"Применение производной к построению графиков функций"

Автор: Латышева Татьяна Владимировна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МОУ ИРМО "Вечерняя (С)ОШ"
Населённый пункт: д. Хомутово, Иркутская область
Наименование материала: методическая разработка
Тема: "Применение производной к построению графиков функций"
Дата публикации: 02.11.2015







Вернуться назад       Перейти в раздел





Текстовая часть публикации

Урок 6 .
Тема урока

«Применение производной к построению графиков

функций».

Предварительная подготовка к уроку:
учащиеся должны знать таблицу производных, правила дифференцирования, а также темы «Возрастание и убывание функции», «Экстремумы функции».
Цели урока:

1) образовательная:
знакомство учащихся с общей схемой исследования функции методом построения графика чётной и нечётной функции, обучение проведению исследования и построению графика;
2) воспитательная:
воспитание требовательного отношения к себе при самостоятельном изучении нового материала;
3) развивающая:
развитие наблюдательности, умения рассуждать и аргументировать свои действия.
Оборудование:
кодоскоп, записи на доске, карточки, сигнальные карточки (зелёная-красная).
Тип урока:
урок – теоретическое и практическое исследование.
Ход урока

I. Организационный момент
(Сообщение темы целей урока)
II.Проверка домашнего задания
(Выполняется устно) - Назовите промежутки убывания, возрастания, экстремумы функции.
III. Актуализация опорных знаний

Задание 1.

Тест.
(Задания выполняются по вариантам с последующей взаимопроверкой по кодоскопу) - По изображенному графику установите соответствие между каждым интервалом (А- Е) и характером поведения функции на этом интервале.

Вариант I

.
Интервалы: А=(-3;0); В(-2;0); С=(-2;2); Д(0;3); Е(1;3); Поведение: 1) убывает; 2) возрастает; 3) имеет минимум; 4) имеет максимум. Ответы: А2; В2; С4; Д1; Е1.
Вариант II.
Интервалы: А=(-3;-1); В=(1;3); С=(-1;1); Д=(0;2); Е=(-2;0); Поведение: 1) убывает; 2) возрастает; 3) имеет минимум; 4) имеет максимум. Ответы: А2; В3; С4; Д1; Е2. - Обменяйтесь тетрадями, проверьте работу соседа. Поднимите зелёную карточку, у кого нет ошибок. Поднимите красную карточку, у кого 1 ошибка.
IV. Работа с учебником
(Самостоятельное изучение нового материала по плану , записанному на доске.)
План:
1) Прочитать текст параграфа «Применение производной к построению графиков функций». 2) Записать в тетрадь схему исследования функции. 3) Записать с учителем образец решения задания 2(оно приводится ниже). 4) Рассмотреть метод построения графика четной (нечетной) функции на примере одной из задач учебника. Образцы решений.
Задание 2.
Постройте график функции f(x)=х 3 -2х 2 +х Решение. 1. Область определения D(f)=R. 2. Найдём производную f / (x)=(x 3 -2x 2 +x) / =3x 2 -4x+1 3. Найдём критические точки, решив уравнение f / (x)=0 3x 2 -4x+1=0 (3х-1)(х-1)=0 Х 1 =1, х 2 =1/3.
4. Найдём промежутки возрастания и убывания, используя метод интервалов и правило чередования знаков. Для производной f / (x)=3x 2 -4x+1=3(x-1/3)(x-1) имеем три интервала знакапотоянства (-∞; 1 3 ); 1 3 ¿ ;1); (1; +∞). Имеем 0 ∈ (-∞ 1 3 ) и f / (0)=1 ¿ 0 .Значит, f / (x) ¿ 0 на промежутках (-∞ ; 1 3 ) и (1; +∞), и значит, функция возрастает на этих промежутках. А т.к. f / (x) ¿ 0 на промежутке ( 1 3 ; 1), значит, функция убывает на этом промежутке. 5. При переходе через точку х=1/3 знак производной меняется с «+» на «-», значит, это точка максимума. При переходе через точку х=1 знак производной меняется с «-» на «+», значит, это точка минимума. Значения в экстремумах равны: f( 1 3 )=( 1 3 ) 3 – 2( 1 3 ) 2 + 1 3 = 4 27 , f(1)=1 3 -2 ˙ 1 2 +1=0 6. Составим таблицу по результатам исследований. Х (- ;1/3) 1/3 (1/3;1) 1 (1;+ ) + 0 - 0 + f(x) 4/27 0 7. Найдём абсциссы точек пересечения графика с осью Ох: Х=0 или х=1 8. Построим график функции.
V. Творческое задание


Задание 3.
Завершите эскиз графика функции, зная, что у=f(x) – четная функция.
Задание 4.
Завершите эскиз графика функции, зная, что у=f(x) – нечетная функция.
Задание 5.
Закончите фразу. 1) График четной функции симметричен относительно… (оси Оу). 2) График нечетной функции симметричен относительно… (начала координат (0;0)).
VI. Закрепление изученного материала

Задание 6.
Постройте график функции. (Работа над заданиями ведётся на доске и в тетрадях) У=6х Решение. 1. D(f)=R 2. Функция у(-х)=6(-х) чётная, график симметричен относительно Оу. Исследуем на (0;+ ). 3. Находим производную у= 4. Находим критические точки: у=0. 5. Промежутки возрастания и убывания. Х 0 (0;1) 1 (1;+ ) f(x) 0 + 0 - f(x) 0 2 Экстремумы min max 6. График.
VII. Подведение итогов урока

- По какой схеме проводится исследование свойств функции? Ответ: Надо найти: 1. Область определения функции( D(f)=R) 2. Производную 3. Стационарные точки (f(x)=0)/ 4. Промежутки возрастания и убывания(методом интервалов). 5. Точки экстремума и значение функции в этих точках. 6. а) Точки пересечения с осью Ох (если возможно); б) несколько дополнительных точек графика (для более точного построения).
Домашнее задание

Задание 7.
Построить график функции: а) у=2+3х-х б) у=3х+1/3х