Карточки-тренажёры по алгебре на тему: "Производная функции и её геометрический смысл"
Автор: Меджидова Юлия Калабеговна Должность: учитель математики
Учебное заведение: МБОУ "Николаевская СОШ"
Населённый пункт: станица Николаевская, Ростовская область
Наименование материала: методическая разработка
Тема: Карточки-тренажёры по алгебре на тему: "Производная функции и её геометрический смысл"
Цель : сформировать целостное представление о производной функции, о ее
геометрическом и физическом смысле.
Задачи:
обобщить и систематизировать материал о производной;
изучить методы и способы нахождения производной элементарных и сложных
функций;
Формирование и закрепление умений
и навыков учащихся решать задачи,
используя геометрический и механический смысл производной
формировать действия самоконтроля.
Тренажер содержит 14 карточек, в каждой из которых по 4 задания на тему производной.
Задание 1 раскрывает физический смысл производной; в задании 2 требуется найти
производные элементарных функций с использованием формул дифференцирования; в
задании 3 нужно вычислить производную сложной функции; задание 4 – геометрический
смысл производной.
Карточки-тренажеры предназначены для учащихся 11 класса, обучающихся по учебнику
Ш.А. Алимова «Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс».
Карточка № 1
1.
Вычислить приращение функции
y
=
f
(
x
)
на промежутке
[
a ; b
]
f
(
x
)
=
4 x
+
3, a
=
0, b
=
0,2
.
2.
Найдите производную функции
a)
f
(
x
)
=
2 x
3
;
б)
f
(
x
)
=
(
1
+
x
2
)
(
2 x
+
3
)
(
1
+
√
x
)
2
.
3.
Найдите производную сложной функции:
f
(
x
)
=
(
2 x
+
3
)
4
.
4.
Дана функция
y
=
x
2
+
4
. Найдите:
а) угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке с абсциссой
x
0
=
1
;
б) точки, в которых угловой коэффициент касательной равен k=4;
в) напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой
x
0
=
1
.
Карточка № 2
1.
Вычислить приращение функции
y
=
f
(
x
)
на промежутке
[
a ; b
]
f
(
x
)
=
x
2
−
3 x ,a
=
2, b
=
3
.
2.
Найдите производную функции
a)
f
(
x
)
=
3
x
;
б)
y
(
t
)
=
√
t
(
3
√
t
+
2t
)
3.
Найдите производную сложной функции: g
(
u
)
=
(
−
3 u
+
7
)
3
.
4.
Дана функция
y
=
2 x
2
+
x
. Найдите:
а) угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке с абсциссой
x
0
=
2
;
б) точки, в которых угловой коэффициент касательной равен k=-1;
в) напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой
x
0
=
2
.
Карточка № 3
1.
Вычислить приращение функции
y
=
f
(
x
)
на промежутке
[
a ; b
]
f
(
x
)
=
2 x
x
+
1
, a
=
1, b
=
1,5
.
2.
Найдите производную функции
a)
f
(
x
)
=
x
4
−
4 x
3
−
8 x
2
+
13 ;
б)
f
(
x
)
=
x
2
5
−
3
√
x
.
3.
Найдите производную сложной функции:
f
(
x
)
=
(
2 x
+
1
)
4
−(
3 x
−
1
)
6
.
4.
Дана функция
y
=
3 x
2
−
6 x
+
1
. Найдите:
а) угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке с абсциссой
x
0
=
0
;
б) точки, в которых угловой коэффициент касательной равен k=6;
в) напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой
x
0
=
0
.
Карточка № 4
1.
Вычислить приращение функции
y
=
f
(
x
)
на промежутке
[
a ; b
]
f
(
x
)
=
2 x
2
x
2
−
1
, a
=
2, b
=
2,5
.
2.
Найдите производную функции
a)
f
(
x
)
=
−
1
x
+
3 x ;
б)
f
(
x
)
=
27
√
x
+
8 x
2
x
√
x
.
3.
Найдите производную сложной функции: g(t)
¿
(
7 t
+
3
)
5
−
(
7t
−
4
)
9
3
.
4.
Дана функция
y
=
−
x
2
2
−
4 x
+
3
. Найдите:
а) угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке с абсциссой
x
0
=−
1
;
б) точки, в которых угловой коэффициент касательной равен k=0;
в) напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой
x
0
=−
1
.
Карточка № 5
1.
Вычислить приращение функции
y
=
f
(
x
)
на промежутке
[
a ; b
]
f
(
x
)
=
√
x
+
8 , a
=−
1, b
=−
8
.
2.
Найдите производную функции
a)
f
(
x
)
=
2
3 x
+
3 x
2
;
б)g
(
x
)
=
4
√
x
3
5
−
2
3
√
x
+
x
5
√
x
+
9
.
3.
Найдите производную сложной функции:
f
(
l
)
=
(
2 l
+
1
)
4
∙
(
2 l
−
1
)
3
.
4.
Дана функция
y
=
x
3
−
3 x
+
2
. Найдите:
а) угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке с абсциссой
x
0
=
1
3
;
б) точки, в которых угловой коэффициент касательной равен
k
=
8
3
;
в) напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой
x
0
=
1
3
.
Карточка № 6
1.
Вычислить приращение функции
y
=
f
(
x
)
на промежутке
[
x ; x
+
∆ x
]
f
(
x
)
=
2 x
+
3, x
=
1,5, ∆ x
=
2,5
.
2.
Найдите производную функции
a)
f
(
x
)
=
2 x
7
7
−
3 x
5
10
+
4 x
3
−
x
−
10 ;
б)g
(
x
)
=
2
+
√
x
2
−
√
x
.
3.
Найдите производную сложной функции:
f
(
x
)
=
a
(
x
a
+
b
)
5
.
4.
Дана функция
y
=
x
+
1
x
. Найдите:
а) угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке с абсциссой
x
0
=
1
;
б) точки, в которых угловой коэффициент касательной равен
k
=
1
2
;
в) напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой
x
0
=
1
.
Карточка № 7
1.
Вычислить приращение функции
y
=
f
(
x
)
на промежутке
[
x ; x
+
∆ x
]
f
(
x
)
=
3 x
2
−
x
+
1, x
=
0,∆ x
=
2
.
2.
Найдите производную функции
a)
f
(
x
)
=
−
x
5
5
−
2 x
3
3
−
x
2
+
x
+
5
x
2
;
б)g
(
x
)
=
√
x
4
+
x
.
3.
Найдите производную сложной функции:
f
(
x
)
=
2 π
(
4
−
x
)
2
−
π
(
4
−
3 x
)
2
.
4.
Дана функция
y
=
2 x
4
−
x
3
+
1
. Найдите:
а) угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке с абсциссой
x
0
=
0
;
б) точки, в которых угловой коэффициент касательной равен
k
=
0
;
в) напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой
x
0
=
0
.
Карточка № 8
1.
Вычислить приращение функции
y
=
f
(
x
)
на промежутке
[
x ; x
+
∆ x
]
f
(
x
)
=
x
3
−
2 x
2
+
x , x
=−
1,∆ x
=
1
.
2.
Найдите производную функции
a)
f
(
x
)
=
2 x
5
+
x
4
−
3 x
2
+
5 x
+
6
3 x
2
;
б)g
(
x
)
=(
2 x
−
√
x
)
2
.
3.
Найдите производную сложной функции:
f
(
x
)
=
1
3 x
−
1
.
4.
Дана функция
y
=
(
x
−
2
)
2
(
x
+
1
)
. Найдите:
а) угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке с абсциссой
x
0
=
1
;
б) точки, в которых угловой коэффициент касательной равен
k
=
6
;
в) напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой
x
0
=
1
.
Карточка № 9
1.
Вычислить приращение функции
y
=
f
(
x
)
на промежутке
[
x ; x
+
∆ x
]
f
(
x
)
=
√
x
+
2
2 x
+
1
, x
=
2, ∆ x
=
5
.
2.
Найдите производную функции
a)
f
(
x
)
=
−
1
2 x
4
+
1
x
2
−
1
4 x
;
б)g
(
x
)
=(
x
+
4
)
3
√
x
.
3.
Найдите производную сложной функции:
f
(
x
)
=
1
(
2
+
3 x
)
3
.
4.
Дана функция
y
=
1
1
+
x
2
. Найдите:
а) угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке с абсциссой
x
0
=
1
;
б) точки, в которых угловой коэффициент касательной равен
k
=
0
;
в) напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой
x
0
=
1
.
Карточка № 10
1.
Вычислить приращение функции
y
=
f
(
x
)
на промежутке
[
x ; x
+
∆ x
]
f
(
x
)
=
x
2
+
2 x
2 x
−
1
, x
=−
2, ∆ x
=
1
.
2.
Найдите производную функции
a)
S
(
r
)
=
2 π r
2
+
4 π lr
+
k ;
б)g
(
t
)
=
t
3
−
3 t
+
1
t
3
+
2
.
3.
Найдите производную сложной функции:
f
(
x
)
=
2
3 x
+
2
−
1
3
(
6 x
−
1
)
.
4.
Дана функция
y
=
3
−
x
x
+
4
. Найдите:
а) угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке с абсциссой
x
0
=−
3
;
б) точки, в которых угловой коэффициент касательной равен
k
=−
7
;
в) напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой
x
0
=−
3
.
Карточка № 11
1.
Вычислить среднюю скорость роста функции
y
=
f
(
x
)
на двух данных промежутках
и на промежутке
[
x ; x
+
∆ x
]
f
(
x
)
=
2 x
+
1,
[
0; 1
]
,
[
0 ; 0,2
]
.
2.
Найдите производную функции
a)
f
(
x
)
=
3
√
x
5
+
4
√
x
3
;
б)g
(
x
)
=
3
x
2
−
2 x
+
2
.
3.
Найдите производную сложной функции:
P
(
α
)
=
a
(
α
−
4
)
2
−
b
(
α
+
3
)
3
.
4.
Дана функция
y
=
x
+
2
√
x
. Найдите:
а) угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке с абсциссой
x
0
=
1
;
б) точки, в которых угловой коэффициент касательной равен
k
=
2
;
в) напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой
x
0
=
1
.
Карточка № 12
1.
Вычислить приращение функции
y
=
f
(
x
)
на двух данных промежутках и на
промежутке
[
x ; x
+
∆ x
]
f
(
x
)
=
−
1
2
x
+
3 ,
[
1 ;4
]
,
[
0;
1
5
]
.
2.
Найдите производную функции
a)
f
(
x
)
=
x
3
(
5 x
−
1
)
(
1
−
2 x
)
;
б)g
(
x
)
=
x
2
−
1
x
2
+
1
.
3.
Найдите производную сложной функции:
f
(
x
)
=
√
6 x
−
3 .
4.
Дана функция
y
=(
x
+
1
)
√
x
. Найдите:
а) угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке с абсциссой
x
0
=
4
;
б) точки, в которых угловой коэффициент касательной равен
k
=
2
;
в) напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой
x
0
=
4
.
Карточка № 13
1.
Вычислить среднюю скорость роста функции
y
=
f
(
x
)
на двух данных промежутках
и на промежутке
[
x ; x
+
∆ x
]
f
(
x
)
=
2 x
2
−
1,
[
1 ; 9
]
,
[
−
0,1 ; 0
]
.
2.
Найдите производную функции
a)
f
(
x
)
=
2 x
5
+
x
4
−
3 x
2
+
5 x
+
6
3 x
2
;
б) g
(
x
)
=
4
√
x
3
5
−
2
3
√
x
+
x
5
√
x
+
9
.
3.
Найдите производную сложной функции:
f
(
x
)
=
3
3
√
(
4 x
−
5
)
5
.
4.
Дана функция
y
=
x
3
−
3 x
+
2
.. Найдите:
а) угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке с абсциссой
x
0
=
1
3
;
б) точки, в которых угловой коэффициент касательной равен
k
=
8
3
;
в) напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой
x
0
=
1
3
.
Карточка № 14
1.
Вычислить среднюю скорость роста функции
y
=
f
(
x
)
на двух данных промежутках
и на промежутке
[
x ; x
+
∆ x
]
f
(
x
)
=
2 x
2
−
x
−
1,
[
−
3; 4
]
,
[
1; 1,2
]
.
2.
Найдите производную функции
a)
f
(
x
)
=
x
3
−
3 x
2
−
x ;
б)
v
(
α
)
=
(
3 α
−
5
)
2
(
2 α
−
1
)
(
2 α
+
1
)
.
3.
Найдите производную сложной функции:
f
(
x
)
=
3
√
(
1
−
2 x
)
2
−
√
5 x
+
2.
4.
Дана функция
y
=
(
x
−
2
)
2
(
x
+
1
)
.. Найдите:
а) угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке с абсциссой
x
0
=
1
;
б) точки, в которых угловой коэффициент касательной равен
k
=
6
;
в) напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой
x
0
=
1
.
Литература:
1.
Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачёва и др. «Алгебра и начала
математического анализа. 10-11 классы»: учеб. для общеобразоват. учреждений:
базовый уровень – М.: Просвещение, 2011.
2.
Г.И. Григорьева «Алгебра и начала анализа. 11 класс: поурочные планы по
учебнику Ш.А. Алимова и др.» - Ч. I – Волгоград: Учитель, 2006.