Исследование возможностей интерактивных геометрических сред « GEONEXT» и

«GEOGEBRA».

Актуальность
статьи заключается в том, что она знакомит с технологией обучения геометрии с использованием интерактивной геометрической среды, которая состоит из выполнения исследовательских заданий, направленных на получение неизвестных ученику знаний.
Новизна
работы в том, что использование интерактивных геометрических сред приводит к тому, что задачи, не решавшиеся раньше «формульно-точно», сегодня сначала исследуются «компьютерно» (приближённо), после чего на этой основе часто удаётся сделать строго математически доказанные выводы.
Цели
: 1. Изучить возможности интерактивных геометрических сред « GEONEXT» и «GEOGEBRA». 2.Научиться работать в этих программах с целью разрешения проблем с опорой на имеющиеся математические знания или дополнительные знания, приобретаемые или открываемые учеником самостоятельно в ходе исследования. 3.Знать о возможности решения задач с помощью интерактивных геометрических сред. Данная работа поможет проследить установление отношений взаимного расположения геометрических фигур и их элементов на плоскости, а также позволит изучить инвариантные и вариантные свойства геометрических фигур относительно заданного преобразования, а также произвести оценку расстояний, углов, площадей, исследование зависимости между геометрическими величинами для получения расчётных формул. Сопоставив геометрические среды и изучив их возможности, можно найти общее и различное, а также использовать их для проведения внутримодельного исследования.
Объект исследования
: интерактивные геометрические среды « GEONEXT» и «GEOGEBRA».
Практическая значимость
работы определяется возможностью использовать представленные материалы на уроках математики. GeoGebra — свободно распространяемая (GPL) динамическая геометрическая среда, которая даёт возможность создавать чертежи в планиметрии, в частности, для построений с помощью циркуля и линейки. Кроме того, у программы богатые возможности работы функциями (построение графиков, вычисление корней, экстремумов, интегралов) за счёт команд встроенного языка (который, кстати, позволяет управлять и геометрическими построениями). Ее автор - австрийский математик Маркус Хохенвартер создал GeoGebra как бесплатную/свободно распространяемую программу. Надо сказать, что она не просто известна в Интернете, а набирает популярность с каждым днем, в том числе, среди
учителей математики средней школы. Переведена на 39 языков. Полностью поддерживает русский язык.

Также с помощью этой программы можно производить вычисления: Действия с матрицами: Сложение, умножение; Транспонирование, инвертирование; Вычисление определителя; Вычисления с комплексными числами; Нахождение точек пересечения кривых; Статистические функции: Вычисление математического ожидания, дисперсии; Вычисление коэффициента корреляции; Программа позволяет создавать Java- апплеты динамических чертежей для их включения в Веб-страницы. Динамическая геометрия Geonext - это свободно распространяемый программный продукт. Он разрабатывается с 1999 г. на кафедре математики и дидактики в Университете Байройта (Германия). Geonext работает в любой операционной системе (так как написан на Java), обладает удобным, внешне привлекательным интерфейсом и содержит набор инструментов, характерных для большинства ИГС. Некоторым недостатком является обозначение точек крестиком, принятое в программе по умолчанию. Это отличается от традиционного обозначения, принятого в геометрии. Также в программе отсутствует инструмент для вычисления площади фигур. В настоящее время «Geonext» развивается медленно: перерыв между последними версиями (содержащими лишь незначительные отличия) составил около двух лет. Основными характеристиками программы «Geonext» являются следующие: - внешняя привлекательность и эстетичность; - простота и лёгкость освоения и использования, что важно как для учеников, так и для учителя; - свободно распространяемое программное обеспечение; - работает в любой операционной системе; - интерфейс на русском языке;
GeoGebra — свободно распространяемая (GPL) динамическая геометрическая среда,
которая даёт возможность создавать чертежи в планиметрии, в частности, для построений с помощью циркуля и линейки. Кроме того, у программы богатые возможности работы функциями (построение графиков, вычисление корней, экстремумов, интегралов) за счёт команд встроенного языка (который, кстати, позволяет управлять и геометрическими построениями). Эта программа по созданию "живых чертежей" в ноябре 2009 года получила приз на Tech Awards 2009 . Ее автор - австрийский математик Маркус Хохенвартер создал GeoGebra как бесплатную/свободно распространяемую программу. Надо сказать, что она не просто известна в Интернете, а набирает популярность с каждым днем, в том числе, среди учителей математики средней школы. Переведена на 39 языков.
Полностью поддерживает русский язык. В настоящее время активно разрабатывается. Возможности данной программы велики: Построение графиков функций ; Построение кривых Построение кривых, заданных параметрически в декартовой системе координат: ; Построение конических сечений: o Коника произвольного вида — по пяти точкам. o Окружность:  — по центру и точке на ней;  — по центру и радиусу;  — по трем точкам; o Эллипс — по двум Фокусам и точке на кривой; o Парабола — по фокусу и директрисе; o Гипербола — по двум фокусам и точке на кривой.  Построение геометрического места точек, зависящих от положения некоторой другой точки, принадлежащей какой-либо кривой или многоугольнику (инструмент Локус). Также с помощью этой программы можно производить вычисления:  Действия с матрицами: o Сложение, умножение; o Транспонирование, инвертирование; o Вычисление определителя;  Вычисления с комплексными числами;  Нахождение точек пересечения кривых;  Статистические функции: o Вычисление математического ожидания, дисперсии; o Вычисление коэффициента корреляции;  Аппроксимация множества точек кривой заданного вида:
o полином, o экспонента, o логарифм, o синусоида Программа позволяет создавать Java-апплеты динамических чертежей для их включения в Веб-страницы. Динамическая геометрия
Geonext - это свободно распространяемый программный продукт.
Geonext - это свободно распространяемый программный продукт. Он разрабатывается с 1999 г. на кафедре математики и дидактики в Университете Байройта (Германия). Geonext работает в любой операционной системе (так как написан на Java), обладает удобным, внешне привлекательным интерфейсом и содержит набор инструментов, характерных для большинства ИГС. Некоторым недостатком является обозначение точек крестиком, принятое в программе по умолчанию. Это отличается от традиционного обозначения, принятого в геометрии. Также в программе отсутствует инструмент для вычисления площади фигур. В настоящее время «Geonext» развивается медленно: перерыв между последними версиями (содержащими лишь незначительные отличия) составил около двух лет. Основными характеристиками программы «Geonext» являются следующие: внешняя привлекательность и эстетичность; простота и лёгкость освоения и использования, что важно как для учеников, так и для учителя; свободно распространяемое программное обеспечение; работает в любой операционной системе; интерфейс на русском языке; применяется в образовательной практике других стран (Болгарии, Германии, Украины, Чехии); имеет встроенные средства построения графиков функций и вычисления тригонометрических функций. Соответственно, может быть использована при изучении некоторых разделов алгебры. Моделирование и наблюдение за процессом изменения изучаемых геометрических объектов с помощью интерактивной геометрической среды позволяют выделить их характерные признаки, установить закономерности, сделать обобщения и даже самостоятельно выдвинуть гипотезы. В связи с выше сказанным можно отметить, что использование интерактивных сред в процессе обучения математике помогает провести вычислительный или графический эксперимент с математической моделью, способствует стимулированию мотивации, интереса и любознательности школьников, визуализации абстракций и динамизации математических объектов,
воспитанию базовых способностей и умений, систематизации математической теории, расширению математической практики, пробуждению первичного интереса. Таким образом, новые информационные технологии играют важную роль в процессе информатизации образования. Внедрение ИКТ в подготовку школьников и студентов представляет собой инновационный процесс, который организует личностно ориентированное обучение, дифференциальный переход к оптимизации процесса обучения и воспитания.

О построении чертежей на уроках геометрии и физики с использованием пакета

Geonext.
Традиция выполнения чертежей в геометрии идет со времен Евклида и не менялась, по крайней мере, последнюю тысячу лет. К примеру, чертежи в старейшем из сохранившемся манускрипте Начала Евклида, хранящемся сейчас в Bodleian Library выглядят вполне современно.За этой традицией стоит многовековая практика построений, выполненных как от руки, так и при помощи циркуля и линейки. Качество выполнения чертежей вполне точно характеризуют глубину освоения классического материала в ту или иную эпоху. Напр., при поздних Каролингах в т.н. Геометрии Боэция текст доказательств не приводился, но в манускриптах имелись чертежи с дополнительными построениями. Эти чертежи выполнялись от руки и часто образом, исключающим понимание мысли их автора. Развитие книгопечатания не привело к существенному изменению вида чертежей, выполняемых в рукописях при помощи циркуля и линейки. Напротив огромным техническим достижением стало издание Эрхардом Ратдольтом в 1482 году Начал Евклида, воспроизводящее не только текст, но и ставшие классическими чертежи к доказательствам. Новые технологии, появившиеся в книгопечатании в XIX веке, были использованы всерьез лишь однажды в издании Начал, предпринятом Оливером Бирном в 1847 году. Под влиянием Песталоцци Бирн хотел изгнать из геометрии для школьников буквенные обозначения, заменив их цветами. Так, например, вместо привычных нам углов ABC, BCA появились красный угол, синий угол и проч. В середине XIX века издание книги с таким количеством цветных иллюстраций стало настоящим техническим прорывом, отмеченным премией на Всемирной выставке 1851 года. Однако себестоимость такой книги остановила дальнейшее развитие этой очевидно разумной с методической точки зрения идеи. Большинство современных изданий задач по геометрии, напр., zadachi.mccme, отдают предпочтение однотонным чертежам с буквенными обозначениями. Таким образом, классическая форма геометрического чертежа не подвергалась пересмотру на протяжении нескольких тысяч лет. Чертежи на доске. С древних времен выполнение меловых чертежей на доске является важной частью лекционного курса геометрии, в т.ч. школьных курсов геометрии и механики и вузовского курса аналитической геометрии. В советские времена употреблялись специальные приборы для выполнения построения мелом на доске, однако далеко не все учителя и почти никто из вузовских лекторов не пользовались ими постоянно. С появлением интерактивных средств обучения в средней и высшей школе и в первую очередь в связи с приобретением интерактивных досок появилась весьма заманчивая возможность выполнять геометрические чертежи при помощи компьютера. По
отзывам учителей - это один из самых распространенных поводов для использования досок на уроках математики. С начала 2000-х годов на кафедре математики и методов ее преподавания (Lehrstuhl für Mathematik und ihre Didaktik) университета Байройта (ФРГ, Бавария) ведется разработка системы динамической геометрии Geonext, которая позволяет выполнять на интерактивной доске построения почти, как на бумаге, то есть, сохраняя у школьника правильное представление о технике геометрического построения при помощи циркуля и линейки. Эта система полностью русифицирована, ориентирована на нужды школы и протестирована на немецких школьниках. Поэтому элементы управления чрезвычайно просты и интуитивно понятны.
Пример из геометрии.
Рассмотрим простой пример. На уроке требуется доказать теорему о том, что во всякий треугольник можно вписать окружность. Дабы не иметь проблем с авторским правом, приведем доказательство по Давидову. 1. Разделим два угла A и B треугольника ABC линиями OA и BO пополам, опускаем из точки их пресечения O перпендикуляры OL, OM и ON на стороны треугольника. 2. Прямоугольные треугольники AON и AOL имеют общую гипотенузу и по построению угол LAO равен углу NAO, следовательно, они равны, и поэтому ON=OL. 3. Также прямоугольные треугольники OLB и MOB, имеющие общую гипотенузу OB и равные углы LBO и MBO, равны, и поэтому LO=OM. 4. Из этого следует, что окружность, описанная из точки O радиусом OL, будет касаться всех трех сторон треугольника.
Динамические чертежи формата gxt
Чертёж. 1 Получившейся в процессе построения чертеж можно сохранить в файл с расширением gxt или сохранить как картинку (поддерживаются векторный формат svg и растровый png). Чертежи в формате gxt имеют ряд весьма полезных особенностей.
1. Чертеж можно потянуть за любую точку, при этом биссектриса остается биссектрисой, высота высотой. Это позволяет одним чертежом объять все случаи. Например, можно быстро показать, что изменится в чертеже, если один из углов треугольника станет тупым. 2. Можно вывести список всех построений, что очень полезно при решении задач на построение. Школьник, даже забыв записать то или иное действие, всегда может подсмотреть шаги построения.
Чертежи и расположение точек
Евклид, а вслед за ним и школьная геометрия, не всегда следят за тем, все ли возможные случаи взаимного положения точек рассмотрены. На дурно начертанных фигурах точки могут быть расставлены невозможным образом, и это может быть источником ошибок. Докажем, вслед за Клейном, при помощи дурного чертежа, что всякий треугольник является равнобедренным следующим построением. Для чего в треугольнике ABC проведем биссектрису угла A, а в середине D стороны BC восстановим перпендикуляр; их пересечение обозначим как O. Кажется, что здесь могут представиться два случая. Чертёж. 2. Чертеж для первого случая. 1-ый случай: точка O попала внутрь треугольника. Опустим из точки O перпендикуляры OE и OF на стороны треугольника. Поскольку OA -- биссектриса, красные прямоугольные треугольники равны, следовательно, OE=OF. Поскольку OD серединный перпендикуляр, зеленые прямоугольные треугольники равны, поэтому OB=OC. Но тогда равны белые прямоугольные треугольники и поэтому BF=EC. Значит, AB=BF+FA=CE+EA=CA, то есть исходный треугольник равнобедренный. Чертёж. 3. Чертеж для второго случая. 2-случай: точка O попала вне треугольника. Опять опустим из точки O перпендикуляры OE и OF на стороны треугольника. Поскольку OA -- биссектриса, большие зеленые прямоугольные треугольники равны, следовательно, OE=OF. Поскольку OD серединный перпендикуляр, маленькие красные прямоугольные треугольники равны, поэтому OB=OC. Но тогда равны прямоугольные треугольники FBO и ECO и поэтому BF=EC. Значит, AB=FA-FB=AE-CE=CA, то есть исходный треугольник равнобедренный. В действительности, оба рассмотренные случаи невозможны. Сделав чертеж в Geonext обычным путем, мы получим опрятный чертеж.
Чертёж. 4. Обычный чертеж Geonext к доказательству абсурдного предложения. Отсюда сразу видно, что мы упустили из рассмотрения случай, когда точка O лежит вне треугольника, но один из перпендикуляров пересекает сторону треугольника. Двигая мышкой точки A, B и C, мы сразу видим, что оба рассмотренные случаи невозможны. Чертежи Geonext избавляют школьную практику от плохой традиции рассматривать один случай, оставляя прочие "на дом". Двигая точки, можно быстро перебрать все возможные случаи взаимного расположения точек и увидеть, что в доказательстве ничего не меняется. Чертёж. 5. К теореме о точке пресечения высот треугольника. Вершины треугольника ABC можно двигать мышкой, в частности можно вывести точку O из этого треугольника. В этом плане весьма показательно доказательство теоремы о том, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Для ее доказательства через вершины треугольника A, B и C проводят прямые, параллельные противолежащим сторонам. Точки пересечения этих трех прямых образуют новый треугольник A'B'C'. Серединные перпендикуляры этого нового треугольника совпадают с высотами треугольника ABC и они, очевидно, пересекаются в одной точке O -- центре описанной около него окружности. Точка O всегда лежит внутри нового треугольника, но ее положение относительно старого треугольника может быть любым в этом легко убедиться, двигая точку C на чертеже. На следующее из параллельности прямых равенство AC=C'B=BA' это не влияет и поэтому доказательство не меняется. Движение в геометрии В старых курсах геометрии большое внимание уделяли местам (locus), которые заметали те или иные точки при своем движении. Чертёж. 6. Пример чертежа со скользящими точками. За точку D можно потянуть мышкой. Например, пусть задан угол ABC, а концы отрезка DE, имеющего фиксированную длину, могут скользить по сторонам этого угла. Какую кривую описывает точка G, делящая отрезок DE в известном отношении? Geonext позволяет задавать скользящие точки и точки, оставляющие след. Двигая мышкой первые, можно нарисовать кривые, которые описывают вторые. На нашем чертеже 6 можно тянуть за точку D и смотреть на пусть точки G (эту последнюю тоже можно передвигать вдоль DE, а также можно как угодно менять угол).

Решение задач.
«Верно ли утверждение, что сумма смежных углов равна 180°?» и «Что можно сказать про величину угла, смежного с прямым углом?». Эти задачи носят исследовательский (по сути, экспериментальный) характер - от учащихся требуется самостоятельно построить чертеж (модель) задачи и исследовать ее. Моделирование и наблюдение за процессом изменения изучаемых геометрических объектов с помощью интерактивной геометрической среды позволяют выделить их характерные признаки, установить закономерности, сделать обобщения и даже самостоятельно выдвинуть гипотезы.
Тайна исчезновения площади.
Цель: найти объяснение противоречия между нашими знаниями о независимости площади фигуры от перемены мест её частей и результатами экспериментов с разрезанием фигур. Для этого, взяв бумагу, я провела эксперимент с помощью «разрезания» и «перекраивания». У меня возникло некоторое противоречие, поэтому я решила провести конструктивный эксперимент в GEOGEBRA: построить необходимые для эксперимента элементы фигуры и вычислить их площади; построить из них фигуру F1; построить из тех же элементов фигуру F2. В отличие от «перекраивания фигуры», сложенной из разрезанного листа бумаги, чертёж, построенный в GEOGEBRA, позволяет наглядно увидеть причину появления «лишней площади» у фигуры F2. Значимость влияния этой причины на результат можно доказать либо логически, либо с помощью точных вычислений.
Сходство и отличие программ.
Допустимые исследовательские действия: Непрерывные преобразования объектов: изменение положения на плоскости, изменение линейных размеров, изменение угла наклона, конструирование геометрических объектов, встраивание изображений, скрытие объектов, перевод геометрической модели на систему координат, установление отношений между фигурами на плоскости, геометрические преобразования, фиксация плана решения задачи. Обе программы (Приложение 1) направлены на привлечение известных школьнику средств математики для раскрытия парадоксов, вызванных неточностью практических действий. Программа GEOGEBRA в отличие от GEONEXT способна изменять угол наклона, в ней возможно построение таблицы, имеется виртуальная клавиатура, также в ней можно найти инструмент для вычисления площади фигур. Данная программа усовершенствованная, нежели GEONEXT.
Некоторым недостатком GEONEXT является обозначение точек крестиком, принятое в программе по умолчанию. Это отличается от традиционного обозначения, принятого в геометрии. Также в программе отсутствует инструмент для вычисления площади фигур. По завершении написания данной работы можно сделать следующие выводы:
Список литературы
1.Р. А. Зиатдинов. О возможностях использования интерактивной геометрической среды Geogebra 3.0 в учебном процессе. //Материалы 10-й Международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения» (СКМП- 2009), СмолГУ, г. Смоленск, 2009, C. 39-40 2.Р. А. Зиатдинов. Геометрическое моделирование и решение задач проективной геометрии в системе GeoGebra. //Материалы конференции «Молодежь и современные информационные технологии», Томский политехнический университет, г. Томск, 2010, C. 168-170 3.Д. Мартинович, З. Карадаг, Д. Макдугалл (ред.). //Материалы второй Северо- Американской конференции GeoGebra, Университет Торонто, Канада, 2011,