Урок 1. Основы логики.

Цели: сформировать у учащихся понятие форм мышления; сформировать понятия:

логическое высказывание, логические величины, логические операции.

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:



формы мышления, знания понятий: логическое высказывание, логические величины,

логические операции.

Учащиеся должны уметь:



приводить примеры логических высказываний;



называть логические величины, логические операции.

Программно- дидактическое обеспечение: ПК, таблицы с логическими величинами и

операциями.

Ход урока

I.

Постановка целей урока

1)

Как человек мыслит?

2)

Что в нашей обыденной речи является высказыванием, а что – нет? Предложение «Кто

последний?» - высказывание или нет?

3)

Арифметическое умножение и логическое умножения. В чем сходство и различие?

II.

Изложение нового материала

1.

Формы мышления

В основе современной логики лежат учения. Созданные еще древнегреческими

мыслителями, хотя первые учения о формах и способах мышления возникли в Древнем

Китае и Индии. Основоположником формальной логики является Аристотель, который

впервые отделил логические формы мышления от его содержания.

Логика

– это наука о формах и способах мышления. Это учение о способах

рассуждений и доказательств.

Законы мира, сущность предметов, общее в них мы познаем посредством

абстрактного мышления. Логика позволяет строить формальные модели окружающего

мира, отвлекаясь от содержательной стороны.

Мышление всегда осуществляется через понятия, высказывания и умозаключения.

Понятие

– это форма мышления, которая выделяет существенные признаки

предмета или класса предметов, позволяющие отличать их от других.

Пример 1.

Прямоугольник, компьютер, проливной дождь.

Высказывание

– это формулировка своего понимания окружающего мира.

Высказывание

является

повествовательным

предложением,

в

котором

что-либо

утверждается или отрицается.

По поводу высказывания можно сказать, истинно оно или ложно. Истинным будет

высказывание, в котором связь понятий правильно отражает свойства и отношение

реальных вещей. Ложным высказывание будет в том случае, когда оно противоречит

реальной действительности.

Пример 2

Истинное высказывание: «Буква «ю» - гласная».

Ложное высказывание: «Компьютер был изобретен в середине XIX века».

Упражнение 1(устно)

Какие из предложений являются высказываниями? Определите их истинность.

1.

Какой длины эта лента?

2.

Прослушайте информацию.

3.

Делайте утреннюю зарядку!

4.

Назовите устройства вывода информации.

5.

Кто сегодня отсутствует?

6.

Париж- столица Канады.

7.

Число 11 является составным.

8.

4+5=9

9.

Сложите числа 2 и 5.

10.

Некоторые медведи живут на севере.

11.

Все медведи белые.

12.

Чему равно расстояние от Москвы до Ленинграда.

Умозаключение позволяет на основе известных фактов, выраженных в форме

суждений, получать новое знание.

Умозаключение

– то форма мышления, с помощью которой

из одного или

нескольких суждений может быть получено новое суждение (знание или вывод).

Пример 3

Дано высказывание: «Все углы равнобедренного треугольника равны». Получить

высказывание «Этот треугольник равносторонний» путем умозаключений.

Пусть основанием треугольник является сторона с. Тогда,

а = b. Так как в

треугольнике все углы равны, следовательно, основанием может быть любая другая

сторона, например а. Тогда b = c. Следовательно, a = b = c. Треугольник равносторонний.

2.

Логические выражения и операции

Алгебра – это наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению,

которые выполняются не только над числами, но и над другими математическими

объектами, в том числе и над высказываниями. Такая алгебра называется алгеброй

логики. Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний и

принимает во внимание только истинность или ложность высказывания.

Можно определить понятия логической переменной, логической функции и

логической операции.

Логическая переменная – это простое высказывание, содержащее только одну

мысль. Её символическое обозначение – латинская буква (например, A,B,X,Y и т. д).

значением логической переменной могут быть только константы ИСТИНА и ЛОЖЬ (0 и

1).

Составное высказывание – логическая функция, которая содержит несколько

простых мыслей, соединенных между собой с помощью логических операций. Ее

символическое обозначение – F(A,B,…).

На

основании

простых

высказываний

могут

быть

построены

составные

высказывания.

Логические операции – логические действия.

Рассмотрим три базовые логические операции – конъюнкцию, дизъюнкцию, и

отрицание и дополнительные – импликацию и эквивалентность.

По ходу изложения материала заполним следующую таблицу:

Название

Конъюнкци

я (от

лат.conjunct

io-

связываю)

Дизъюнкци

я (от лат.

disjunctio –

различаю)

Инверсия

(от лат.

inversio-

переворачи

ваю)

Импликация (от

лат. implicatio –

тесно связывать)

Эквивалентн

ость (от лат.

aequivalens –

равноценное)

Логическое

умножение

Логическое

сложение

Отрицание

Логическое

следование

Логическое

равенство

Обозначен

ие

А&В или

А^В

Аv В

¬ А или

Ā

А→В

А – условие

В - следствие

А≡В или А↔В

Союз в

естественн

ом языке

А и В

А или В

Не А

Если А, то В; когда

А, тогда В; коль

скоро А то В

А тогда и

только тогда,

когда В

Примеры

А –

«Число 10

–четное»;

В- «Число

10 –

отрицател

ьное»

«Число 10 –

четное и

отрицательн

ое» = ЛОЖЬ

«Число 10 –

четное или

отрицательн

ое»

=ИСТИНА

«Неверно,

что число 10

– четное»=

ЛОЖЬ;

«Неверно,

что число 10

отрицательн

ое» =

ИСТИНА

«Если число 10 -

четное, то оно

является

отрицательным»=Л

ОЖЬ,

«Число 10 –

четное тогда и

только тогда,

когда

отрицательно»

=ЛОЖЬ

Таблица

истинност

и -

таблица,

определяю

щая

значение

сложного

высказыва

ния при

всех

возможны

х

значениях

простых

высказыва

ний

А В А&

В

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

А В Аv

В

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

А

¬А

0

1

1

0

А

В

А→В

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

А

В

А≡В

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

Вывод:

результат

будет

истинным

тогда и

только

тогда, когда

оба

исходных

высказывани

я истинны

Вывод:

результат

будет

ложным

тогда и

только

тогда, когда

оба

исходных

высказывани

я ложны, и

истинным в

остальных

случаях

Вывод:

результат

будет

ложным,

если

исходное

выражение

истинно, и

наоборот

Вывод: результат

будет ложным

тогда и только

тогда, когда из

истинного

основания (А)

следует ложное

следствие (В)

Вывод:

результат

будет

истинным

тогда и только

тогда, когда

оба

высказывания

одновременно

либо ложны,

либо истинны

Если составное высказывание (логическую функцию) выразить в виде формулы, в

которую войдут логические переменные и знаки логических операций, то получится

логическое выражение, значение которого можно вычислить. Значением логического

выражения могут быть только ЛОЖЬ или ИСТИНА. При составлении логического

выражения необходимо учитывать порядок выполнения логических операций, а именно:

1)

действия в скобках;

2)

инверсия, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность

Пример 4.

Записать в виде логического выражения следующее высказывание: «Летом Петя

поедет в деревню и, если будет хорошая погода, то он пойдет на рыбалку».

1.

Проанализируем составное высказывание.

оно состоит из следующих простых высказываний: «Петя поедет в деревню», «Будет

хорошая погода», «Он пойдет на рыбалку», обозначим их через логические переменные:

А= Петя поедет в деревню;

В = Будет хорошая погода;

С = Он пойдет на рыбалку.

2.

Запишем высказывание в виде логического выражения, учитывая порядок

действий. Если необходимо, расставим скобки:

F=A& (B→C).

III.

Закрепление изученного материала

Упражнение 2

Есть два простых высказывания:

А - «Число 10 – четное»;

В - «Волк травоядное животное».

Составьте

из них все возможные составные высказывания и определите их

истинность. Ответ:

А&В

А v В

¬ А

¬ В

А→В

А↔В

ЛОЖЬ (0)

ИСТИНА (1)

ЛОЖЬ (0)

ИСТИНА (1)

ЛОЖЬ (0)

ЛОЖЬ (0)

Упражнение 3

Запишите следующие высказывания в виде логических выражений.

1.

Число 13 нечетное и двузначное.

2.

Неверно, что корова хищное высказывание.

3.

На уроке информатики ученики

выполняли практическую работу и

сообщали результаты учителю.

4.

Если число делится на 2, то оно четное

5.

Если Маша сестра Саши, то Саша – брат Маши.

6.

Водительские права можно получать тогда и только тогда, когда тебе

исполнится 18 лет.

7.

Компьютер выполняет вычисления, если он включен.

Упражнение 4

Даны высказывания: А - «р делится на 5» и В- «р - нечетное число». Найти

множество значений р при которых результат а) логического сложения и б) логического

умножения будет:

1)

истинным;

2)

ложным.

Упражнение 5

Составьте

и

запишите

истинные

сложные

высказывания

из

простых

с

использованием логических операций.

1.

Неверно, что 10>Y>5 и Z<0. Ответ: (¬(Y<10) &(Y>5)&(Z<0)).

2.

А является max(A,B,C). Ответ: (A>B) & (A>C).

3.

Все числа X,Y,Z равны 12. Ответ: (X=12) & (Y=12) & (Z=12).

4.

Любое из чисел X,Y, Z отрицательно. Ответ: (X<0) v (Y<0)v(Z<0).

Упражнение 6

Найдите значение логических выражений:

1)

F=(0v0)v(1v1) (ответ: 1)

2)

F=(1v1)v(1v0) (ответ: 1)

3)

F=(0&0)&(1&1) (ответ: 0)

4)

F= ¬1&(1v1)v(¬0&1) (ответ: 1).

IV.

Итоги урока

Оценить работу класса и назвать учащихся, отличившихся на уроке.

Домашнее задание

Уровень знания: выучить основные определения, знать обозначения.

Уровень понимания:

Задача 1

Из двух простых высказываний постройте сложное высказывание, используя

логические

связки «И», «ИЛИ». Запишите логические высказывания с помощью

логических операций и определите их истинность.

1.

Андрей старше Светы. Наташа старше Светы.

2.

Один десятый класс идет на экскурсию в музей. Второй десятый класс идет

в театр.

3.

На полке стоят учебники. На полке стоят справочники.

4.

Часть детей – девочки. Остальные – мальчики.

Задача 2

Для логических выражений сформулируйте составные высказывания на обычном

языке:

1)

(Y>1и Y<3) или (Y<8 и Y>4)

2)

(X=Y) и(X=Z)

3)

Не (X<0) или (X<B)

4)

(X>A) или (X>B)

Уровень применения: приведите примеры составных высказываний из приведенных

ниже школьных предметов и запишите их с помощью логических операций:

1)

биология

2)

география

3)

алгебра

4)

информатика

5)

литература

6)

геометрия

7)

русский язык