Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если

строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых

результатов невелика.

Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ах

2

+ bх + с = 0 с

помощью циркуля и линейки (рис. 5).

Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках В(х

1

; 0 ) и D (х

2

; 0), где х

1

и х

2

- корни уравнения ах

2

+ bх + с = 0, и проходит через точки А(0; 1) и С(0; c/a) на оси ординат.

Тогда по теореме о секущих имеем OB • OD = OA • OC, откуда OC = OB • OD/ OA= х

1

х

2

/ 1 = c/a.

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в

серединах хорд AC и BD, поэтому

Итак:

1) построим точки S(-b/2а; (а+с)/2а) (центр окружности) и A(0; 1);

2) проведем окружность с радиусом SA;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного

уравнения.

При этом возможны три случая.

1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2a), окружность пересекает

ось Ох в двух точках (рис. 6,а) В(х

1

; 0) и D(х

2

; 0), где х

1

и х

2

- корни квадратного уравнения ах

2

+ bх

+ с = 0.

2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2a), окружность касается оси

Ох (рис. 6,б) в точке В(х

1

; 0), где х

1

- корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра

окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.6,в), в этом случае уравнение не имеет

решения.

• Пример.

Решим уравнение х

2

- 2х - 3 = 0 (рис. 7).

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).

Ответ: х

1

= - 1; х

2

= 3.