Алгебра

8 класс

Алексеев Иван Александрович.

Тема: «Решение квадратных уравнений графическим способом»

Цели урока:

1. Образовательные: познакомить учащихся с графическим способом

решения квадратных уравнений, повторить ранее изученные методы решения

квадратных уравнений, виды графиков и свойства функций у =

х

1

, у = х

2

,

закрепить навыки построения графиков функций.

2. Развивающие:

развивать

навыки

творческой,

познавательной,

мыслительной деятельности, логическое мышление, вырабатывать умение

анализировать и сравнивать.

3. Воспитательные: воспитывать сознательное отношение к учебному

труду,

развивать

интерес

к

математике,

самостоятельность,

прививать

аккуратность и трудолюбие.

Оборудование:

мультимедийный

проектор,

компьютеры,

карточки

с

дифференцированными заданиями, сигнальные карточки.

Тип урока: урок формирования знаний.

Вид урока: урок – практикум.

Методы урока: словесные, наглядные, практические.

О р г а н и з а ц и о н н ы е

ф о рм ы

о б щ е н и я : индивидуальная,

парная,

коллективная.

Структура урока:

1. Мотивационная беседа с последующей постановкой цели.

2.

Актуализация

опорных

знаний

–

устная

работа,

с

помощью

которой

ведётся повторение основных фактов, свойств на основе систематизации

знаний.

3. Изучение нового материала – рассматривается ещё один способ решения

квадратных уравнений – графический.

4. Закрепление изученного материала.

5. Практическая работа с использованием компьютеров.

6 . Обогащение знаний – знакомство с траекториями движения космических

аппаратов

7. Подведение итогов урока.

8. Творческое домашнее задание.

9. Рефлексия.

Ход урока.

I. Мотивационная беседа.

Учитель: Как вы думаете, зачем надо изучать математику?

Ответ на этот вопрос вы найдёте, если узнаете, что означает в переводе с

греческого

слово

«математика».

«Математика»

-

знание,

наука.

Именно

поэтому, если человек был умен в математике, то это всегда означало высшую

ступень учености. А умение правильно видеть и слышать – первый шаг к

мудрости. Вот поэтому мне сегодня очень хочется, чтобы вы стали немного

мудрее и расширили свои знания по математике.

Итак, запишите в тетрадь число и тему урока. Сегодня необычный день, 25

января – Татьянин день. Это день всех студентов, день молодости.

Цель урока - познакомить вас еще с одним способом решения квадратных

уравнений

–

графическим,

закрепить

этот

способ

решения

практической

работой с использованием компьютеров.

У вас находятся одинаковые трафареты, состоящие из 10 комбинаций,

которые обозначены римскими цифрами.

I II III IV V

VI VII VIII

IX X

В каждую клетку нужно вписать букву или знак препинания. Тогда

сложится

фраза.

Но

на

трафарете

нет

места

для

самого

первого

слова

зашифрованной

фразы.

Это

слово

мы

получим,

решив

графические

уравнения. У нас получится крылатое изречение из романа А. С. Пушкина

«Евгений

Онегин».

Следует

вам

ответить

на

соответствующие

тестовые

задания I –X и вписать в трафарет знак или букву, которой обозначен верный

ответ.

Тестовые задания.

II. Актуализация опорных знаний.

1. Линию, являющуюся графиком функции у = х

2

, называют…

?) синусоидой; :) гиперболой; …) параболой.

I

…

2. Составьте слово, назвав подряд буквы, соответствующие правильному

ответу. Является ли функция у = х

2

возрастающей на отрезке [a; в], если:

е) а = - 3; в = 3;

к) а = 1; в = 4;

д) а = - 2; в = - 1;

а) а = 0; в = 0,5;

к) а = 9; в = 10;

б) а = - 9; в = 10;

II

3. Назовите буквы, соответствующие точкам, принадлежащим графику

функции у = х

2

:

М(3; 9), Ж(5; 5), С(-100; -100), Н(-2; 4), О

1

(-1; 1),

Г(0; 0), В(-7; 7), А(2; 8), О

2

(2; 4).

III

4.

Графиком функции

х

у

1



является …

а) прямая; б) отрезок; в) гипербола; г) ветвь параболы.

IV

5. Назовите буквы, которые соответствуют правильному ответу.

а) Какие из данных уравнений являются квадратными?

к

а

к

м н

о

г

о

в

в) 5х + 1 = 0. к) х

3

– 2х

2

+ 1 = 0. н) 5 – 8х = 0.

э) 2х

2

– 9х + 5 = 0. з) 2х

─

2

1

= 0. м) х

2

+ 3х + 2 = 0.

т) 3х

2

– 5х – 8 = 0. о) х

2

+ 5х – 6 = 0.

V

б) Какие из данных квадратных уравнений являются приведенными?

к) 2х

2

– 9х + 5 = 0. в) х

2

– 4х

2

+ 3 = 0. о) 3х

2

+ 5х + 2 = 0.

л) 3х

2

– 4х – 7 = 0. ф) 3х

2

– 2х – 5 = 0. к) х

2

+ 6х + 8 = 0.

з) х

2

– 14х + 49 = 0. у) х

2

– 10х + 25 = 0. е) х

2

+ 11х – 12 = 0.

VI

III. Изучение нового материала.

Решим уравнение: х

2

+ 2х – 3 = 0.

Какое это уравнение?

Как это уравнение можно решить?

Ответ: С помощью формул, с помощью теоремы Виета.

Можно его решить устно?

Ответ: Можно, по теореме Виета.

Какие же корни?

Ответ: -3 и 1.

Я сегодня покажу ещё один способ решения – графический. Представим

данное уравнение в следующем виде:

х

2

=

─

2х + 3.

Чтобы решить данное уравнение, нужно найти такое значение х, при котором

левая часть уравнения была бы равна правой. Введем две функции f(x),

равной левой части уравнения и g(x), равной правой части уравнения. Теперь

нужно найти такое значение х, при котором f(x)=g(x), т. е. общую точку,

принадлежащую графику функции f(x) и графику функции g(x). Эта точка

будет являться точкой пересечения графиков функций f(x)=х

2

и g(x)=-2х+3.

Абсцисса точки пересечения будет являться решением исходного уравнения.

В координатной плоскости построим графики функций f(x) = х

2

и

g(x) =

─

2х + 3.

Для этого составим таблицы их значений.

f(x) = х

2

─

парабола

[-3; 3]

э

т

о

м

з

в

у

к

е

х

0

+1

+2

+3

у

0

1

4

9

g(x) =

─

2х + 3

─

прямая

х = -3, х =

1

.

А(-3;9) и В(1;1)-точки пересечения. Абсциссы этих точек равны -3 и 1.

Значит х = -3 и х = 1 – решение уравнения х

2

+ 2х – 3 =0

Ответ: так) х =

─

1 и х = 3

для) х =

─

3 и х = 1

вот) х =

─

5 и х = 0

VII

д

л

я

Рассмотрим алгоритм решения.

Алгоритм решения:

1. дано уравнение х

2

+ 2х – 3 = 0.

2. представим уравнение в следующем виде х

2

=

─

2х + 3.

3. в одной системе координат строятся графики функций

у

1

= х

2

и у

2

=

─

2х + 3.

4. абсциссы точек пересечения являются решением данного уравнения

IV. Закрепление изученного материала.

1). Решить уравнение х

2

– х – 2 = 0. x



[-5; 5] с шагом 0,5

у

1

= х

2

у

2

= х + 2

Ответ: души) х = - 2 и х = 1

школы) х = 3 и х = 1

сердца) х = 2 и х = - 1.

х

-3

1

у

9

1

А

В

VIII

с

е

р

д

ц

а

2). Решить самостоятельно.



х

2

– 2х – 8 = 0 x



[-5; 5] с шагом 0,5

а) один ученик решает графически;

б) другой ученик решает аналитически с помощью теоремы Виета.

Ответ : широкого) х = 5 и х = 1;

русского) х = 4 и х = - 2;

красного) х = 3 и х = - 1.

IX

р

у

с

с

к

о

г

о



2х

2

+ х – 3 = 0 x



[-4; 4] с шагом 0,5

а) один ученик решает графически;

б) другой ученик решает аналитически с помощью квадратных корней

Ответ: слилось) х = 1 и х = -1,5;

расцвело) х = 3 и х = - 2;

приснилось) х = -1 и х = 2.

X

с

л

и

л

о

с

ь

Физминутка.

Отвели свой взгляд направо,

Отвели свой взгляд налево,

Оглядели потолок,

Посмотрели все вперёд.

Раз – согнуться – разогнуться,

Два

─

согнуться – потянутся,

Три – в ладоши три хлопка,

Головою три кивка.

Пять и шесть тихо сесть.

V. Практическая работа.

Раздаются учащимся дифференцированные задания на карточках.

С помощью графиков нескольких функций, построенных на заданных

промежутках, получаются буквы: М; О; С; К; В; А. и фигуры: КИТ; ЗОНТИК;

ОЧКИ. (см. приложение к уроку).

Учитель: Какие буквы у вас получились?

Ответы учащихся: М О С К В А

Учитель: Получилась фраза А.С. Пушкина из романа «Евгений Онегин»

«Москва… как много в этом звуке для сердца русского слилось».

(Как часто в горестной разлуке,

В моей блуждающей судьбе,

Москва, я думал о тебе!

Москва … как много в этом звуке

Для сердца русского слилось!

Как много в нём отозвалось.)

VI. Обогащение знаний.

Высвечивается слайд, на котором находится парабола и гипербола.

а) мы сегодня на уроке применяли эти два графика: параболу и гиперболу.

Я

хочу

вам

сказать

ребята,

что

окружающий

нас

мир

тесно

связан

с

математикой.

Валерий

Чкалов

говорил:

«Полёт–это

математика».

Оказывается,

траектории

движения

космических

аппаратов

описываются

параболой, гиперболой, эллипсом. При первой космической скорости (7,91

км/с) космический аппарат движется по эллипсу относительно Земли. (на

рис.

орбита

3)

При

второй

космической

скорости

(11,2

км/с)

аппарат

движется по параболе (на рис. орбита4) и движется в пределах Солнечной

системы.

При

третьей

космической

скорости

(16,6

км/с)

космические

аппараты движутся по гиперболе (на рис. орбита5) и навсегда покидают

пределы Солнечной системы. В 70-х годах ХХ века были запущены такие

космические

аппараты

«Пионер-10»,

«Пионер-11»,которые

навсегда

покинули

Солнечную

систему

в

поисках

разумных

цивилизаций

во

Вселенной. Они несут в себе платиновые пластинки, на которых нанесены

силуэты мужчины и женщины на фоне космического корабля, Солнечная

система и траектория «Пионера», схема атома водорода и положение Солнца

по отношению к наиболее ярким галактическим пульсарам.

б) графики помогают нам наглядно увидеть изменения различных

величин: изменение роста, веса, температуры, скорости и т.д.

Вот посмотрите на эти графики, характеризующие ваш класс:

1. График успеваемости (Знание – сила. Кто много читает, тот много знает –

пословица.

2. График роста, график веса учащихся 8-го класса.

Чтобы достичь нормального веса и роста подростку 15-ти лет нужно

заниматься спортом, вести здоровый образ жизни, не увлекаться пагубными

привычками: алкоголем, табакокурением, наркотиками. Никогда не забывать

пословицу «В здоровом теле здоровый дух»

VII. Подведение итогов урока.

Вы замечательно поработали на уроке. Проверив ваши работы и учитывая

ваши ответы за устную работу, я поставила вам оценки в индивидуальную

таблицу.

Каждый

ученик

класса

принимал

участие

в

уроке.

Во

время

урока

заполняется индивидуальная таблица, в которой виден результат его работы

на уроке.

Ф.И

Устная работа

Практическая

работа

Общая

оценка

Надеюсь, этот материал вы не забудете. Помните слова французского

инженера-физика

Лауэ: «Образование есть то, что остается, когда все

выученное уже забыто». Думаю, что образование, которое вы получите,

будет соответствовать времени, в котором мы живем. А чтобы это случилось

на

самом

деле,

предлагаю

вам

выполнить

следующую

творческую

домашнюю работу.

VIII. Домашнее задание.

Творческое задание: составить рекламу параболе или гиперболе;

сочинить сказку или рассказ на тему «Замечательные

кривые».

IX. Рефлексия.

В конце урока проводится беседа, в которой выясняется:

- Что нового узнали на уроке?

- Понравился ли урок? (с помощью сигнальных карточек)

- Что понравилось на уроке?

- Что не понравилось?

- Что необходимо изменить, чтобы было еще интереснее?