КРАЕВОЙ КОНКУРС

«Проектно-исследовательская деятельность школьников»,

посвящённый 225-летию со дня рождения Огюстена Луи Коши.

Построение правильной пятиконечной звезды

.

Учебно-исследовательский проект

Выполнен ученицами 10 «А» класса

средней образовательной

школы №4г.Тихорецка

Батог Анастасией Юрьевной,

Ижак Ольгой Александровной

Научный руководитель:

учитель математики

средней образовательной

школы №4 г.Тихорецка

Гаврильченко Светлана Викторовна

Тихорецк

2019

План проекта

1. Постановка гипотезы .

Можно ли разделить окружность на 5 равных частей?

2. Практическая часть

Опыт№1

Опыт №2

Точное решение

3.Вывод

4.Приложение

1.Постановка гипотезы

Не так ли, красива правильная пятиконечная звезда. Её мы видим на гербе

и флаге нашей Родины, она украшает военные фуражки и башню Кремля.

Кто в детстве не пытался нарисовать эту звезду? Возможно, всякий. Но

поначалу

получалось

нечто

кривое

и

неуклюжее.А

можно

ли

построить

правильную пятиконечную звезду?

Можно ли разделить окружность на 5 равных частей?

Очевидно, для построения правильной пятиконечной звезды нужно разбить

окружность на 5 равных частей, но можно ли это сделать? Мы полистали

учебник геометрии и вспомнили, как на уроках геометрии

мы разбивали

окружность на 3,4,6,12 равных частей с помощью циркуля .А можно ли

разбить

окружность

на

5

равных

частей?

Мы

нашли

в

интернете

доказательства немецкого математика Карла Фридриха Гаусса о том, что нет

методов

для

деления

окружности

на

7,9,11,13,14,18,21,22,23,25

и

много

других равных частей. Значит, на 5 частей делить можно! Порывшись в

книгах,

мы

нашли

подсказку,

как

это

сделать.

Решили

провести

самостоятельно

несколько

опытов

и

найти

точное

решение.

Попробуем

выполнить чертеж с помощью карандаша и линейки (рис 1) .Очевидно, звезда

не правильная.

Опыт 1

Сначала спросим себя : «что такое правильная пятиконечная звезда?» Нам

кажется,

нужно,

чтобы

пять

вершин

были

соединены

отрезками

равной

длины. Линейка может сделать стороны звезды прямыми. А при помощи

циркуля мы сделаем их равными.

Приступим. Строим угол с вершиной Z. На его сторонах откладываем равные

отрезки ZQ и ZC (рис 2)

Три вершины есть. Осталось найти ещё две, и всё будет хорошо. Вершина K

должна быть удалена от точки Q на такое же расстояние, что и точка Z.

Значит , она должна лежать на окружности с центром в точке Q радиусом ZQ.

Проведём дугу 2 этой окружности. Также проведём дугу 3 такого же радиуса

с центром в точке C . На ней должна лежать вторая из вершин M.

Расстояние между вершинами K и M должно быть равно расстоянию между

остальными вершинами. Поэтому мы не меняем раствора циркуля,

ставим одну из его ножек в какую-нибудь точку K одной дуги и проведём

окружность 4, которая пересечётся дугой 3 в точке M. Так мы получаем

пятую вершину. Соединили отрезками полученные точки. И что же у нас

получилось? Длины отрезков равны, а звезда явно неправильна.

Опыт 2

И где же мы допустили ошибку? Она сразу видна. Стороны у звезды равны, а

вот углы при вершинах – нет. Как же нам сделать так, чтобы были равны все

стороны и углы?

Нарисуем окружность, разобьём её на пять равных дуг, а затем соединим

концы дуг через одну.

Нет сомнения, что это и есть нужная нам звезда! Только как нам разделить

окружность на пять равных частей? С

помощью транспортира. Во всей

окружности 360°, в каждой части по 72°. Значит берём транспортир… А

может сумеем обойтись без него?

Попробуем на глаз отложить на окружности угол в 72°, так как мы знаем, что

72° это больше 60°, но меньше 90°, то где-то между ними чуть ближе к 60°.

Дугу в 60° отложить не трудно, так как длина хорды, стягивающей её, равна

радиусу окружности. А ещё легче построить дугу в 90°. Отметим концы

нужной дуги 72° – точки Z и Q.

Давайте

проверим,

действительно

ли

дуга ZQ

равна

⅕

дуги окружности.

Отложим с помощью циркуля дугу QC, равную ZQ , затем и дугу CK , дальше

DK, и когда ножку циркуля мы поставим в точку K, то правая его ножка

должна попасть в точку Z.

Попали? Нет. Значит, мы всё делали зря? Нет!

Отметим точку L , в которую попала вторая ножка циркуля. Мы ошиблись на

дугу ZL , а значит, мы ошибались каждый раз на

⅕

этой дуги, причём если

точка L оказалась правее точки Z,то мы выбрали дугу больше, чем нужно, а

если левее, то меньше, чем нужно.

Тогда мы сделаем поправку. На глаз отложим на дуге QL её пятую часть, дугу

ZT. Будем рисовать (рис 4).

Дуга TQ уже гораздо точнее приближается к

⅕

дуги окружности, чем дуга

ZQ. Теперь сделаем проверку. Если после пяти откладываний ножка циркуля

попадёт в чёрное пятнышко, которым мы отметили точку T, то построение

выполнено с нужной точностью. А если нет то ещё раз этим же способом

уточним размер дуги. Обычно двух уточнений всегда хватает.

Ура! Найдено точное решение. Вот это решение (рис6).

Пусть QC – диаметр окружности 1, ZO – перпендикулярный ему радиус.

Проведём окружность 2 радиуса QO центром Q. Через точки пересечения 1 и

2 проведём прямую и обозначим K точку и её пересечения с диаметром.

Далее с центром в точке K с радиусом KZ проведём ещё одну окружность 3.

Точку её пересечения с диаметром мы обозначим M. Проведя окружность 4

радиуса ZM с центром Z ,

в пересечении с окружностью получим точки

точки V и V1. Дуга ZV равна дуге ZV1 и равна

⅕

дуги первоначальной

окружности.

Рисунок 1

Рисунок 2

Рисунок 3

Рисунок 4

Рисунок 5

Рисунок 6

Список используемой литературы:

1)

[В

работе

использованы

цитаты

из

книги

«Математические

миниатюры» А. П Савин.]