ГКОУ «Специальная (коррекционная) общеобразовательная школа-интернат №36 города Ставрополя»
«Развитие логического мышления глухих

школьников на уроках математики».


учитель математики Мокрецова Нина Михайловна
Ставрополь, 2016 г.
РАЗВИТИЕ ЛОГИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ ГЛУХИХ ШКОЛЬНИКОВ НА

УРОКАХ МАТЕМАТИКИ.

Понятие о мышлении.
Мышление – высшая форма отражения мозгом окружающего мира, наиболее сложный познавательный психический процесс, свойственный только человеку. Мышление – это процесс опосредованного и обобщенного познания окружающего мира. Сущность его в отражении: 1) Общих и существенных свойств предметов и явлений, в том числе и таких свойств, которые не воспринимаются непосредственно; 2) Существенных отношений и закономерных связей между предметами и явлениями. Мышление расширяет границы познания, даёт возможность выйти за пределы непосредственного опыта ощущений и восприятия. Мышление даёт возможность знать и судить о том, что человек непосредственно не наблюдает, не воспринимает. Оно позволяет предвидеть наступление таких явлений, которые в данный момент не существуют. Мышление перерабатывает информацию, которая содержится в окружениях и восприятии, а результаты мысленной работы проверяются и применяются на практике. Мышление человека неразрывно связанно с речью. Мысль не может ни возникнуть, ни протекать, ни существовать вне языка. Мыслительная деятельность людей совершается при помощи мыслительных операций: сравнения, анализа и синтеза, абстракции, обобщения и конкретизации. Сравнение – это сопоставление предметов и явлений с целью найти сходство и различие между ними. В учебной деятельности школьника сравнение играет очень важную роль. Сравнивая, например, прилагательное и глагол, операции умножения и деления, треугольник и прямоугольник, школьник глубже познаёт особенности данных предметов или явлений. Исследования показали, что младшие школьники более успешно будут находить сходство между предметами, если при сравнении давать д о п о л н и т е л ь н ы й п р е д м е т, о т л и ч н ы й о т с р а в н и в а е м ы х . Е с л и продемонстрировать три картинки – корову, овцу и собаку, то учащиеся находят гораздо больше сходных признаков у коровы и овцы. Анализ – это мысленное расчленение предмета или явления на образующие его части, выделение в нём отдельных частей, признаков и свойств. Синтез – это мысленное соединение отдельных элементов, частей и признаков в единое целое. Анализ и синтез неразрывно связанны, находятся в единстве друг с другом в процессе познания: анализируем мы всегда то, что синтетически целое, а синтезируем то, что аналитически расчленено.
Анализ и синтез – важнейшие мыслительные операции, в единстве они дают полное и всестороннее знание действительности. Анализ даёт знание отдельных элементов, а синтез, опираясь на результаты анализа, объединяя эти элементы, обеспечивает знание объекта в целом. Абстракция – это мысленное выделение существенных свойств и признаков предметов или явлений при одновременном отвлечении от существенных признаков и свойств. Выделенный в процессе абстрагирования признак предмета мыслится независимо от других признаков и становится самостоятельным объектом мышления. Обобщение и конкретизация. Абстракция лежит в основе обобщения – мысленного объединения предметов и явлений в группы по тем общим и существенным признакам, которые выделяются в процессе абстрагирования. В учебной работе школьников обобщение обычно проявляется в выводах, определениях, правилах, классификации. Различают два вида обобщения: формально-эмпирическое и содержательное. Формально- эмпирическое обобщение осуществляется путём сравнения ряда объектов и выявления внешне одинаковых и общих признаков. Содержательное обобщение основано на глубоком анализе объектов и выявлении скрытых общих и существенных признаков, отношений и зависимостей. Конкретизация – это мысленный подход от общего к единичному, которое соответствует этому общему. В учебном процессе конкретизация имеет большое значение: она связывает наши теоретические знания с жизнью, с практикой и помогает правильно понять действительность. Отсутствие конкретизации приводит к формализму знаний, которые остаются голыми и бесполезными абстракциями, оторванными от жизни. Различают три основные формы мышления: понятие, суждение и умозаключение. Понятие – это форма мышления, в которой отражаются общие и притом существенные свойства предметов и явлений. Понятие существует в виде значения слова, обозначается словом. Каждое слово обобщает. Понятие существенно отличается от восприятия и представления памяти: восприятие и представление конкретны, образны, наглядны; понятие обладает обобщенным, абстрактным, не наглядным характером. Суждение – это форма мышления, содержащая утверждение или отрицание какого-либо положения относительно предметов, явлений или их свойств. Суждения бывают общими, частными и единичными. В общих суждениях утверждается или отрицается что-то относительно всех предметов и явлений, объединяемых понятием, например: «Все металлы проводят электричество». В частном суждении речь идет только о части предметов и явлений, объединяемых понятием, например: «Некоторые школьники умеют играть в шахматы». Единичное суждение – это суждение, в котором речь идет о каком-то индивидуальном понятии.
Умозаключение – такая форма мышления, в процессе которой человек, сопоставляя и анализируя различные суждения, выводит из них новое суждение. Пример – доказательство геометрических теорем. Человек пользуется в основном двумя видами умозаключений – индуктивным и дедуктивным. Индукция – это способ рассуждения от частных суждений к общему суждению, установление общих законов и правил на основании изучения отдельных фактов и явлений. Дедукция – это способ рассуждения от общего суждения к частному суждению, познание отдельных фактов и явлений на основании знания общих законов и правил. Мышление человека, и в частности школьника, наиболее ярко проявляется при решении задач. Любая мыслительная деятельность начинается с вопроса, который ставит перед собой человек, не имея готового ответа на него. Иногда этот вопрос ставят другие люди, но всегда акт мышления начинается с формулировки вопроса, на который надо ответить, задачи, которую надо решить, с осознания чего-то неизвестного, что надо понять, уяснить. Человек может мыслить с разной степенью обобщенности, в большей или меньшей степени, опираться в процессе мышления на восприятие, представления или понятия. В зависимости от этого различают три основных вида мышления: предметно-действенное, наглядно-образное и абстрактное. Предметно-действенное мышление – вид мышления, связанный с практическими действиями над предметами. В элементарной форме предметно-действенное мышление свойственно детям раннего возраста, для которых мыслить о предметах означает действовать, манипулировать с ними. В развитой форме оно свойственно людям определенной профессии, которая связана с практическим анализом, конструированием. Наглядно-образное мышление – это вид мышления, который необходимо опирается на восприятие или представления. Этот вид мышления характерен для дошкольников и отчасти детей младшего школьного возраста, а в развитых формах свойствен людям тех профессий, которые связанны с ярким и живым представлением тех или иных предметов или явлений. Когда учитель рассказывает школьникам о прямой или кривой, проделывает с ними практическую работу с ниточкой или объясняет на картинке, то он имеет дело с наглядно-образным мышлением. Абстрактное мышление, по преимуществу характеризующее старших школьников и взрослых. Мышление представляет собой процессы познания человеком объектов и явлений окружающего мира и их связей, решения жизненно важных задач, поиска неизвестного, предвидения будущего. На стадии конкретных операций (от 7 до 12 лет) р е б ё н о к обнаруживает способность к выполнению гибких и обратимых операций, совершаемых в соответствии с логическими правилами. Дети, достигшие
этого уровня развития, уже могут давать логические объяснения выполняемым действиям, способны переходить с одной точки зрения на другую, становятся более объективными в своих оценках. Они сравнительно легко справляются с задачами на сохранение. Дети приходят к интуитивному пониманию двух важных логических принципов, которые выражаются отношениями: если А=В и В=С, то А=С; А+В=В+А. Другой важнейшей характеристикой этой стадии интеллектуального развития является способность ранжировать объекты по какому-либо измеримому признаку, например по массе или величине. В теории Ж. Пиаже эта способность носит название сериации. Ребенок также уже понимает, что многие термины, выражающие отношения: меньше, короче, легче, выше и т.д. – характеризуют не абсолютные, а относительные свойства объектов, т.е. такие их качества, которые появляются у данных объектов лишь в отношении других объектов. Дети этого возраста способны объединить предметы в классы, выделять из них подклассы, обозначая словами выделяемые классы и подклассы. Вместе с тем дети до 12 лет еще не могут рассуждать , пользуясь а б с т ра кт ными поня т ия ми, опират ьс я в с воих ра с сужд е ния х н а предположения или воображаемые объекты.
Логическое

мышление.
Формирование логического мышления – важная составная часть педагогического процесса. Помочь учащимся в полной мере проявить свои способности, развить инициативу, самостоятельность, творческий потенциал – одна из основных задач современной школы. Успешная реализация этой задачи во многом зависит от формирования у учащихся познавательных интересов. Математика даёт реальные предпосылки для развития логического мышления, задача учителя – полнее использовать эти возможности при обучении детей математике. Однако, конкретной программы логических приемов мышления, которые должны быть сформулированы при изучении данного предмета, нет. В результате работа над развитием логического мышления идёт без знания системы необходимых приёмов, без знания их содержания и последовательности формирования. Первоначальные математические знания усваиваются детьми в определённой, приспособленной к их пониманию, системе, в которой отдельные положения логически связаны одно с другим, вытекают одно из другого. При сознательном усвоении математических знаний учащиеся пользуются основными операциями мышления в достигнутом для них виде: анализом и синтезом, сравнением, абстрагированием и конкретизацией, обобщением; ученики делают индуктивные выводы, проводят дедуктивные рассуждения. Сознательное усвоение учащимися математических знаний развивает логическое мышление учащихся. Овладение мыслительными операциями в свою очередь помогает учащимся успешнее усваивать новые знания.
Умение мыслить формируется у большинства глухих детей значительно позже, чем у слышащих (Т.В. Розанова). В то же время при использовании сенсорных символов установлении отношений между величинами осуществляется глухими детьми так же, как и слышащими, то есть они «легко совершают переход от понимания этих отношений в конкретно-наглядном выражении». Результаты упорядочивания тех же величин на основе словесного выражения этих отношений резко ухудшаются. У глухих детей медленнее, чем у слышащих, формируются представления об отношениях порядка между понятиями. Это проявляется в том, что глухие учащиеся как младших, так и средних классов во многих случаях общие понятия выражают словами, обозначающими более частные понятия, и редко используют промежуточные обобщения (например, четырехугольник называют квадратом или не считают квадрат прямоугольником). Это явление обусловлено затрудненностью разноаспектного анализа одного и того же объекта. В исследованиях В. Б. Суховой, посвященном особенностям формирования геометрических представлений, было обнаружено, что глухие ученики начальных классов при использовании математических терминов неправомерно расширяют объем соответствующего понятия (например, к прямоугольникам относят параллелограммы). При этом основанием для классификации служит либо сходство отдельных существенных признаков объектов, либо наличие чисто внешнего несущественного сходства. Ошибки подобного рода являются характерными для глухих детей и наблюдались рядом исследователей (А. П. Гозова, Л. В. Занков, И. М. Соловьев, Н. Г. Морозова, Ж. И. Шиф и др.). Итак, у детей с нарушениями слуха представления об отношениях порядка между величинами и понятиями формируются замедленно и искаженно. Со значительным отставанием у большинства глухих детей формируется обратимость мыслительных операций, связанных с отношениями порядка. Эти трудности становятся более заметными при оперировании несимметричными отношениями. Упорядочивание величин выполняется глухими детьми успешнее при использовании сенсорных символов. Глухие учащиеся испытывают значительные трудности при установлении иерархии между родственными понятиями: отождествляют родовое и видовое понятия, неправомерно расширяют или сужают объемы понятий. Познавая предметы и явления окружающей действительности, мы можем мысленно расчленять предмет или явление на составные части и мысленно же соединять части в одно целое. Операция мышления, направленная на расчленение целого на составляющие его части, называется анализом. Операция мышления, направленная на установление связи между предметами или явлениями, называется синтезом. Эти операции мышления взаимно связаны. Анализ и синтез, взаимно связанные операции мышления, находят постоянное применение, как при изучении элементов арифметической теории, так и при решении примеров и задач. Уже на первых шагах обучения при изучении чисел первого десятка учащиеся пользуются наглядно-действенным анализом (разложением)
предметных множеств на составляющие их элементы и наглядно-действенным синтезом (соединением), группируя элементы во множества. Наглядный анализ и синтез сменяется затем анализом и синтезом по представлению: ребёнок может выполнить разложение чисел или их соединение, оперируя со зрительными образами, которые сохраняются в его памяти и могут быть воспроизведены в его сознании. Более высокой ступенью является умственный анализ и синтез, выполняемый мысленно при помощи внутренней речи. При обучении любому разделу математики приходится опираться на анализ и синтез. Анализ и синтез, как взаимосвязанные мыслительные операции находят своё применение при решении текстовых задач. Ученик под руководством учителя, прежде всего, анализирует содержание задачи, расчленяя его на числовые данные, условия и вопрос. При решении составных арифметических задач требуется применить более сложный и более тонкий анализ и синтез. Анализ содержания составной задачи, так же как и простой, сводится к расчленению его на числовые данные, условия и вопрос. Однако сами данные, условие и искомое должны подвергнутся дополнительно анализу, расчленению на составляющие их элементы. В процессе начального обучения математике находит своё применение приём сравнения, т.е. выделение сходных и различных признаков у рассматриваемых чисел, арифметических примеров, арифметических задач. После решения задач учащиеся сравнивают, каким действием решается та или другая задача: одна сложением, другая умножением, а затем сопоставляют способы решения с различиями в условиях задач. Такое сопоставление помогает учащимся лучше осознать смысл выражений «больше на несколько единиц» и «больше в несколько раз» и прочнее установить связь между условием каждой задачи и способом её решения. Сравнение основано на анализе и синтезе: необходимо расчленить каждую задачу на составляющие её элементы, а затем мысленно соединить сходные элементы, выделив при этом существенные различия. При объяснении учащимся новой для них по способам решения задачи с многозначными числами часто используется приём аналогии: учитель предлагает решить аналогичную задачу с небольшими числами, вычисления над которыми можно выполнить устно. В начальной школе у ребенка проявляются признаки логического мышления. В своих рассуждениях он начинает использовать логические операции и на их основе строить умозаключения. Очень важно в этот период научить ребенка логически мыслить и обосновывать свои суждения. Используя в начальном обучении математике различные методы, учитель применяет их так, чтобы они содействовали активизации логического мышления учащихся и тем самым способствовали его развитию и умению применять эти знания в старшей школе.

Логические задачи.
1) Вася выше Саши на 8см, а Коля ниже Саши на 3см. На сколько сантиметров самый высокий из мальчиков выше самого маленького? 2) «Магические квадраты». расставьте числа 2; 4; 5; 9; 11; 15 так, чтобы по всем линиям в сумме получилось 24. 3) Сравни уравнения в каждом столбике и, не вычисляя, скажи, в котором из них неизвестное число больше. Проверь вычислением: х + 37 = 78 90 – х = 47 х – 28 = 32 45 + х = 63 х + 37 = 80 90 – х = 50 х – 28 = 22 45 + х = 68 Проанализировав данные упражнения, можно сделать следующие выводы. В учебниках для глухих детей, несомненно, присутствуют разнообразные задания, способствующие развитию операций логического мышления, но заданий на построение вспомогательных моделей к текстовым задачам мало. Часто в этих заданиях не используется весь потенциал средств для развития логического мышления. Например, детям предлагается сравнить уже готовые модели к данной задаче, хотя дети могут построить модели сами, а потом их сравнить. Также в учебниках преобладают модели в виде краткой записи и рисунка задачи, меньше моделей в виде чертежа и соответственно мало заданий на их сравнение. Задания на развитие умения обобщать в процессе построения моделей задач отсутствуют, комплексных заданий на развитие нескольких операций мышления и заданий на развитие умения сравнивать мало. Исходя из вышеизложенного, можно предложить дополнить данный список заданий упражнениями, способствующими развитию логического мышления младших школьников в процессе построения вспомогательных моделей к текстовым задачам. Для этого необходимо в первую очередь изучить понятие текстовой задачи и рассмотреть виды вспомогательных моделей текстовых задач. Для игры с кругами нужны нарисованные на бумаге один, два или три пересекающихся круга разного цвета, разноцветные обручи и наборы геометрических фигур разных цветов и размеров, карточки с числами и буквами русского алфавита. В принципе необязательно использовать круги, можно работать с любыми замкнутыми плоскими фигурами. В этом случае замкнутые области выделяются на монтажной панели, к примеру, цветными веревочками. Возможна также работа на компьютере со специальной компьютерной программой. Комплексное обучение, сочетающее игры с обручами со всем классом, игру за столом в группе и индивидуальную работу за компьютером, является наиболее эффективным. Приведем несколько примеров заданий для игры "Круги". Она может использоваться со старшими учениками начального звена.

Задачи с одним кругом.
Цель работы над задачами с одним кругом - учить классифицировать предметы по одному признаку, понимать и применять логическую операцию отрицания не. Игра проводится со всем классом или индивидуально. У учеников в руках наборы квадратов, кругов и треугольников разных цветов и размеров. В центре игровой площадки помещен обруч или на доске нарисован круг. Учитель: - Покажите треугольные фигуры. - Покажите красные фигуры. - Прыгните и приземлитесь (поставьте мелом точку) внутри круга. - Прыгните и приземлитесь (поставьте мелом точку) вне круга. Ученики выборочно выполняют эти простые задания. Надо быть готовым к тому, что здесь необязательно сразу будут правильные результаты. Понятия "внутри" и "вне" у многих глухих детей в этом возрасте еще не полностью сформированы. В дальнейшем в игру вносятся варианты вопросов различной степени трудности. В частности, можно задавать вопросы на подсчет количества фигур с определенным признаком. Эту игру нужно провести в простом варианте 3-5 раз перед переходом к игре с двумя кругами, но возвращаться к ней с более сложными заданиями следует неоднократно.
Примеры заданий.
При выполнении каждого из этих заданий очень важно не только правильно разложить фигуры или карточки, но и правильно ответить на вопросы: - Какие геометрические фигуры (буквы, числа...) лежат внутри круга? - Какие геометрические фигуры (буквы, числа...) лежат вне круга? 1. В круг положите все красные фигуры. Вне круга лежат некрасные фигуры. 2. В круг положите все круглые фигуры. Вне круга лежат некруглые фигуры. 3.В круг положите все некруглые фигуры. Игру с кругами можно использовать и для изучения свойств чисел, букв, звуков. Вот несколько таких примеров. 4. В круг положите все числа, большие 5. Вне круга лежит и число 5, поэтому ответ "Вне круга лежат числа, меньшие 5" будет неверным. Правильный ответ: "Вне круга лежат числа не больше 5". 5. В круг положите все числа, делящиеся на 2 (3, 5...). Эта задача может быть использована для изучения признаков делимости чисел. 6. В круг положите все числа, делящиеся на 2 и на 3 одновременно.
Вне круга лежат числа, не делящиеся на 2 или не делящиеся на 3. 7. В круг положите все числа, делящиеся на 2 или на 3. Вне круга лежат числа, не делящиеся ни на 2, ни на 3. 8. В круг положите все геометрические фигуры, которые являются красными или треугольными. Вне круга лежат геометрические фигуры, являющиеся одновременно некрасными и нетреугольными. Развитие у детей логического мышления – это одна из важных задач начального обучения. Умение мыслить логически, выполнять умозаключения без наглядной опоры, сопоставлять суждения по определенным правилам – необходимое условие успешного усвоения учебного материала. Основная работа для развития логического мышления должна вестись с задачей. Ведь в любой задаче заложены большие возможности для развития логического мышления. Нестандартные логические задачи – отличный инструмент для такого развития. Существует значительное множество такого рода задач: 1. Решение задач различными способами. Мало уделяется внимания решению задач разными способами в основном из-за нехватки времени. А ведь это умение свидетельствует о достаточно высоком математическом развитии. Кроме того, привычка нахождения другого способа решения сыграет большую роль в будущем. Но я считаю, что это доступно не всем учащимся, а лишь тем, кто любит математику, имеет особые математические способности. 2. Правильно организованный способ анализа задачи - с вопроса или от данных к вопросу. 3. Представление ситуации, описанной в задаче (нарисовать "картинку"). Учитель обращает внимание детей на детали, которые нужно обязательно представить, а которые можно опустить. Мысленное участие в этой ситуации. Разбиение текста задачи на смысловые части. Моделирование ситуации с помощью чертежа, рисунка. 4. Самостоятельное составление задач учащимися. Составить задачу: 1) используя слова: больше на, столько, сколько, меньше в, на столько больше, на столько меньше; 2) решаемую в 1, 2, 3 действия; 3) по данному ее плану решения, действиям и ответу; 4) по выражению и т.д. 5. Решение задач с недостающими или лишними данными. 6. Изменение вопроса задачи. 7. Составление различных выражений по данным задачам и объяснение, что обозначает то или иное выражение. Выбрать те выражения, которые являются ответом на вопрос задачи. 8. Объяснение готового решения задачи. 9. Использование приема сравнения задач и их решений. 10. Запись двух решений на доске - одного верного и другого неверного. 11. Изменение условия задачи так, чтобы задача решалась другим действием. 12. Закончить решение задачи.
13. Какой вопрос и какое действие лишние в решении задачи (или, наоборот, восстановить пропущенный вопрос и действие в задаче). 14. Составление аналогичной задачи с измененными данными. 15. Решение обратных задач. Систематическое использование на уроках математики и внеурочных занятиях специальных задач и заданий, направленных на развитие логического мышления, организованных согласно приведенной выше схеме, расширяет математический кругозор младших школьников.
Сюжетные задачи.
1. Гном Путалка идёт к клетке с тигром. Каждый раз, когда он делает два шага вперёд, тигр рычит, и гном отступает на шаг назад. За какое время он дойдёт до клетки, если до неё 5 шагов, а 1 шаг Путалка делает за 1 секунду? 2. Гном Забывалка учился писать цифры заострённой палочкой на песке. Только он успел нарисовать 5 цифр: 12345 как увидел большую собаку, испугался и убежал. Вскоре в это место пришёл другой гном Путалка. Он тоже взял палочку и начертил вот что: 12345 = 60 Вставь между цифрами плюсы таким образом, что получившийся пример был решён правильно. 3. Какую отметку впервые в жизни получил по математике Фома, если известно, что она является числом не простым, а составным? 4. Сколько лет просидел на печи Илья Муромец? Известно, что если бы он просидел ещё 2 раза по столько, то его возраст составил бы наибольшее двузначное число. 5. Барон Мюнхгаузен пересчитал число волшебных волос в бороде старика Хоттабыча. Оно оказалось равным сумме наименьшего трёхзначного числа и наибольшего двузначного. Что это за число? 6. Раздели самое маленькое четырёхзначное число на наименьшее простое и узнаешь, сколько лет не умывалась и не чистила зубы злая волшебница Гингема из повести-сказки А. Волкова "Волшебник Изумрудного города".
Зачёркивание, превращение, отгадывание чисел.
7. Угадай число от 1 до 28, если в его написание не входят цифры 1, 5 и 7; кроме того, оно нечётное и не делится на 3. 8. Отгадай число от 1 до 58, если в его написание не входят цифры 1, 2 и 3; кроме того, оно нечётное и не делится на 3, 5 и 7. 9. Преврати в числе 123 одну цифру в пятёрку так, чтобы получившееся число делилось на 9. Каково оно? 10. Вычти из произвольного двузначного числа сумму его цифр. Всегда ли разность разделится на 3? А на 9? При изучении математических понятий и выявлении связей между ними полезно рассматривать их наряду с житейскими понятиями, взаимосвязи между
которыми детям уже известны. Подобная работа поможет избежать распространенной у учащихся специальных школ ошибки, заключающейся в рядоположении общих и частных понятий. Область применения предложенных методических приемов может быть распространена, помимо математики, на многие другие общеобразовательные предметы в большинстве типов школ, поскольку отношения порядка общезначимы. Умение оперировать этими отношениями является необходимым элементом интеллектуальной и языковой культуры человека.
Литература.
1. Бабкина Н.В. Нетрадиционный курс "Развивающие игры с элементами логики" для первых классов начальной школы. // Психологическое обозрение. 1996. № 2 (3), с. 47-52. 2. Зайцев Т.Г. Теоретические основы обучения решению задач в начальной школе. – М.: Педагогика, 1983. 3. Зак А.З. 600 игровых задач для развития логического мышления детей. Ярославль: "Академия развития", 1998. 4. Зак А.З. Развитие умственных способностей младших школьников. М.: Просвещение, Владос, 1994. 5. Липина И. Развитие логического мышления на уроках математики // Начальная школа. – 1999. - № 8. С. 37-39. 6. Лихтарников Л.М. Занимательные логические задачи. Для учащихся начальной школы. – СПб.: "Лань", "Мик", 1996. 7. Мельченко И.В. Примерные задания для детей, мотивированных к интеллектуальной деятельности, в возрасте от 6 до 10 лет / / macschool.narodmetod/ssm/appendix.html 8. Моро М.И., Пышкало А.И. Методика обучения математике в 1-3 кл. - М.: Просвещение, 1988. 9. Муранов А.А., Муранова Н.Ф. Игры с кругами – Минск, 1995. 10.Пиаже Ж. Избранные психологические труды. – СП-б: Изд-во «Питер», 1999. 11.Сухомлинский В.А. Избранные педагогические сочинения. Т. 3. М.: Педагогика, 1981. 12.Сухин И.Г. 800 новых логических и математических головоломок. – СПб.:
Альфа, 1998. 13.Формирование учебной деятельности школьников. / Под. ред. Давыдова В.В., Ломпшера Й., Марковой А.К. М.: Просвещение, 1982.