэдр

Икосододекаэдр

Ромбоусеченный

Ромбоусеченный

икосододекаэдр

икосододекаэдр
Срезав вершины икосаэдра, получим новые грани пятиугольники, а грани икосаэдра превратятся в шестиугольники.
Усеченный

Усеченный

икосаэдр

икосаэдр

(футбольный мяч)

(футбольный мяч)
Срезав вершины иначе получим другой многогранник, грани которого – пятиугольники и треугольники.

Усеченный додекаэдр

Усеченный додекаэдр
С додекаэдром работы больше. Надо срезать двадцать вершин. Грани усеченного додекаэдра – треугольники и десятиугольники.

Курносый

Курносый

куб

куб

Курносый

Курносый

додекаэдр

додекаэдр

Ромбоикосододекаэдр

Ромбоикосододекаэдр

Ромбокубооктаэдр

Ромбокубооктаэдр