«Применение графиков функции в решении уравнений»
Изучая математику, часто приходится решать уравнения. Для каждого типа уравнений предлагаются различные способы решения, и. у учащихся создается впечатление о наличии огромного числа всевозможных приемов, которые надо специально запоминать. На самом деле это не так, есть несколько общих идей, общих методов – вот их-то и надо знать достаточно хорошо. Рассмотрим один из приемов решения – функционально- графический метод. Графический метод решения уравнения ) ( ) ( x g x f  прост. Необходимо построить графики функций ) (x f y  , ) (x g y  и найти точки их пересечения; абсциссы точек пересечения и будут корнями уравнения. Графический метод позволяет определить число корней уравнения, угадать значения корня, найти приближенные, а иногда и точные значения корней. Уравнение 0 2    q px x приведем к виду q px x    2 Построим графики функций 2 x y  и q px y    . Функция 2 x y  квадратичная, График – парабола. Функция q px y    линейная; её график – прямая линия. Таким образом, чтобы решить графически квадратные уравнение нужно: 1) начертить параболу 2 x y  2) начертить прямую q px y    Если прямая и парабола пересекаются, то абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения. Рассмотрим 3 возможных случая: 1) прямая и парабола имеют две точки пересечения. 2) прямая и парабола имеют одну точку пересечения. 3) Прямая и парабола не имеют точек пересечения. Пример 1.Решить уравнение: 0 2 2    x x 2 2   x x Стоим графики функций 2 x y  и 2   x y Графики функции пересеклись в двух точках (-1;1) и (2;4) являются решением уравнения. Ответ: 1 1   x 2 2  x
Пример 2. Решить уравнение: 0 3 2 2    x x 3 2 2   x x Строим графики функций 2 x y  и 3 2   x y Графики не имеют точек пересечения. Значит уравнение не имеет корней. Ответ: корней нет. Пример 3. Решить уравнение: 0 1 2 2    x x . Запишем уравнение в виде 1 2 2   x x Если аккуратно начертить параболу 2 x y  и прямую 1 2   x y , то увидим. Что они имеют общую точку пересечения, т.к прямая касается параболы в точке с координатами (1;1). Значит уравнения имеет один корень 1  x Ответ: 1  x Этот способ решения квадратных уравнений, в можно использовать в 7 классе. Когда еще не рассматривались формула Дискриминанта и формулы нахождения корней квадратного уравнения. При решении более сложных уравнений используя этот метод легко можно получить ответ. Пример 4. Решить уравнение: 0 6 7 3    x x Решение: Аналитический способ:
0 6 7 3    x x Представим x 7 в виде x x 6  , получим 0 6 6 3     x x x . Сгруппируем: 0 ) 6 6 ( ) ( 3     x x x 0 ) 1 ( 6 ) 1 ( 2     x x x 0 ) 1 ( 6 ) 1 )( 1 (      x x x x 0 ) 6 ) 1 )(( 1 (     x x x 0 ) 6 )( 1 ( 2     x x x 0 1   x или 0 6 2    x x 1  x 0 ; 25 ) 6 )( 1 ( 4 1      D D Два корня 2 2 5 1 1     x 3 2 5 1 2      x Ответ: 1;2;3. Графический способ: 0 6 7 3    x x Запишем в виде: 6 7 3   x x В одной системе координат построим графики функций 3 x y  и 6 7   x y . Ответ: 1;2;3. Пример 5. Решить уравнение: 63 8 4   x x 1 способ: 63 8 4   x x Прибавим и отнимем слагаемое 2 16x и представим 63 в виде разности 64-1 Получим: 0 1 64 8 16 16 2 2 4       x x x x
0 ) 1 8 16 ( ) 64 16 ( 2 2 4       x x x x 0 ) 1 4 ( ) 8 ( 2 2 2     x x Применим формулу разность квадратов 0 ) 1 4 8 )( 1 4 8 ( 2 2        x x x x 0 ) 9 4 )( 7 4 ( 2 2      x x x x 0 7 4 2    x x или 0 9 4 2    x x 0 , 12 28 16      D D 0 , 20 36 16      D D Корней нет корней нет Значит наше уравнение не имеет действительных корней. 2 способ: Решим данное уравнение графически. Запишем в виде 63 8 4   x x Построим график функций 4 x y  и 63 8   x y (пусть даже схематически). Из рисунка видно, что графики не пересекаются, т. е уравнение не имеет корней. Сравнивать эти два решения, то второе проще и наглядней. Ответ: корней нет А вот очень яркая разновидность графического метода.
а) б) Если одна из функций ) ( ), ( x g x f убывает (сплошная кривая), а другая возрастает (пунктирная кривая) на промежутке X , то на этом промежутке уравнение ) ( ) ( x g x f  либо имеет только один корень (см. рис. а), либо не имеет корней (см. рис.б). В подобных случаях даже графики функций ) ( ), ( x g y x f y   и каким-то образом подобрали (или даже угадали) один корень уравнения ) ( ) ( x g x f  , то уравнение полностью решено – это единственный корень. Есть еще несколько свойств функций, которые могут быть полезны при решении уравнений (потому-то эта совокупность приемов охватывается термином «функционально-графический метод», а не «графический метод»). Если, например, наибольшее значение функции ) (x f на промежутке X равно A и наименьшее значение функции ) (x g на X тоже равно A , то уравнение ) ( ) ( x g x f  равносильно на X системе уравнений:      A x g A x f ) ( ) ( Это утверждение можно сформулировать следующим образом: если A g f наим наиб   , то ) ( ) ( x g x f        A x g A x f ) ( ) ( Пример 6. Решить уравнение: 2   x x Решение. Графики функций x y  и 2   x y пересекаются в двух точках: (1;1) и (4;2). Значит, уравнение имеет два корня: 1 1  x и 4 2  x . Ответ: 1;4.
Пример 7. Решить уравнение: 5 4 1 5 2 2     x x x . Решение. Графики функций 2 1 5 x y   и 5 4 2    x x y пересекаются в двух точках: (0;5) и (2;1). Значит, уравнение имеет два корня: 0 1  x , 2 2  x . Ответ: 0;2. Пример 8. Решить уравнение: 0 42 5 5    x x . Решение. По виду это уравнение относится к числу тех, о которых мы говорили в начале параграфа. Действуя, как и раньше, можно подобрать целочисленный корень 2 1  x и разложить многочлен 42 5 5   x x на множители, выделив множитель 0 ) ( 42 5 2 5      x q x x x у нас ничего не получится. Оказывается, значением 2 1  x множество корней исчерпывается. Если переписать уравнение в виде x x 5 42 5   , то, можно сделать вывод о единственности корня. Ответ: 2. Пример 9. Решить уравнение: x x 2 5 7 5 3         . Решение. Нетрудно заметить, что 1  x - корень уравнения. Так как, далее, функция 5 7 5 3         x y убывает, а функция x y 2  возрастает, то других корней это уравнение не имеет. Ответ: 1.
Список используемой литературы:
1) Башмаков М. И. Уравнения и неравенства. - М: Наука, 1971г. 2) Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г. Функции и графики.(основные приемы). – М: Наука, 1975г.
3) Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа.10-11 кл.- М: Мнемозина, 2010г. 4) Потапов М., Олехник С., Нестеренко Ю. Готовимся к экзаменам по математике. – М: Аст-Пресс, 1997г. 5) Теляковский С. А. Алгебра 8 кл. – М: Просвещение, 2014г.