ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………… 3

1.

ОСНОВНЫЕ

ПОНЯТИЯ

В

ТЕОРИИ

УРАВНЕНИЙ

И

НЕРАВЕНСТВ…………………………………………...…......................

5

2.

МЕТОДЫ

РЕШЕНИЯ

РАЦИОНАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ

И

НЕРАВЕНСТВ……………………………………………………….…… 8

3.

АПРОБАЦИЯ АВТОРСКОГО КОМПЛЕКТА ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ

«РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА» …………….

21

ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………….

24

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ……………………...….

25

ПРИЛОЖЕНИЕ……………………………………………………………….

26

1

ВВЕДЕНИЕ

Решение многих задач теоретического и практического характера

сводится к решению различных уравнений, так как уравнения являются

математической моделью ситуации, описанной в задаче. Поэтому вопросу

решения уравнений в школьном курсе математики уделяется большое

внимание. Линия уравнений и неравенств пронизывает весь школьный курс,

начиная с 5го класса до 10-11 классов.

«Рациональные уравнения и неравенства» – важнейшие базовые

понятия математики. Прочное их освоение создаёт условия для осознанного

понимания изложения теории и решения разнообразных задач путём отбора

оптимального метода решения. Проблема заключается в том, что известных

из школьного курса алгебры способов решения таких уравнений и

неравенств явно недостаточно, чтобы на должном уровне уметь решать

экзаменационные задачи по математике. Именно поэтому приобретение

новых сведений о них можно рассматривать как подспорье в решении

большого класса алгебраических задач.

Компенсировать недостаток знаний по данной теме можно за счёт

изучения дополнительной научной литературы и знакомства с новыми

типами рациональных уравнений, а также приёмами для их решения.

Приобретенные при этом навыки в дальнейшем позволят решать достаточно

широкий круг текстовых задач. Если теоретического материала достаточно,

то задания, которые позволяют отработать навыки решения рациональных

уравнений и неравенств, не всегда можно найти.

Цель

методического

проекта

состоит

в

разработке

комплекта

авторских заданий по теме «Рациональные уравнения и неравенства»

повышенного уровня для подготовки учащихся к ЕГЭ.

Задачи исследования:

1)

в процессе анализа методической литературы уточнить понятие

рациональных уравнений и неравенств;

2

2)

рассмотреть

различные

методы

решения

рациональных

уравнений и неравенств;

3)

составить методические рекомендации к использованию общих

методов решения уравнений и неравенств на уроках математики;

4)

разработать комплект заданий на использование различных

методов с подбором подзадач.

При решении поставленных задач были использованы следующие

методы исследования:

1) анализ методической литературы;

2) анализ учебников по математике для 9-11 классов;

3) наблюдение уроков, беседы с учителями.

Практическая значимость исследования заключается в том, что

разработанные нами задания могут быть использованы учителем математики

при подготовке и проведении элективных курсов.

3

1.

ОСНОВНЫЕ

ПОНЯТИЯ

В

ТЕОРИИ

УРАВНЕНИЙ

И

НЕРАВЕНСТВ

Равенство

f

(

x , y , z

)

=

g

(

x , y , z

)

(*) называется уравнением с переменными

x , y , z

над множеством

A

, если требуется найти все такие системы значений

переменных

x

0

, y

0

, z

0

из области определения уравнения, при подстановке

которых в (*) получится верное числовое равенство

f

(

x

0

, y

0

, z

0

)

=

g

(

x

0

, y

0

, z

0

)

.

Пересечение областей определения выражений, входящих в уравнение,

называется областью определения уравнения или областью допустимых

значений переменных (ОДЗ):

Д

(¿)=

Д

(

f

)

∩ Д

(

g

)

.

Система

чисел

x

0

, y

0

, z

0

из

области

определения

уравнения

f

(

x , y , z

)

=

g

(

x , y , z

)

Д

(¿)

называется решением уравнения (*), если при

x

=

x

0

, y

=

y

0

, z

=

z

0

равенство (*) истинно.

Для уравнения с одной переменной всякое его решение

x

=

x

0

называется корнем уравнения.

Решить уравнение – значит найти множество его решений или

доказать, что уравнение решений не имеет. Множество решений уравнения

является подмножеством ОДЗ уравнения, и никакие системы значений

переменных, не принадлежащих ОДЗ, не является решением уравнения.

Множество решений уравнения зависит от числового поля, над которым оно

рассматривается. В школьном курсе математики уравнения рассматриваются

только над полем действительных чисел.

Процесс решения уравнений заключается в том, что с помощью

преобразований

данное

уравнение

заменяется

более

простым,

ему

равносильным.

Два уравнения называются равносильными на множестве М, если они

имеют одни и те же корни на этом множестве или не имеют решений совсем.

Понятие равносильности уравнений относительное, т.е. в одном

числовом поле уравнения могут быть равносильны, а в другом – нет. Если

при решении уравнение (1) заменяется ему равносильным уравнением (2), то

4

решение

(2)

является

решением

(1).

Не

всегда

удается

выполнять

преобразования, приводящие к равносильности уравнений. В результате

некоторых преобразований происходит расширение ОДЗ уравнения (2)

относительно ОДЗ уравнения (1), и получается множество решений, которое

будет шире множества решений исходного уравнения. Такие уравнение (2)

является следствием уравнения (1). Таким образом, если уравнение (2) –

следствие уравнения (1), то все решения (1) удовлетворяют уравнению (2), но

уравнение (2) может также иметь и другие корни.

Существуют

преобразования,

которые

ведут

к

потере

корней

уравнения, такое происходит, если в результате преобразований ОДЗ

исходного уравнения «сузилось».

Преобразования, применяемые при решении любого уравнения:

1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же выражение,

имеющее смысл для всех значений переменных из ОДЗ уравнения, то

получится уравнение, равносильное данному.

2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же

выражение, имеющее смысл для всех значений переменных из ОДЗ

уравнения и нигде не обращающее в ноль, то получится уравнение,

равносильное данному.

Теория

неравенств

во

многом

напоминает

теорию

уравнений,

существенным отличием является то, что уравнение имеет в основном

конечное множество решений, а решением неравенства является целый

промежуток на числовой прямой или объединение нескольких промежутков.

А также теория неравенств построена в упорядоченном числовом поле.

Выражение

вида

f

(

x , y , z

)

<(

≤

)

g

(

x , y , z

)

или

f

(

x , y , z

)

>(

≥

)

g

(

x , y , z

)

называется неравенством с переменными

x , y , z

.

Система чисел

x

0

, y

0

, z

0

называется

решением неравенства

от

переменных

x , y , z

., если она обращает данное неравенство в истинное

числовое неравенство.

Решить неравенство – это значит найти множество всех его решений.

5

Вид неравенства зависит от выражений, которые в него входят.

Классификация неравенств аналогична классификации уравнений. Процесс

решения неравенств заключается в том, что с помощью тождественных

преобразований его приводят к более простому, решение которого известно.

6

2.

МЕТОДЫ

РЕШЕНИЯ

РАЦИОНАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ

И

НЕРАВЕНСТВ

Рациональное выражение с одной переменной – это алгебраическое

выражение, составленное из чисел и переменной x с помощью операций

сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень.

Уравнение f(x) = g(x) называется рациональным, если f(x) и g(x) –

рациональные выражения. При этом если f(x) и g(x) – целые выражения, то

уравнение называют целым. Целое рациональное уравнение может быть

записано в виде

0

0

1

1

1















a

x

a

x

a

x

a

n

п

n

п



, где

a

0

, a

1

, . . . , a

п

−

1

, a

п

– некоторые

числа. К простейшим целым рациональным уравнениям относятся линейные

и квадратные уравнения.

Рациональное уравнение f(x) = g(x) называется дробным, если хотя бы

одно из выражений f(x) или g(x) является дробным. Для решения такого

уравнения нужно:

1)

перенести все члены уравнения в одну часть;

2)

найти

общий

знаменатель

всех

имеющихся

дробей

и

преобразовать эту часть уравнения к виду алгебраической дроби

)

(

)

(

x

Q

x

Р

, где

Р(х) и Q(х) – многочлены;

3)

заменить уравнение целым, умножив обе части на общий

знаменатель;

4)

решить полученное целое уравнение;

5)

исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий

знаменатель.

Методы решения рациональных уравнений

Множество рациональных уравнений можно разделить по методу

решения. Перечислим основные из них.

1.

Простейшие преобразования

7

Для решения некоторых рациональных уравнений не требуется знание

особых приёмов. Достаточно выполнить обычные упрощения: приведение к

общему знаменателю, приведение подобных членов и т.д. Главное – не

попасться в какую-нибудь ловушку, связанную с областью допустимых

значений переменной.

2.

Подстановка

Иногда при решении рациональных уравнений имеет смысл ввести

новую переменную, заменив ею некое повторяющееся рациональное

выражение.

Например, в уравнении aP

2

(x) + bP(x) + c = 0, где P(x) – многочлен,

вводим новую переменную P(x) = y.

Решаем квадратное уравнение ay

2

+ by + c = 0 (3) относительно y и

возвращаемся к решению уравнений P(x) = y

i

, где y

i

– решения уравнения (3).

Метод подстановки упрощает вид уравнения, понижает его степень. В

некоторых случаях замена переменных сразу очевидна, но в более сложных

примерах подстановка видна лишь после нескольких преобразований.

3.

Распадающееся уравнение

Рациональное уравнение называется распадающимся, если его можно

представить в виде P(x)Q(x) = 0, где P(x) и Q(x) – целые рациональные

функции. Далее приходим к решению более простых уравнений: P(x) = 0 или

Q(x) = 0.

Классификация рациональных уравнений

Среди рациональных уравнений можно выделить несколько основных

видов.

1.

Биквадратное уравнение – это уравнение вида ax

4

+ bx

2

+ c = 0.

Для его решения используем замену x

2

= t, где t > 0. После подстановки

новой переменной получаем уравнение at

2

+ bt + c = 0, решая которое

приходим к уравнению x

2

= t

i

, где t

i

– корни квадратного уравнения .

2.

Однородное уравнение второго порядка: aP

2

(x) + bP(x)Q(x) +

cQ

2

(x)=0.

8

Для его решения рассматривают два случая:

1) если Q(x) = 0, тогда уравнение примет вид: P(x) = 0;

2) если же Q(x) ≠ 0, тогда исходное уравнение можно поделить на Q

2

(x).

Полученное при этом уравнение a

2

)

(

)

(

















х

Q

х

Р

+ b

)

(

)

(

x

Q

x

Р

+ c = 0 сводится к

квадратному с помощью замены

)

(

)

(

x

Q

x

Р

= t.

Решения каждого из двух случаев включаются в ответ.

3.

Симметрическое уравнение.

Уравнение вида

,

0

0

1

1

1

0













a

x

a

x

a

x

a

n

n



в котором коэффициенты

членов,

равноудалённых

от

начала

и

конца,

равны,

называется

симметрическим.

Докажем, что симметрическое уравнение нечетной степени всегда

имеет корень, равный –1. Доказательство проведём методом группировки на

примере кубического уравнения

0

2

3









a

bx

bx

ax

, где

0



a

.

,

0

)

1

(

)

1

(

3









x

bx

x

a

,

0

)

1

(

)

1

)((

1

(

2













х

bx

x

x

x

a

,

0

)

)

1

(

)(

1

(

2











bx

x

x

a

x

,

0

1





x

или

,

0

2









bx

a

ax

ax

.

1





x

.

0

)

(

2











a

x

a

b

ax

Очевидно, что корнями симметрического уравнения третьей степени

являются число – 1 и корни полученного квадратного уравнения, что и

требовалось доказать.

Симметрическое уравнение четвёртой степени

0

2

3

4











a

bx

cx

bx

ax

(

0



a

) решается делением на выражение х

2

(поскольку х = 0 не является его

корнем) и заменой

t

x

x





1

.

,

:

0

2

2

3

4

х

a

bx

cx

bx

ax











9

,

0

2

2











x

a

x

b

c

bx

ax

.

0

)

1

(

)

1

(

2

2











c

x

x

b

x

x

a

Если

t

x

x





1

, тогда







2

2

)

1

(

t

x

x











2

2

2

1

1

2

t

x

x

x

x

.

2

1

2

2

2







t

x

x

Используя указанную замену, приходим к уравнению

0

)

2

(

2









c

bt

t

a

Оно сводится к квадратному относительно переменной t:

.

0

2

2









a

c

bt

at

После его решения возвращаемся к исходной переменной x.

4.

Возвратное

уравнение

четвёртого

порядка:

0

2

2

3

4











a

k

kbx

cx

bx

ax

(все коэффициенты отличны от нуля).

После почленного деления на х

2

получаем:

,

0

2

2























x

k

a

x

k

b

c

bx

ax

.

0

)

(

)

(

2

2

2











c

x

k

x

b

x

k

x

a

Пусть

,

у

x

k

х





тогда

,

2

2

2

2

2

k

у

x

k

x







а

уравнение

примет

вид:

.

0

2

2









аk

c

by

aу

Если это уравнение имеет корни у

1

и у

2

,

то остаётся решить два

уравнения:

;

1

у

x

k

х





2

у

x

k

х





.

5.

Уравнение

вида

l

d

x

c

x

b

x

a

x











)

)(

)(

)(

(

,

где

d

c

b

a







и

c

b

d

а







.

Введём новую переменную t = x

2

– (a + d)x и получим квадратное

уравнение (t

+ ad)(t

+ bc) = l. Решив его, возвращаемся к исходной

переменной.

6.

Уравнение вида

0

)

(

)

(

)

(

)

(











c

x

P

x

Q

b

x

Q

x

Р

а

.

10

Сделаем замену

t

x

Q

x

Р



)

(

)

(

, тогда исходное уравнение примет вид:

.

0







c

t

b

at

Умножив обе части уравнения на t

),

0

(



t

получим квадратное

уравнение at

2

+ ct + b = 0. Находим его корни и переходим к переменной х.

7.

Уравнение вида

А

b

x

a

х









4

4

)

(

)

(

.

Для его решения, используя метод симметризации, делаем замену

.

2

b

a

x

t







В

результате

преобразований

уравнение

приводим

к

биквадратному.

8.

Уравнение вида

.

)

)(

(

2

2

2

1

2

kx

с

x

b

аx

c

x

b

ax











Поскольку х = 0 не является корнем данного уравнения

),

0

(



с

то

разделив его почленно на выражение х

2

, получим:

.

)

)(

(

2

1

k

х

с

b

аx

х

с

b

ax











Замена

t

х

с

ax





сведёт уравнение к виду

.

)

)(

(

2

1

k

b

t

b

t







Получив корни

квадратного уравнения, возвращаемся к замене.

Самое трудное при решении рациональных уравнений – правильно

определить, к какому виду оно относится. Если идентификация состоялась,

тогда метод решения становится очевиден, если же классифицировать

уравнение затруднительно, то необходимо придумать, как свести уравнение к

более простому. В этом случае бывает полезно сделать замену неизвестного,

которая упрощает вид уравнения.

Решение нестандартных уравнений с использованием особых

приёмов

1.

Приём комбинирования

Зачастую встречаются рациональные уравнения, которые нельзя

вписать в рамки строго очерченной классификации, хотя элементы того или

иного вида в них присутствуют. В таких ситуациях надо комбинировать

решение, исходя из накопленного арсенала методов и приёмов.

11

Пример 1. Решите уравнение

2

4

)

12

)(

8

)(

3

)(

2

(

x

x

x

x

x











.

Решение. Перегруппируем множители, стоящие в левой части:

.

4

))

8

)(

3

))((

12

)(

2

((

2

x

x

x

x

x











Получим уравнение, у которого квадратные трёхчлены отличаются

вторыми коэффициентами.

.

4

)

24

11

)(

24

14

(

2

2

2

x

x

x

x

x











Убеждаемся, что х = 0 не является корнем уравнения, и делим обе

части на выражение

.

2

x

.

4

)

24

11

)(

24

14

(











x

x

x

x

Вводим замену

t

x

x





24

, тогда:

.

4

)

11

)(

14

(







t

t

,

0

150

25

2







t

t

,

25

600

625







D

10

.

2

5

25

1













t

t

и

15

2





t

Вернёмся к замене:

1)

,

10

24







x

x

,

0

24

10

2







x

x

6

4

2

1









x

x

2)

,

15

24







x

x

,

0

24

15

2







x

x

,

129

96

225







D

.

2

129

15







x

Ответ:

−

4 ;

−

6 ;

2.

Приём выделения квадрата двучлена

При решении некоторых рациональных уравнений хороший эффект

даёт

формула

«Квадрат

двучлена».

В

результате

её

выделения

«вырисовывается»

нужная

замена

переменных,

позволяющая

свести

уравнение к квадратному.

Пример 2. Решите уравнение

1

)

1

(

2

2

2







х

х

х

12

Решение. О.Д.З.

.

1





х

Заметим, что в левой части уравнения стоят квадраты выражений х и

.

1

х

х



.

1

1

2

2



















х

х

х

К сумме квадратов этих выражений прибавим и отнимем их удвоенное

произведение и выделим формулу «Квадрат разности двух выражений».

,

1

1

2

1

2

























x

x

x

х

х

x

,

1

1

2

1

2

2

2





























x

x

х

х

x

x

,

1

1

2

1

2

2

2



























x

x

х

x

«Проявилась» замена

,

1

2

t

x

x





которая понижает степень уравнения.

,

2

1

0

1

2

1

2















t

t

t

.

2

1

2







t

Далее получаем два уравнения:

1)

,

2

1

1

2









x

x





,

0

2

1

2

1

2











x

x





,

2

2

1

2

1

4

)

2

1

(

2

1

















D

2

2

2

1

2

1













x

2)

,

2

1

9

2









x

x





,

0

2

1

2

1

2











x

x

0

1



D

.

Действительных корней нет.

Ответ:

.

2

2

2

1

2

1











3.

Приём почленного деления

13

Такой

приём

используется

в

отдельных

видах

рациональных

уравнений. Например, для решения возвратного или симметрического

уравнений четвёртой степени приходится выполнять почленное деление на

выражение

.

2

х

Но не всегда данное уравнение можно соотнести с

конкретным

видом.

Математическая

интуиция

и

наблюдательность

«подскажет», на какое выражение надо делить.

Пример 3. Решите уравнение

0

9

)

3

)(

16

(

2

2

2









х

х

х

Решение. Поделим обе части уравнения на выражение

.

)

3

(

2



х

Эта

операция возможна, так как

3



х

не является корнем уравнения. Имеем:

,

0

)

3

(

9

16

2

2

2









х

х

х

.

16

3

3

2

2



















х

х

х

Получаем уравнение, аналогичное разобранному в примере 17, и

выделяем квадрат двучлена.

,

16

3

6

3

3

2

2























x

x

х

х

x

,

16

3

6

3

3

3

2

2

2





























x

x

х

х

х

x

.

16

3

6

3

2

2

2



























x

x

х

x

Заменой

t

x

x





3

2

сводим уравнение к квадратному:

.

0

16

6

2







t

t

Отсюда

,

2

1





t

.

8

2



t

Вернёмся к замене:

1)

,

2

3

2







x

x

2)

,

8

3

2





x

x

,

0

6

2

2







x

x

,

0

24

8

2







x

x

,

7

6

1

1







D

0

1



D

действительных корней нет.

;

7

1







x

14

Ответ:

.

7

1





Методы решения рациональных неравенств

1.

Метод разложения на множители

Метод заключается в следующем. Пусть исходное неравенство

посредством неких равносильных преобразований нам удалось свести к виду

f

(

x

)

. g

(

x

)>

0

. Тогда оно равносильно следующей совокупности:

[

{

f

(

x

)

>

0 ,

g

(

x

)

>

0 ,

{

f

(

x

)

<

0 ,

g

(

x

)

<

0.

Далее решаются уже неравенства этой совокупности. При реализации

этого метода всегда нужно помнить об области определения исходного

неравенства и в конце не забыть исключить промежутки, не входящие в ОДЗ.

2. Метод введения новой переменной

Метод заключается в следующем. Пусть исходное неравенство f(x) > 0

посредством неких равносильных преобразований нам удалось свести к виду

p(g(x)) > 0 . Тогда можно ввести новую переменную t

= g(x), решить

неравенство p(t) > 0, пусть, например, t

1

≤

t < t

2

— его решение, а затем

разрешить относительно x неравенство t

1

≤

g(x) < t

2

.

Отметим здесь, что вариантов введения новой переменной зачастую

может быть несколько и от того, насколько более удачный из них был

выбран,

будет

зависеть

простота

полученного

в

результате

замены

неравенства.

3. Функционально-графический метод

Функционально-графический метод решения неравенства

f(x) > g(x)

заключается в следующем. В одной системе координат строятся графики

функций y = f(x) и y = g(x) , а затем находятся промежутки, на которых

функция f(x) расположена строго выше функции g(x), то есть находятся

значения x, при которых значение функции f(x) строго больше значения

функции g(x).

15

При реализации этого метода всегда нужно помнить о том, что

найденные таким образом значения будут приближёнными и, чтобы быть

уверенными в том, что найденный промежуток, например, [x

1;

x

2

), будет

точным

решением

исходного

неравенства,

необходимо

аналитически

проверить, что значения x

1

и x

2

будут действительно граничными точками

решения (например, установить, что при

x

=

x

2

f

(

x

)=

g

(

x

)¿

.

4. Метод оценки области значений

Данный метод решения неравенства

f

(

x

)>

g

(

x

)

работает следующим

образом. Если нам удалось установить, что на области определения

неравенства наибольшее значение функции

y

=

f

(

x

)

равно A, наименьшее

значение функции

y

=

g

(

x

)

равно B и

A ≤ B

, то неравенство

f

(

x

)>

g

(

x

)

не имеет

решений.

5. Замена неравенства h(f(x)) > h(g(x)) неравенством f(x) > g(x).

Данный метод решения неравенства

h

(

f

(

x

))>

h

(

g

(

x

))

заключается в

следующем. Если

y

=

h

(

x

)

— строго возрастающая функция, то неравенство

h

(

f

(

x

))>

h

(

g

(

x

))

равносильно неравенству

f

(

x

)>

g

(

x

)

на области определения

исходного неравенства. Если

y

=

h

(

x

)

— строго убывающая функция, то

неравенство

h

(

f

(

x

))>

h

(

g

(

x

))

равносильно неравенству

f

(

x

)<

g

(

x

)

на области

определения исходного неравенства.

6.Метод интервалов

Метод интервалов является одним из основных методов решения

рациональных неравенств. Он применяется после приведения неравенства к

виду

p

1

(

x

)

p

2

(

x

)

p

3

(

x

)

… p

n

(

x

)

˅ 0

где

p

(

x

)

и g

(

x

)

– многочлены первой или второй

степени, а символ ˅ заменяет один из знаков

¿

,

<

,≥ , ≤

и основан на правиле

определения знака произведения или частного нескольких множителей, из

которого следует, что при перемене знака одного из сомножителей

изменяется знак произведения или частного.

Алгоритм решения рационального неравенства методом интервалов

состоит в cледующем:

16

1.

Многочлен раскладываем на неприводимые множители, т.е.

приводим многочлен к виду p(x) = a(x

2

+ b

1

x + c

1

)

k

1 …

(x

2

+ b

s

x + c

s

)

k

s

(x – x

1

)

n

1

(x

– x

t

)

n

t

.

2.

Находим корни многочлена и отмечаем их на числовой оси. Если

данное неравенство является строгим, то нули отмечаются особым образом

(«выкалываются») и обычно изображаются пустыми кружочками. Если

неравенство нестрогое, нули многочлена являются решениями неравенства,

и, чтобы не забыть ни один из них, лучше изобразить их закрашенными

(бросающимися в глаза) кружочками.

3.

Корни многочлена разбивают числовую ось на несколько

интервалов, на каждом из которых многочлен принимает значения одного

знака. Определяем знак на каждом из полученных интервалов по знаку в

одной из точек интервала (такие точки иногда называют пробными) или в

зависимости от знака коэффициента по следующему правилу:

1.

На крайнем правом полуинтервале (когда x>x

l

) знак многочлена

совпадает со знаком коэффициента.

2.

Будем перемещаться по числовой оси влево. При прохождении

очередного корня x

i

знак многочлена меняем на противоположный, если

множитель (x – x

i

)

n

i

имеет нечетную степень n

i

(в том числе единицу), и

оставляем прежний знак, если эта степень четная ( в этом случае корень xi

называют двойным и отмечают на числовой оси двойным подчеркиванием).

3.

В

зависимости

от

того,

какой

знак

у

рассматриваемого

неравенства, выбираем «положительные» или «отрицательные» интервалы и

записываем ответ.

Изменение знаков удобно иллюстрировать с помощью волнообразной

кривой (кривой знаков), проведенной через отмеченные точки и лежащей

выше или ниже числовой оси в соответствии со знаком р (х) в

рассматриваемом

промежутке.

Промежутки,

которые

содержат

точки,

удовлетворяющие данному неравенству, покрывают штрихами.

17

Например, для кривой знаков, изображенных на рисунке, получаем

следующее решение неравенства p(x) > 0: (x

1

; x

2

) ᴜ (x

2

; x

3

) ᴜ (x

4

; +∞).

Пример. Решите неравенство x

4

– 6x

3

+ 11x

2

– 6x< 0.

Решение. Приведем сначала неравенство к виду, позволяющему применить

метод интервалов, т.е. разложим правую часть на множители.

x

4

– 6x

3

+ 11x

2

– 6x = x(x

3

– 6x

2

+ 11x – 6) = x(x

3

– x

2

– 5x

2

+ 5x + 6x – 6) =

= x(x – 1)(x

2

– 5x – 6) =x(x – 1)(x – 2)(x – 3) < 0.

Строим кривую знаков

Ответ: (0; 1) ᴜ (2; 3)

При решении дробно-рациональных неравенств

p

(

x

)

g

(

x

)

˅ 0

необходимо

исключить из рассмотрения такие значения х, при которых многочлен g(x)

обращается в ноль.

Таким образом, алгоритм решения дробно-рационального неравенства

методом интервалов состоит в следующем:

1.

Находим корни х

1

, х

2

, ... , х

n

уравнений p(x) = 0 и g(x) = 0 и

отмечаем

их

на

числовой

оси:

закрашенными

кружками

–

точки,

удовлетворяющие

заданному

неравенству,

а

незакрашенными

–

не

удовлетворяющие ему.

2.

Точки х

1

, х

2

, ..., х

n

разбивают числовую ось на промежутки, в

которых выражение

p

(

x

)

g

(

x

)

определено и сохраняет знак. Определяем и

отмечаем на числовой оси знаки выражения

p

(

x

)

g

(

x

)

для значений х,

18

принадлежащих каждому из полученных промежутков. Если функции p(x) и

g(x) являются многочленами и не содержат множителей вида (x – x

1

)

2n

, где n є

N, то достаточно определить знак функции

p

(

x

)

g

(

x

)

в любом таком промежутке,

а в остальных промежутках знаки «плюс» и «минус» будут чередоваться.

Если же в числителе или знаменателе дроби

p

(

x

)

g

(

x

)

имеется множитель вида (x

– x

1

)

2n

, где n є N, то непосредственной проверкой выясняют, удовлетворяет

ли значение х = х

i

заданному неравенству.

Пример. Решите неравенство

x

2

−

3 x

−

18

13 x

−

x

2

+

42

≥ 0

.

Решение. Приведем сначала неравенство к виду, позволяющему

применить метод интервалов. Получаем последовательно:

x

2

−

3 x

−

18

x

2

−

13 x

+

42

≤ 0

или

(

x

−

6

) (

x

+

3

)

(

x

−

6

) (

x

−

7

)

≤0

.

Сократив дробь на x – 6 при условии, что x ≠ 6, получим:

x

+

3

x

−

7

≤ 0

откуда находим –3 ≤ x < 7. Исключив из этого промежутка точку x = 6,

получим решение заданного неравенства: –3 ≤ x < 6; 6 < x < 7.

Ответ: [–3; 6) (6; 7)

19

3.

АПРОБАЦИЯ АВТОРСКОГО КОМПЛЕКТА ЗАДАНИЙ ПО

ТЕМЕ «РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА»

В ходе работы над проектом был составлен комплект авторских

заданий по теме «Рациональные уравнения и неравенства» повышенного

уровня для подготовки учащихся к ЕГЭ. В него входят 10 рациональных

уравнений и 9 неравенств на применение различных методов, а также

подзадачи, которые необходимо выполнить для успешного решения заданий

из комплекта.

Комплект заданий «Рациональные уравнения и неравенства»

1.

(2х

2

+ х – 4)(2х

2

+ х + 5) = 10;

2.

(х + 5)(х + 3)(х + 9)(х + 7) = 9;

3.

(3х +2)

4

+ (3х + 4)

4

= 2;

4.

(

х

−

3

)

4

2

+

1

(

х

−

3

)

2

= 6(

х

−

3

4

−

2

х

−

3

¿

+8;

5.

9х

2

+ 6х +10 =

9

х

2

−

2

3

х

+

1

;

6.

x

−

3

x

−

1

+

x

+

3

x

+

1

=

x

−

6

x

−

2

+

x

+

6

x

+

2

;

7.

x

2

+

2 x

+

3

x

+

1

+

x

2

+

8 x

+

20

x

+

4

=

x

2

+

4 x

+

6

x

+

2

+

x

2

+

6 x

+

12

x

+

3

;

8.

x

3

−

2 x

2

−

5 x

+

6

=

0

;

20

9.

(

x

−

1

) (

x

−

7

) (

x

−

4

) (

x

+

2

)

=

40

;

10.

x

3

−(

√

2

+

1

)

x

2

+

2

=

0

;

11.

1

х

2

−

15 х

+

56

+

1

х

2

−

19 х

+

88

≤

0;

12.

x

2

−

3 x

−

2

x

2

−

3 x

+

2

+

x

2

−

3 x

+

16

x

2

−

3 x

≥ 0;

13.

¿

;

14.

х

3

+

х

2

-

18 х

2

−

х

+

2

х

−

2

≤

1;

15.

x

2

+

x

+

1

x

+

1

+

x

2

+

2 x

+

2

x

+

2

≤

x

2

+

3 x

+

3

x

+

3

+

x

2

+

4 x

+

4

x

+

4

;

16.

х

4

−

5 х

3

+

3 х

−

25

х

2

−

5 х

≥ х

2

−

1

х

−

4

+

5

х

;

17.

8 х

2

+

7

х

2

+

х

+

1

≥

х

х

+

5

+ 7;

18.

х

2

+

2 х

−

4

х

+

3

+

х

2

+

5 х

+

3

х

+

5

≤

2х – 1;

19.

1

х

(

х

+

1

)

+

1

(

х

+

1

)

(

х

+

2

)

+

1

(

х

+

2

)

(

х

+

3

)

≤

3

4

.

Предложенные способы решения и ход его решения описаны в

ПРИЛОЖЕНИИ.

Уравнения и неравенства, представленные в данной работе, были

апробированы на обучающихся 11 классов МБОУ СОШ № 14 г. Уссурийска

Уссурийского городского округа. Апробация заключалась в следующем:

- в проведении констатирующего и формирующего экспериментов;

- в анализе результатов эксперимента.

В ходе констатирующего эксперимента обучающимся в количестве 24

человек было предложено на уроке математики решить по 2 уравнения и

неравенства из комплекта заданий. Результат представлен в виде диаграммы:

21

1

9

14

Результаты диагностической работы "Рациональные

уравнения и неравенства" на этапе константирующего

эксперимента

Справились с заданием

Нашли способ решения, но не довели до конца

Не справились с заданием

Ими были выдвинуты и осуществлены идеи по решению, но без

дополнительных знаний методов решения, в основном результат получен не

был. Разработанные

задания по теме «Рациональные уравнения и

неравенства (повышенного (высокого) уровня сложности для подготовки к

ЕГЭ» лучше использовать на элективных курсах по математике, так как

требует дополнительного времени для проработки применения различных

методов и приемов решения, что послужит хорошей основой для усвоения

данной темы на более глубоком уровне.

Формирующий эксперимент был проведен после отработки подзадач

на уроках математики и разбора предложенных ранее заданий. Также были

проведены три занятия в рамках элективного курса для 11го класса

«Углубленные вопросы математики», где были разобраны различные

нестандартные методы рациональных уравнений и неравенств на примерах

из методических материалов. Результат формирующего эксперимента:

22

15

9

3

Результаты диагностической работы "Рациональные

уравнения и неравенства" на этапе формирующего

эксперимента

Справились с заданием

Нашли способ решения, но не довели до конца

Не справились с заданием

Результаты формирующего эксперимента показали, что решение

заданий повышенного уровня происходит лучше, если предварительно

разбирать задания, подводящие к использованию нестандартных методов, а

также отработка навыка решения рациональных уравнений и неравенств на

практике.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе проведенной работы нами были рассмотрены основные

понятия:

уравнение,

корень

уравнения,

равносильность

уравнений,

неравенство, решение неравенств. А также изучены общие методы решения

рациональных уравнений и неравенств, а также – нестандартные приемы их

решения.

Анализ используемой литературы позволяет утверждать о том, что

решению рациональных уравнений и неравенств выделена недостаточно

23

активная роль в курсе изучения математики в школе. В школьных учебниках

малое количество заданий на нестандартные методы решения уравнений и

неравенств. Наше исследование посвящено разработке комплекта заданий

повышенного уровня для подготовки к ЕГЭ с указанием подзадач, который

представлен в ПРИЛОЖЕНИИ с полностью разобранным решением.

В

ходе

работы

над

проектом

уравнения

и

неравенства,

представленные в данной работе, были апробированы на обучающихся 11

классов МБОУ СОШ № 14 г. Уссурийска Уссурийского городского округа.

При апробации пришли к выводу: разработанные

задания по теме

«Рациональные уравнения и неравенства (повышенного (высокого) уровня

сложности для подготовки е ЕГЭ»

лучше использовать на элективных

курсах по математике, так как требует дополнительного времени для

проработки применения различных методов и приемов решения, что

послужит хорошей основой для усвоения данной темы на более глубоком

уровне.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Аксенова М. Д. Энциклопедия для детей Аванта +. Т.11. Математика.

2. Башмаков М.И. Уравнения и неравенства. – 2-е издание, перераб.–

М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1976. – 96

с.

3. Вавилов В.В. Задачи по математике. Алгебра. Справочное пособие./

Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. – М.: Наука.

24

Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. – 432 с.

25