Автор: Павлюк Ирина Владиславовна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МБОУ гимназия №19
Населённый пункт: город Липецк
Наименование материала: методическая разработка урока
Тема: Метод рационализации в решении трансцендентных неравенств.
Тема урока. Метод рационализации в решении трансцендентных неравенств.
Цели урока:
1.
Выработка творческого подхода к использованию теоретического материала
вообще и свойств монотонных функции в частности.
2.
Овладение новым методом решения трансцендентных неравенств.
3.
Развитие навыков решения неравенств.
План урока:
1) Постановка цели урока.
2) Разбор домашнего задания и постановка проблемы.
3) Актуализация знаний.
4) Формулирование положений нового метода в процессе решения
неравенства №1 (а) новым способом.
5) Решение неравенства №1(б) из домашней.
6) Самостоятельное (с обсуждением и корректировкой) решение неравенств.
7) Анализ домашнего задания (выявление проблем и предложения по их
разрешению).
8) Итоги урока.
Дидактический
материал
(№№1-3
составлены
автором,
№4
из
сборника:
Математика. ЕГЭ-2006. Вступительные экзамены. / Под редакцией Ф.Ф.Лысенко. –
Ростов на Дону: Легион, 2005):
В классе.
№1 а)
log
1
2
(
x
2
−
6
)−
log
1
2
x
3
x
−
81
≤0 ;
б)
x
+
2
log
5
(¿)−
1
¿
1
2
¿
( ¿
¿
x
2
−
2
−
0,25
)
¿
¿
(
log
3
x
+
2
)
(
x
2
+
x
−
12
)
¿
.
№2 а)
log
0,2
(
x
2
+
4 x
)
+
1
(
x
2
−
x
−
2
)
(
0,3
x
2
−
2 x
+
0,027
)
≥0 ;
б)
log
( ¿
¿
2
2
(
x
−
x
2
)
−
4
)
ln
(
x
2
−
x
+
1
)
log
x
+
1
(
2 x
−
1
)
−
2
≥0.
¿
Домашнее задание:
№3 а)
log
0,3
(
x
−
1
)
log
4
(
x
−
1
)
−
2
≥ 0
, б)
log
√
2
2
x
4
−
64
√
3 x
−
2
−
x
>
0
, в)
(
arccos
−
5
−
x
2
–
π
3
)
(
log
0,5
(
x
2
+
x
)
+
1
)
√
x
2
−
x
−
2
+
x
≤ 0
.
[№4] Функция
f
(
t
)
определена и строго убывает на всей числовой прямой. Найдите
все значения x, удовлетворяющие неравенству
(
f
(
3 x
2
−
3 x
)
−
f
(
8 x
−
6
)
)
(
f
(
log
4
2
x
2
−
15 log
4
x
+
3
)
−
f
(
−
1
+
2log
4
x
)
)
f
(
2
x
)−
f
(
0
)
>
0
.
Ход урока.
Пунк
т
плана
учитель
ученики
интерактивная доска
2
Предлагает
проверить №1(а)
из домашней
работы
В основном
справились,
используя
традиционный
метод решения
№1 (а)
log
1
2
(
x
2
−
6
)−
log
1
2
x
3
x
−
81
≤0
❑
⇔
[
{
log
1
2
(
x
2
−
6
)−
log
1
2
x ≤0,
3
x
−
81
>
0 ;
{
log
1
2
(
x
2
−
6
)−
log
1
2
x ≥0,
3
x
−
81
<
0.
2
Предлагает
проверить №1(б)
из домашней
работы
В основном не
справились,
используя
традиционный
метод решения
x
+
2
log
5
(¿)−
1
¿
1
2
¿
( ¿
¿
x
2
−
2
−
0,25
)
¿
¿
(
log
3
x
+
2
)
(
x
2
+
x
−
12
)
¿
?
2
Показывает
равносильный
переход в
соответствии с
традиционным
методом решения.
Сетуют на
трудность и
громоздкость
решения и
выражают
надежду на
возможность
использования
другого метода
(формулируют
проблему).
№1 (б)
x
+
2
log
5
(¿)−
1
¿
1
2
¿
( ¿
¿
x
2
−
2
−
0,25
)
¿
¿
(
log
3
x
+
2
)
(
x
2
+
x
−
12
)
¿
❑
⇔
[
{
log
3
x
+
2 ≤0,
x
2
+
x
−
12≥ 0;
{
log
3
x
+
2 ≥0,
x
2
+
x
−
12≤ 0;
log
5
(
x
+
2
)
−
1
>
0,
1
2
¿
¿
log
5
(
x
+
2
)
−
1
<
0,
1
2
¿
¿
¿
¿
¿
¿
{
¿
[
{
log
3
x
+
2 ≥0,
x
2
+
x
−
12 ≥;
{
log
3
x
+
2 ≤0,
x
2
+
x
−
12≤ 0;
log
5
(
x
+
2
)
−
1
<
0,
1
2
¿
¿
log
5
(
x
+
2
)
−
1
>
0,
1
2
¿
¿
¿
¿
¿
¿
¿
¿
¿
[
{
¿
¿
¿
¿
¿
¿
3
Спрашивает:
какие функции
задействованы в
обсуждаемых
неравенствах?
Что их
объединяет?
Называют
функции и
приходят к
выводу, что все
они монотонные.
3
Просит
сформулировать
определения
возрастающей и
убывающей
функций.
Приводят верные
формулировки.
Анимация: бегущий вверх (по графику) человечек
Опр.1: Функция
y
=
f
(
x
)
называется возрастающей, если для
∀
x
1
∈
D
(
f
)
и
∀
x
2
∈
D
(
f
)
имеет место
x
1
<
x
2
❑
⇔
f
(
x
1
)<
f
(
x
2
)
.
Анимация: бегущий вниз (по графику) человечек
Опр.2: Функция
y
=
f
(
x
)
называется убывающей, если для
∀
x
1
∈
D
(
f
)
и
∀
x
2
∈
D
(
f
)
имеет место
x
1
<
x
2
❑
⇔
f
(
x
1
)>
f
(
x
2
)
.
4
Задаёт вопросы
по заполнению
ячеек таблицы
(для анализа
неравенства
№1(а)) и
заполняет её в
соответствии с
ответами детей.
Отвечают на
конкретные
вопросы.
Выражение
(множитель) из
неравенства
Соответствующая функция
Эквивалентное
выражение
Условия
f(t)
D(f)
монотонность
log
1
2
(
x
2
−
6
)−
log
1
2
x
log
1
2
t
(
0 ;
+
∞
)
убывающая
x
−(¿ ¿
2
−
6
−
x
)
¿
{
x
2
−
6
>
0,
x
>
0
3
x
−
3
4
3
t
R
возрастающая
x
−
4
нет
4
Предлагает
осуществить
равносильный
переход в рамках
рационализации
неравенства.
«Доброволец»
записывает на
ИД равносильное
неравенство.
log
1
2
(
x
2
−
6
)
−
log
1
2
x
3
x
−
3
4
≤ 0
x
−(¿¿
2
−
6
−
x
)
x
−
4
≤0,
❑
⇔
{
¿
x
2
−
6
>
0,
x
>
0 ;
4
Предлагает
учащимся
самостоятельно
закончить
решение
неравенства.
Открывает
окончание
решения и ответ
для проверки.
Самостоятельно
заканчивают
решение
неравенства в
тетрадях.
Проверяют это
решение по
образцу на ИД.
{
x
2
−
x
−
6
x
−
4
≥0,
(
x
+
√
6
)
(
x
−
√
6
)>
0,
x
>
0 ;
❑
⇔
{
(
x
+
2
)
(
x
−
3
)
x
−
4
≥0,
x
>
√
6.
Ответ.
√
6
¿
;3]
∪
(
4 ;
+
∞
)
.
4
Предлагает
учащимся
сформулировать
возникшие у них
вопросы.
Выносит на доску
эти вопросы и
предлагает
желающим на них
ответить.
Предлагает
вернутся к
вопросам, на
которые не
нашлось ответа
позже.
Формулируют
вопросы и
отвечают на них.
На основе этих
ответов
формулируются
последующие
вопросы, с
ответами на
которые
возникают
затруднения.
1.
Для каких неравенств применяется этот метод?
+
2.
Что такое трансцендентное неравенство?
+
3.
Почему этот метод называется «рационализация»?
+
4.
В чём состоит эта рационализация?
+
5.
Каковы рамки применения нового метода?
+ /-
6.
Обязательна ли разность функций?
-
7.
Обязательна ли монотонность функций?
-
5
Предлагает
учащимся
заполнить
таблицу для
анализа
неравенства
№1(б)
Заполняют
таблицу,
используя
раздаточный
материал и
проверят работу,
выполненную на
ИД (трое
учащихся
последовательно
заполняют на ИД
по одной строке
в таблице).
Выражение
(множитель) из
неравенства
Соответствующая функция
Эквивалентно
е выражение
Условия
f(t)
D(f)
монотонность
log
3
x
−
log
3
1
9
log
3
t
(
0 ;
+
∞
)
возрастающая
x
−
1
9
x
>
0
log
5
(
x
+
2
)
−
log
5
5
log
5
t
(
0 ;
+
∞
)
возрастающая
x
+
2
−
5
x
+
2
>
0
0,5
¿
¿
¿
(
0,5
)
t
R
убывающая
x
¿
−¿
¿
)
нет
5
Предлагает,
используя
таблицу,
осуществить
равносильный
переход
(рационализацию
) и решить
неравенство.
Решают
неравенство и
проверяют
решение,
выполненное на
обычной доске
одним из
учащихся.
x
+
2
log
5
(¿)−
log
5
5
¿
0,5
¿
( ¿
¿
x
2
−
2
−(
0,5
)
2
)
¿
¿
(
log
3
x
−
log
3
1
9
)
(
x
2
+
x
−
12
)
¿
❑
⇔
{
−
(
x
−
1
9
)
(
x
2
+
x
−
12
)
(
x
+
2
−
5
)
(
x
2
−
2
−
2
)
≤ 0,
x
>
0,
x
+
2
>
0 ;
❑
⇔
❑
⇔
{
(
x
−
1
9
)
(
x
+
4
) (
x
−
3
)
(
x
−
3
) (
x
+
2
)
(
x
−
2
)
≥0,
x
>
0 .
Ответ.
0;
1
9
¿
]
∪
(
2 ; 3
)
∪
(
3 ;
+
∞
)
.
6
Предлагает для
решения два
неравенства.
Спрашивает,
какие трудности
можно
предвидеть.
Формулируют
проблемы.
А) Не все множители
являются разностями.
Б) Не все функции
монотонны.
№2
(
а
)
log
0,2
(
x
2
+
4 x
)
+
1
(
x
2
−
x
−
2
)
(
0,3
x
2
−
2x
+
0,027
)
≥ 0
№2(б)
log
( ¿
¿
2
2
(
x
−
x
2
)
−
4
)
ln
(
x
2
−
x
+
1
)
log
x
+
1
(
2 x
−
1
)
−
2
≥0 ;
¿
6
Предлагает найти
решение первой
проблемы (вопрос
6) для
неравенства
№2(а):
представить
каждый из
множителей в
виде разноси
монотонных
функций.
Спрашивает:
можно ли
представить в
виде разности
логарифмов
сумму
log
0,2
(
x
2
+
4 x
)
+
1
?
Отвечают, что
можно и
показывают как.
log
0,2
(
x
2
+
4 x
)−
log
0,2
5
6
Спрашивает:
можно ли
представить в
Отвечают, что
это невозможно и
объясняют
виде разности
сумму
0,3
x
2
−
2x
+
0,027
?
Возможно ли
другое решение
этой проблемы?
почему.
Предлагают
другое решение
этой проблемы.
6
Предлагает
самостоятельно
решить
неравенство
№2(а), учитывая
выработанные
рекомендации.
Через некоторое
время открывает
на ИД образец
для проверки.
Самостоятельно
решают
неравенство в
тетрадях.
№2(а)
log
0,2
(
x
2
+
4 x
)
+
1
(
x
2
−
x
−
2
)
(
0,3
x
2
−
2 x
+
0,027
)
≥0
×
(
0,3
x
2
−
2 x
+
0,027
)
,
причём
(
0,3
x
2
−
2 x
+
0,027
)>
0
при
∀
x
∈
R
{
−
x
2
+
4 x
−
5
x
2
−
x
−
2
x
2
+
4 x
>
0;
≥ 0,
❑
⇔
{
(
x
+
5
)
(
x
−
1
)
(
x
+
1
) (
x
−
2
)
≤ 0,
x
(
x
+
1
)
>
0.
x
∈
¿
∪
[
1 ; 2
)
.
Ответ.
[
−
6 ;
−
5
]
∪
[
−
5 ;
−
4
)
.
6
Предлагает
решить первую
проблему для
неравенства
№2(б).
Самостоятельно
в тетрадях
переписывают
неравенство,
представив
каждый из
множителей в
виде разности, а
один из
учащихся делает
это на ИД.
x
2
−
x
+
1
ln
(
¿−
0
)
¿
(
log
2
(
x
−
x
2
)−
2
)(
log
2
(
x
−
x
2
)
+
2
) ¿
¿
(
log
2
(
x
−
x
2
)−
log
2
4
)(
log
2
(
x
−
x
2
)
−
log
2
1
4
) (
ln
(
x
2
−
x
+
1
)
−
ln 1
)
log
x
+
1
(
2 x
−
1
)
−
log
x
+
1
(
x
+
1
)
2
≥ 0
.
6
Предлагает
решить вторую
проблему (вопрос
7).
Советует
присмотреться к
условиям,
необходимым для
решения
неравенства.
Замечают, что
для решения
неравенства
необходимо
выполнения
условия
x
∈
(
0; 1
)
и
делают
соответствующие
выводы.
Для
существования
решения
неравенства
необходимо
выполнение
условия
x
−
x
2
>
0
, то есть
x
∈
(
0; 1
)
. А при
x
∈
(
0; 1
)
:
x
+
1
>
1
и
логарифмическая
функция
с
соответствующим
основанием возрастает на своей области определения.
6
Предлагает
самостоятельно
решить
неравенство
№2(б), учитывая
выработанные
рекомендации.
Через некоторое
время открывает
на ИД образец
для проверки.
Самостоятельно
решают
неравенство в
тетрадях.
{
(
x
−
x
2
−
4
)
(
x
−
x
2
−
1
4
)
(
x
2
−
x
+
1
−
1
)
2 x
−
1
−(
x
+
1
)
2
≥ 0 ;
x
−
x
2
>
0 ;
x
2
−
x
+
1
>
0
(
верно при
∀
x
∈
R
)
;
2 x
−
1
>
0
❑
⇔
{
(
x
2
−
x
+
4
) (
4 x
2
−
4 x
+
1
)
(
x
2
−
x
)
−
x
2
−
2
≥ 0;
x
(
x
−
1
)
<
0 ;
x
>
0,5.
У ч и т ы в а я ,
ч т о
x
2
−
x
+
4
>
0при
∀
x
∈
R
и
−
x
2
−
2
<
0 при
∀
x
∈
R ,
получим
{
(
x
−
0,5
)
2
x
(
x
−
1
)
≤ 0 ;
0,5
<
x
<
1.
x
∈
(
0,5 ; 1
)
.
Ответ.
x
∈
(
0,5 ; 1
)
.
6
Предлагает
вернуться к
вопросам
5). Каковы рамки
применения
нового метода?
6). Обязательна
ли разность
функций?
7). Обязательна
ли монотонность
функций?
Формулируют
четкие ответы на
эти вопросы.
7
Предлагает
проанализировать
неравенства из
№3 домашнего
задания,
представленного
в раздаточных
материалах и
сформулировать
проблемы,
возникающие при
их решении.
Выражает
уверенность в
том, что задания
из №3 будут
успешно
выполнены в ходе
выполнения ДР, а
также надежду,
что и хитрое
дополнительное
задание (№4)
также удастся
решить.
Формулируют
проблему и
намечают пути её
решения.
Как представить x в виде квадратного корня?
Если
x ≥0
,
x
=
√
x
2
.
Если
x ≤0
,
x
=−
√
x
2
.
Б)
log
√
2
2
x
4
−
64
√
3 x
−
2
−
x
>
0
Как представить
√
3 x
−
2
−
x
в виде разности значений
монотонной функции
y
=
√
t
? И почему?
В)
(
arccos
−
5
−
x
2
–
π
3
)
(
log
0,5
(
x
2
+
x
)
+
1
)
√
x
2
−
x
−
2
+
x
≤ 0
.
Как представить
√
x
2
−
x
−
2
+
x
в виде разности значений
монотонной функции
y
=
√
t
? И почему?
8
Предлагает
оценить новый
метод и
перспективы его
применения.
Дают методу
высокую оценку
и предполагают,
что он с успехом
может быть
применён при
решении заданий
№17 на ЕГЭ.