Факультативный урок по теме: Лист Мёбиуса

Цель:
познакомить учащихся со знаменитым математиком Августом Фердинандом Мёбиусом и его таинственным и знаменитым листом Мёбиуса.
Задачи:
1. Рассказать учащимся о математике А.Ф. Мёбиусе и его изобретении, познакомить с одной из областей математики – топологией. 2. Развить познавательную и творческую деятельность учащихся, расширить математический кругозор. 3. Воспитывать интерес к занятиям математикой, взаимоподдержку и взаимовыручку.
Инструменты:
ручки, тетради, заготовки для листа Мёбиуса, клей, ножницы.
Ход урока.

Организационный момент.

Мёбиус и топология.
Немецкий геометр Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), ученик «короля математиков» Гаусса был первоначально астрономом, как и Гаусс и многие другие из тех, кому математика обязана своим развитием. В XIX веке занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений. Мёбиус был одним из крупнейших геометров XIX века. В возрасте 68 лет ему удалось с делать открытие поразившее всех. Это открытие односторонних поверхностей, одно из которых лист Мёбиуса. Лист Мёбиуса – один из объектов области математики под название т о п о -л о г и я (по другому «геометрия положения»). Удивительными свойствами обладает лист Мёбиуса – он имеет один край, одну сторону, - не связаны с его положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла и тем не менее имеют вполне геометрический характер. Изучением таких свойств занимается топология. В топологии изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывных деформациях (как если бы они были сделаны из резины). С точки зрения топологии баранка и кружка – это одно и тоже. Сжимая и растягивая кусок резины, можно перейти от одного из этих тел к другому. А вот баранка и шар – разные объекты: чтобы сделать отверстие надо разрезать резину. Понятия и теоремы топологии полезны математикам почти всех специальностей. Она используется и при применении математики в технике, экономике, психологии. Вот такая интересная и занимательная наука топология. Давайте рассмотрим, что же такое лист Мёбиуса?
Лист Мёбиуса.
Как вы думаете, существует ли одежда без изнанки? Конечно же, нет. А вот с двухсторонними поверхностями мы с вами уже встречались и не раз. Давайте рассмотрим кольцо. Оно представляет собой двухстороннюю поверхность. Если двигаться по одной стороне кольца, то не «пересекая границы» нельзя очутиться на другой его стороне… А теперь смотрите. Я беру бумажную ленту ABCD, разделенную по ширине пополам пунктирной линией, и прикладываю ее концы AB и CD друг к другу и склеиваю. Но не как попало, а так, чтобы точка A совпала с точкой D, а точка B – с точкой С. Перед склейкой я перекрутила ленту один раз. Получилось знаменитее и таинственное кольцо Мёбиуса. А С В D (Учащимся предлагается самостоятельно сделать лист Мёбиуса).

Эксперимент 1.
«Сколько сторон у листа Мёбиуса?» У ленты из которой сделан Лист Мёбиуса, имеется две стороны. А у него самого, оказывается, есть только одна сторона!
Задание 1.
Попробуйте покрасить одну сторону листа Мёбиуса – кусок за куском, не переходя через край ленты. И что же? Вы закрасили весь лист Мёбиуса! Если на внутреннюю сторону обычного кольца посадить паука, а на наружною – маху и разрешить им ползать как угодно, запретив лишь перелезать через края кольца, то паук не сможет добраться до мухи, не так ли? А если их обоих посадить на лист Мёбиуса, то бедная муха будет съедена, если, конечно, паук ползает быстрее! Вывод: у листа Мёбиуса одна сторона.
Эксперимент 2.
«Ученик - перевертыш».
Задание 2.
Возьмем ручку и представим что это вовсе не ручка, а вы сами. И вы пошли гулять вдоль пунктира, идущего посередине листа Мёбиуса. И вот вы шли, шли и вернулись к месту старта. Но в каком виде! В перевернутом! Что надо сделать, чтобы вернуться к месту старта в нормальном положении. Точно нужно совершить еще одно «кругосветное» путешествие. Проверим!
Вывод:
у листа Мёбиуса нет края.
Эксперимент 3.
«Отрежь кусочек».
Задание 3.
А теперь возьмем ножницы и ленту посередине, вдоль пунктирной линии. Как вы думаете, что мы получим? Конечно, если бы это было простое кольцо, все было бы просто: из одного широкого кольца получилось бы два узких. А что сейчас? Получилось не два кольца, а одно, вдвое уже, но зато вдвое длинней. К тому же перекручено оно не один раз, а два. А ну-ка, разрежем это кольцо еще раз посередине. Получится два сцепленных друг с другом кольца, каждое из которых дважды перекручено. Вот такие неожиданные вещи происходят с постой бумажной полоской, если склеить из нее лист Мёбиуса.
Подведение итогов.
Ребята запишите в своих тетрадях свойства, которыми обладает лист Мёбиуса.
Домашнее задание.
Возьмите ленту, разделите ее на три равные части и склейте, перекрутив один раз. Получился лист Мёбиуса. Разрежьте по всем пунктирным линиям «не отрывая ножниц» от бумаги. В результате получится два сцепленных кольца. Одно из них вдвое длиннее исходного и перекручено два раза. Второе – лист Мёбиуса, ширина которого втрое меньше, чем у исходного.