Всё о

прямоугольных

треугольниках
Справочное пособие.
Учитель математики МБОУ ООШ с. Березовка 1-я

Портнова Светлана Юрьевна


Основные обозначения.

30º - градусная мера угла

а² - квадрат числа
 √
- квадратный корень из числа

S – площадь

Sin А - синус угла А

Cos А – косинус угла А

Tg А – тангенс угла А

< - угол
 ○
- окружность

а – катет прямоугольного треугольника

b – катет прямоугольного треугольника

с – гипотенуза прямоугольного треугольника

h - высота, проведенная к гипотенузе


Основные понятия.

Определение прямоугольного треугольника.

Прямоугольным треугольником называется треугольник, один из углов

которого равен 90º.

Стороны прямоугольного треугольника имеют особые названия: сторона,

лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие

стороны – катетами.

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой

противоположной стороны.

Биссектриса –это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий

вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Высота – это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к

прямой, содержащий противоположную сторону.

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а

стороны пересекают окружность.


Признаки равенства прямоугольных

треугольников.

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равен

катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники

равны.

Если катет и прилежащий к нему острый угол прямоугольного

треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему

острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники

равны.

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника

соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного

треугольника, то такие треугольники равны.

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника

соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного

треугольника, то такие треугольники равны.


Прямоугольные треугольники
ê à ò å ò ê à ò å ò 4 5 ° 4 5 °

Свойства прямоугольного треугольника.

Если в прямоугольном треугольнике углы, прилежащие к гипотенузе

равны 45º, то этот треугольник равнобедренный.

В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу 30º, равен

половине гипотенузы.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная к

гипотенузе, равна ее половине.


Площадь прямоугольного треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его

катетов.

Формула S = (ab) / 2.

Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника равна половине

квадрата его стороны.

Формула: S = a² / 2.


Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме

квадратов катетов.

с² = а² + b²

Теорема, обратная теореме Пифагора.

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадрата двух

других сторон, то треугольник прямоугольный.

Из теоремы, обратной Пифагора следует:

Прямоугольными треугольниками являются треугольники со сторонами

3,4,5; 5,12,13; 8,15,17 и 7,24,25.

Прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются

целыми числами, называются пифагоровыми треугольниками.

Треугольники со сторонами 3,4,5 называют египетским треугольником, так

как он был известен еще древним египтянам.

a b c a b b a b a b a c c c c
Рисунок, иллюстрирующий теорему

Пифагора



(a + b) ² = 4 (0,5ab) + c²


Пропорциональные отрезки в

прямоугольном треугольнике.

Отрезок XY называется средним пропорциональным (или средним

геометрическим) для отрезков АВ и CD, если

________

XY = √AB • CD

1. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины

прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые

делится гипотенуза этой высоты.

_______

CD = √AB • DB

2. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное

для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и

высотой, проведенной из вершины прямого угла.

________

AC = √ AB • AD


Пропорциональные отрезки в прямоугольном

треугольнике (иллюстрация и формулы)

h = (ab) /c

a² / ac = b² / bc

* AD = bc, BD = ac
B A C D

Синус, косинус и тангенс острого угла

прямоугольного треугольника.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется

отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется

отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется

отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Для треугольника ABC:

sin А = BC / AB

cos А = AC / AB

tg А = BC / AС

Основные тригонометрические тождества:

tg А = sin А / cos A

sin² А + cos ² А = 1


Таблица значений sin A, cos A, tg A для углов А,

равных 30º, 45º,60º.
А 30º 45º 60º Sin А 1 / 2 √2 / 2 √3 / 2 Cos А √3 / 2 √2 / 2 1/2 Tg А √3 / 3 1 √3

Прямоугольный треугольник, вписанный в

окружность.

Теорема о вписанном угле.

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он

опирается.

Следствие.

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность –

прямой.

*Дуга называется полуокружностью, если отрезок,

соединяющий ее концы, является диаметром окружности.

Так как градусная мера окружности равна 360º,

следовательно градусная мера полуокружности равна 180º.

‹ АCB = 1/2 ○АB

Медина, проведенная к гипотенузе, равна радиусу

окружности, описанной около прямоугольного

треугольника, то есть половине гипотенузы.


Иллюстрация прямоугольного треугольника,

вписанного в окружность.
A B C O