Содержание

Введение
……………………………………………………………….
Глава I. Методологические основы взаимосвязанного изучения

планиметрии и стереометрии
………………………………………. 1.1. Психолого–педагогические основы взаимосвязи обучения планиметрии и стереометрии в средней школе (образовательных учебных заведениях)……………………………………...…………… 1.1.1. Психолого-математические основы развития пространственного воображения при обучении геометрии………………………………. 1.1.2. Проблема развития геометрической интуиции учащихся при изучении геометрии………………………………………………….... 1.2. Преемственность в изучении геометрического материала в средней школе…………………………………………………………………… 1.2.1. Структура и содержание школьного курса геометрии……….. 1.2.2. Взаимосвязь изучения геометрии с другими предметами, развивающими пространственное воображение учащихся……….... 1.2.3. История развития идей фузианизма в математическом образовании……………………………………………………………..
Глава II. Методические рекомендации к реализации идей

взаимосвязанного обучения планиметрии и стереометрии
….... 2.1. Методические рекомендации к взаимосвязанному обучению планиметрии и стереометрии в начальной школе………………….. 2.1.1. Проблема взаимосвязи планиметрии и стереометрии в курсе геометрии основной школы………………………………………….. 2
2.1.2. Формирование, развитие и закрепление знаний, умений и навыков практическим путем при тесной взаимосвязи планиметрии и стереометрии…………………………………………………………. 2.1.3. Курс наглядной геометрии. История учебников по наглядной геометрии……………………………………………………………… 2.2. Методические рекомендации к взаимосвязанному обучению планиметрии и стереометрии в 7-9 классах…………………………. 2.2.1. Пространственные фигуры и модели при изучении планиметрического материала……………………………………….. 2.2.2. Изучение особенностей чертежей пространственных фигур на уроках планиметрии…………………………………………………… 2.2.3. Применение аналогии при решении планиметрических и стереометрических задач………………………………………………
Заключение
…………………………………………………………….
Литература
…………………………………………………………….. 3

Введение
Несмотря на то, что проблема взаимосвязанного изложения элементов планиметрии и стереометрии изучалось многими поколениями учителей и методистов. Своими корнями она уходит в глубокую древность. В решении этой проблемы было сделано немало усилий. В XX веке о взаимосвязи обучения планиметрии и стереометрии было опубликовано огромное количество работ, выполненных как учителями, так и педагогами – математиками и др. Н.Ф. Четверухин считал необходимым решать вопрос о связи планиметрии и стереометрии, так как решает его сама жизнь: «В жизни мы всегда имеем «планиметрию в пространстве», то есть планиметрические фигуры расположенные тем или иным образом в пространстве». Но теория взаимосвязи планиметрии и стереометрии в основной школе и поныне изобилует нерешенными проблемами, именно этим объясняется выбор темы творческой работы: «Проблема взаимосвязи обучения планиметрии и стереометрии в основной школе». Цель творческой работы: изучить пути решения проблемы взаимосвязи обучения планиметрии и стереометрии в основной школе. Задачи исследования: 1. Изучить некоторые исторические моменты взаимосвязи обучения планиметрии и стереометрии в основной школе. 2. Познакомиться с данной проблемой с точки зрения психологии, а именно: проблемой формирования пространственного мышления школьников, актуальностью задачи формирования пространственных представлений и пространственного воображения учащихся. 3. Рассмотреть пути решения проблемы взаимосвязи на основе закрепления и развития общепознавательных знаний и умений, усвоенных учащимися при изучении планиметрии, на уроках стереометрии. 4
4. Привести примеры практического использования результатов решения проблемы. Исходя из цели и задач исследования, творческая работа разбита на главы, в которых кратко изложены методологические основы взаимосвязанного изучения планиметрии и стереометрии. Только сознательное понимание объективной логики их учебно-познавательной работы способно вызвать у учащихся чувство познавательной потребности. Овладеть изучаемыми понятиями и законами науки, способами их применения на практике, так и для последующего изучения стереометрии, используя знания, полученные при изучении планиметрии. А также рассматривается тесная связь обучения с наглядностью. Также приводятся конспекты уроков, рассматриваются анализы различных учебников по планиметрии и стереометрии. 5

Глава

I. Методологические основы взаимосвязанного изучения

планиметрии и стереометрии

1.1. Психолого-педагогические основы взаимосвязи обучения

планиметрии, стереометрии в средней школе (общеобразовательных

учреждениях).

1.1.1. Психолого-математические основы развития пространственного

мышления при обучении геометрии.
Проблема формирования пространственного мышления школьников не нова для методики обучения математики, а об актуальности ее говорится и пишется уже не одно столетие. Но анализ психолого-педагогической литературы показывает, что со времен Ф. Клейна (1849-1925гг.) мало что изменилось в решении этой проблемы. Исследования, проведенные И. С. Якиманской в 1954-1955 гг. и в 1974-1975 гг., тестирование Каплуновича И. Я. В 1994-1995 учебных годах не обнаружили значимых изменений в развитии пространственного мышления у нынешних школьников и учащихся, обучавшихся двадцать и сорок лет назад в соответствующих классах средних школ. По-прежнему наши учащиеся, а далее студенты естественных и технических факультетов, молодые рабочие испытывают многочисленные, порой тяжело преодолимые трудности в оперировании пространственными образами при решении различного рода производственно-технических и учебных задач. Большое внимание проблеме развития пространственного мышления учащихся при обучении математики и другим предметом уделялось в исследованиях по методике математики 1950-70-х годов (Н.Ф. Четверухин, А.И. Фетисов, Г.Г. Маслова, А..М. Лоповок, Х.Б. Абугова, Р. С. Черкасов и др.). Каждый из исследователей предполагал свой, новый, взгляд на рассматриваемую проблему, тем самым, расширяя и углубляя ее. Результаты исследований были внедрены в педагогическую практику и успешно использовались учителями. Однако усиление логической составляющей курса геометрии, стремления построить курс на строго дедуктивной основе привело 6
к тому, что проблема развития пространственного мышления отошла на дальний план, что отрицательно сказалось на результатах обучения геометрии и, в первую очередь, стереометрии. Актуальность экспериментальной разработки создания условий для эффективного развития пространственного мышления школьников обусловлено тем, что в настоящее время развитие мышления вновь выдвигается на первое место. Это связано еще и с тем, что многие выпускники школ имеют невысокий уровень развития пространственного мышления, о чем свидетельствуют результаты вступительных экзаменов в ВУЗы, в частности, в Новгородский государственный университет имени Я. Мудрого. Тестирование показывает, что при решении стереометрических задач на пирамиды только 28% поступающих дают правильный ответ, на круглые тела – только 34%, а выпускники школ на ЕГЭ по математике либо решают только плоскостные задачи, либо не выполняют геометрические задания вообще. Одной из причин существующего положения является то, что выработанный стереотип работы на плоскости не позволяет адекватно воссоздать по чертежу пространственные тела, так как имеющийся у учащихся опыт ориентации в пространстве утрачивается в процессе изучения планиметрии, а затем в 10-м классе возрождается вновь на более сложной основе. Для ребенка же 5-6-х классов задержка развития пространственного мышления чревата постоянным неуспехом в деятельности, которая может стать (и зачастую становится) причиной «хронической неуспешности». В последние годы в среде ученых-методистов, математиков интерес к проблеме развития пространственного мышления вырос до такой степени, что ставятся вопросы о координальном пересмотре школьного курса геометрии, о введении курса наглядной геометрии в начальной школе, о параллельном изучении курсов планиметрии и стереометрии, о пропедевтическом курсе стереометрии в 7-9-х класса. Однако курса геометрии, пока нет для среднего звена. В то же время в современных условиях обостряются противоречия: 7
- между требованиями школьных программ развития пространственного мышления и объективным снижением его уровня; - между наличием многочисленных систем упражнений, направленных на развитие пространственного мышления, и низкой их эффективностью; - между имеющимися у школьников представлениями о форме, величине геометрического объекта и трудностями в установлении пространственных отношений, оперировании пространственными образами; - между доминированием логической составляющей в программах по математике классов развивающего обучения системы Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова и недостаточностью в них геометрического материала. Проведенный анализ учебных планов, учебных программ (авторы Горбов С.Ф., Александрова Э.И.), по математике 1-5-х классов системы Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова показал, что геометрические темы в начальной школе изучаются эпизодически, на практике же им не уделяется должного внимания в силу нехватки учебного времени. Кроме того, развитию пространственного мышления препятствует уменьшение количества часов на предметы естественно-математического цикла в среднем и старшем звене, недостаточно и учебно-методическое обеспечение. В психолого-педагогической литературе раскрыты некоторые подходы к разрешению указанных противоречий. Так, Кондрушенко Е.М. обращает особое внимание на взаимосвязь данной проблемы с проблемами развития других типов мышления (и в первую очередь - вербального), а также на выделение блока учебных дисциплин, при изучении которых она должна решаться для выработки единой стратегии работы. Шарыгин И.Ф., Большакова Н.В. и Эндзинь М.П. ориентируют на развитие пространственных представлений учащихся 5-6-х классов через организацию 8
разнообразной геометрической деятельности и развитие пространственного мышления в 7-9-х классах. Ходот Т.Г. делает акцент на конструировании и рисовании фигур, включая тем самым детей в процесс эмпирического познания различных свойств рассматриваемых фигур. Однако решение проблемы развития пространственного мышления сдерживает то, что у учителей и у психологов нет единого мнения о том, как на практике осуществлять развитие мышления учащихся, какие приемы, методы и средства для этого использовать, по каким критериям судить об эффективности достижения целей. Одни, например, считают, что развитие мышления следует осуществлять через формирование приемов мыслительной деятельности (Епишева О.Б. и Крупич В.И., Володарская И.А.). Другие – через формирование особых качеств мышления (Крутецкий В.А.) или культуру мышления (Фридман Л.М., Меерович М.И., Шрагина Л.И.). Третьи – через формирование на каждом возрастном этапе определенных подструктур мышления (Каплунович И.Я.). В месте с тем до настоящего времени недостаточно изучены, на наш взгляд, возможности создания условий для эффективного развития пространственного мышления теоретического типа школьников 5-6-х классов развивающего обучения системы Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова. Именно развивающего обучения, так как внутри самой системы достаточно нерешенных проблем. Среди них то, что концепция системы Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова достаточно полно разработана применительно к младшему школьному возрасту и лишь разрабатывается для среднего звена; авторами её недостаточно учитывается индивидуальные особенности субъектов учебной деятельности, в их трудах не уделялось должного внимания невербальному компоненту. Перед встала проблема – выделить такие условия. В частности если выдвинуть предположение о том, что если мы будем: 9
- целенаправленно организовывать учебную деятельность школьников 5-6 классов на основе научной теории развития пространственного мышления, разработанную Каплуновичем И.Я.; - осуществлять отбор содержания с учетом индивидуальных особенностей мышления учащихся, их ведущей деятельности; - начинать изучение геометрии сначала с пространственных фигур, затем переходить к плоским и в дальнейшем рассматривать их одновременно; - вести занятия по разработанной программе курса «В мире геометрии» для 5-6-х классов. То это позволит учащимся: - обобщить имеющиеся представления о простейших геометрических фигурах и построить геометрическое понятийное поле, выделять существенные связи и отношения в геометрических объектах; - перейти на предметное обучение систематического курса геометрии подготовленными, что даст возможность в дальнейшем наращивать и углублять знания; - повысить уровень развития пространственного мышления и геометрической интуиции и, как следствие, уровень интеллектуального развития учащихся. Анализ названных теоретических предпосылок позволил сформулировать ряд положений, имеющих особую значимость для обоснования и практической проверкой. 1. По материалу и специфическим способом оперирования с ним мышления делят на: эмоциональное; сенсорное; моторное; образное; вербальное. Под термином «образное мышление» понимается отражение психикой наиболее существенных сторон, свойств и отношений действительности с помощью оперирования образами. В методических исследованиях 1950-1970- х годов использовался термин «пространственное воображение». Термин же 10
«пространственное мышление» появился позже, когда серьезное внимание проблеме образного мышления стали уделять психологи Л.Б. Ительсон, Е.Н. Кабанова-Меллер, И. С. Якиманская, И.Я. Каплунович и др. Различные авторы один и тот же процесс называют различными терминами: наглядные представления (Е.Г. Глаголева, З.И. Моисеева, Б.В. Сорокин), пространственные (Н.Д. Мацко, П.А. Сорокун, Ф.Н.Шемякин), пространственное воображение (Б.Ф. Ломов, В.Н. Колбановский, Б.М. Ребус), зрительное мышление (И.М. Ариевич, Н.Н. Ничаев), визуальное мышление (Р.Арнхейм, Н.Ю. Вергелис, В.П. Зинченко, В.В. Петухов), пространственное мышление (Е.Н. Кабанова-Меллер, Б.М. Теплов, И.С. Якиманская). Из них нам ближе определение И.С. Якиманской: «Пространственное мышление является специфическим видом мыслительной деятельности, которая имеет место в решении задач, требующих ориентации в практическом и теоретическом пространстве (как видимом, так и воображаемом). В своих наиболее развитых формах это и есть мышление образами, созданными на различной наглядной основе, мышление обеспечивает их видоизменение, трансформацию и создание новых образов, отличных от исходных». Уточняя его, мы, вслед за Каплуновичем И.Я. пространственное мышление теоретического типа определяем, как овладение учащимися способностью отыскивать источник происхождения; сущность, всеобщий способ конструирования конкретных всевозможных преобразований, осуществления реальных трансформаций во внутреннем (умственном) и внешнем планах двух и трехмерных пространств. Потому-то и важно формировать у школьников умения по выявлению инвариантов, так как именно они определяют наряду с математической сущностью источник происхождения и частные свойства усваиваемых научно- теоретических представлений. Под учебной деятельностью мы, вслед за Давыдовым В.В., понимаем не учение и усвоение вообще, а деятельное восприятие теоретических знаний, то 11
есть усвоение, осуществляемое в процессе преобразования учебного материала, в процессе диалогов и дискуссий. II. Эффективное развитие у школьников пространственного мышления теоретического типа в условиях развивающего обучения возможно • при рассмотрении геометрии как части общечеловеческой культуры и понимания места этой науки в своей жизни, что является неотъемлемой частью формирования диалектико-материалистического мировоззрения школьников; • при одновременном рассмотрении анализа математического содержания задач, содержания конкретной деятельности учащегося при этом, общих психологических закономерностей процесса формирования пространственного мышления. III. Для развития пространственного мышления и геометрической интуиции учащихся необходимо: 1. установить «место затруднения» каждого ученика и его уровень развития пространственного мышления; 2. изучать плоские и пространственные формы совместно, проводя аналогии между фактами планиметрии и стереометрии, фиксируя пространственные свойства и отношения; 3. формировать умения оперировать пространственными образами и их отношениями; 4. знакомить учащихся с пространственными объектами до того, как будет дано их формальное и строгое определение; 5. готовить учеников к восприятию стереометрического материала через решение системы задач на проекционном чертеже и развертке; устных заданий, связанных с иллюзиями и невозможными объектами и требующими «выхода в пространство»; 6. снизить уровень строгости логических рассуждений при обосновании утверждений, очевидных с точки зрения учащихся. 12
IV.Условиями эффективного развития у школьников пространственного мышления теоретического типа могут быть: • содержание предметной области, которое бы обеспечивало эффективное развитие пространственного мышления (согласно модели И.Я. Каплуновича) через формирование на каждом возрастном этапе определенных подструктур мышления; • организация учебной деятельности классов; • организация такой деятельности, которая обеспечивала бы выделение учащимися в математических объектах и отношениях топологических, проективных, порядковых, метрических и алгебраических свойств, установление их взаимосвязей, воспроизведение в реальных и идеальных планах тех отношений, которые составляют сущность и основное содержание различных структур и свойств математических объектов; • представления педагога о способах выделения нужных отношений, так как они существенно влияют на выбор соответствующих понятий, средств их изображения и типы упражнений. V. Специфика классов требует и особой организации учебной деятельности школьников в форме постановки и решения ими учебных задач: • введение понятий: геометрическое тело, геометрическая поверхность, геометрическая линия, точка; • выделение понятия плоскость из понятия геометрическая поверхность, понятия прямая из понятия геометрическая линия; • задача сравнения и измерения предметов. Решение ее в нахождении основания для сравнения, классификации, при этом учащиеся выделяют как формальные, так и существенные связи и отношения, свойства и признаки объектов трех-, дву-, и одномерного пространства; • задача на восстановление объекта, обладающего различными свойствами, признаками. Задача на введение буквенно-знаковых символов (для обозначения геометрических фигур и для обобщения свойств объекта и выделенных отношений); 13
• задача оперирования пространственными образами посредством специфических учебных действий: - преобразование условий задачи с целью обнаружения всеобщего отношения изучаемого объекта; - моделирование выделенного отношения в предметной, графической или буквенной форме; - преобразование модели отношения для изучения его свойств в «чистом» виде; - построение системы частных задач, решаемых общим способом; - контроль за выполнением ,предыдущих действий; - оценка усвоения общего способа как результата решения данной учебной задачи. Так, формирование понятий будет происходить по схеме: содержательный анализ (выделение исходного отношения), содержательная абстракция (моделирование), обобщение (преобразование модели) – понятие. VI. В основу отбора содержания и построения работы на уроке должны быть положены: 1. принцип ориентации на развитие личности учащихся. 2. принцип приоритета материала, имеющего общекультурное значение. 3. принцип овладения знаниями, навыками, необходимыми для продолжения образования и последующего изучения геометрии как науки. 4. принцип отказа от овладения всеми учащимися в равной степени специальными навыками приемами (задачи учителя в работе с конкретным ребенком: помочь ему с его уровнем освоенных способностей и приемов учебной деятельности становятся независимой и свободной личностью, как в отношении к предмету геометрии, так и в других сферах жизнедеятельности). В качестве показателей эффективности подхода к решению проблемы могут быть использованы следующие характеристики - Уровень пространственного мышления (достаточный, если по двум проекциям несложного предмета учащийся может представить и 14
начертить третью; средний, если по трем проекциям может представить и изобразить предмет; недостаточная, если при изображении допущены ошибки или предмет определен неверно) или наличие 1-3 уровней (по А.А. Столярову); - Уровень сформированности компонентов учебной деятельности (учебно-познавательный интерес, целеполагание, учебные действия, действия контроля и оценки) и подструктур мышления (топологической, проективной, порядковой, метрической и алгебраической); - Уровень сформированности у учащихся теоретического мышления (три важнейших мыслительных действия: анализ, планирование, рефлексия), через усвоение теоретических знаний в процессе учебной деятельности; - Уровень особых умений учащихся, необходимых при решении пространственных задач, а именно: потребность в подсказке по содержанию и способу предъявления решения и мера её использования, затраты времени на нахождение принципа; видение проблемы; переход от догадок к анализу ситуации, от анализа к постановке задачи и её решению; анализ объекта по всем возможным основаниям; анализ причин своих ошибок, количество необходимых ребенку упражнений для формирования устойчивого навыка; - Уровень интеллектуального развития учащихся. Изучение практики и результатов создания условий для эффективного развития пространственного мышления теоретического типа школьников на основе выделенных показателей подтвердило эффективность выбранного пути решения проблемы. Выделяя содержание в предметной области через формирование на каждом возрастном этапе определенных подструктур мышления в условиях организации учебной деятельности школьников, нужно добиваться обеспечения эффективного развития пространственного мышления теоретического типа. 15

1.1.2. Проблема развития геометрической интуиции учащихся при

изучении геометрии.
Известно, что формирование пространственных представлений и пространственного воображения учащихся – одна из важнейших целей школьного обучения. По словам А.Н. Колмогорова «геометрическое воображение, или, как говорят, геометрическая интуиция, играет большую роль при исследовательской работе почти во всех разделах математики, даже самых отвлеченных». С другой стороны, «хорошее пространственное воображение, - указывает Н.Ф.Четверухин, - нужно конструктору, создающему новые машины, геологу, разведывающему недра земли, архитектору, сооружающему здания современных городов, хирургу, производящему точнейшие операции среди сложной сети кровеносных сосудов и нервных волокон, скульптору, художнику и т. д.». Естественно поэтому, что недооценка работы по развитию пространственных представлений учащихся возникает в тех случаях, когда вольно или невольно принижается прикладное значение школьного курса, роль его изучения для подготовки выпускников школ к предстоящей им трудовой и учебной деятельности. В самом деле, было бы неправильно руководствоваться лишь одной определенной целью обучения стереометрии, как бы она важна ни была сама по себе (скажем, целью ознакомить учащихся с аксиоматическим методом и дедуктивной системой геометрии). Известные американские педагоги Г.С.М. Кокстер и С.Л. Грейтцер замечают по этому поводу: «Геометрия сохранила всегда присущую ей эстетическую привлекательность, и не поблекла красота ее результатов. Более того, для специалистов в чистой и прикладной математике геометрия стала еще более полезной и необходимой, чем она была когда–либо раньше. Например, формы орбит искусственных спутников и четырехмерную геометрию времени - пространства». Связь этой задачи с преемственностью в изучении курсов стереометрии (10 и 11 классы) и математики, алгебры, планиметрии (5-6, 7-9 классы). 16
Задача формирования пространственных представлений и пространственного воображения учащиеся требуют для своего решения глубокой преемственности в изучении курса стереометрии (10-11 классы) и курса математики основной школы. Дело в том, что эта задача и связанная с ней задача эффективной графической подготовки школьников решаются не только на занятиях по стереометрии, но и в процессе изучения школьниками ряда смежных учебных предметов основной школы (в первую очередь черчения и технологии). Например, на одном из уроков технологии, у мальчиков, изучается тема «Понятие о детали (на примере изделий из древесины и фанеры). Технический рисунок детали, имеющей форму параллелепипеда. Понятие о чертеже детали подобной формы». Нет сомнения в том, что изучение учащимися свойств графических изображений пространственных объектов и практическое использование этих изображений на уроках технологии было бы невозможным, если бы они на уроках математики в начальных и последующих классах не получали геометрических знаний, не овладевали элементарными графическими навыками, не знакомились с особенностями изображения пространственных фигур (куба, параллелепипеда и других) на плоском чертеже. Так, в курсе математики 5 класса изучается понятие прямоугольного параллелепипеда, предлагаются задания на построение развертки и изготовления соответствующей стереометрической модели. Ко многим задачам арифметического характера в учебниках математики для 5-6 классов даются графические иллюстрации. Последние являются своеобразными математическими моделями условий (задач), представляющими аналитические зависимости с помощью геометрических фигур. Это в свою очередь позволяет использовать рисунки, чертежи, диаграммы, графики в целях активизации познавательной деятельности учащихся: как средства графического решения задачи, как средство определения возможного ответа до проведения аналитического решения, как средство самоконтроля арифметических или алгебраических выкладок и т.п. 17
Систематическое и последовательное использование такого рода приемов позволяет заложить (уже в 5-6 классах) Необходимую теоретическую базу для формирования достаточно развитых (пусть на эмпирическом уровне) графических знаний, умений и навыков учащихся, закреплению которых способствует изучение ряда смежных учебных предметов основной школы.
1.2 Преемственность в изучении геометрического материала в средней

школе.



1.2.1. Структура и содержание школьного курса геометрии.
Геометрия предоставляет педагогу уникальную возможность развивать ребенка практически на любой стадии формирования его интеллекта. Три ее основные составляющие (фигуры, логика и практическая преемственность) позволяет гармонично развивать образное и логическое мышление ребенка любого возраста, прививать ему навыки практической деятельности. Это удачное сочетание упомянутых составляющих, однако, становится для многих детей непреодолимым препятствием именно потому, что они должны (по существующей традиции) одновременно знакомится с новыми для них фигурами, создавая себе достаточно полный их образ, усваивать основные свойства этих фигур, овладевать терминологией и не только говорить, но и думать на новом – геометрическом – языке. Но, с другой стороны, разумным образом расчленение этих составляющих может способствовать успешному усвоению школьниками одну из самых замечательных наук – геометрии. Одним из способов указанного расчленение является двукратное изучение курса геометрии: один раз на интуитивном уровне и второй раз на строгом логическом. Изучение курса геометрии на интуитивном уровне может стать хорошей подготовкой к систематическому курсу в результате создания образов геометрических фигур и «открытия» некоторых их свойств путем конструирования и рисования, а также знакомства с терминологией и основами геометрического языка. Опыт показывает, что владение геометрией на таком уровне вполне доступно для детей, находящихся на самых различных 18
стадиях развития, и в некоторых случаях является достаточным для определенной части детей. Для многих же учащихся освоение геометрии на интуитивном уровне становится фундаментом, на котором дедуктивным способом строится задание геометрии. Изучение геометрии на наглядном, интуитивном уровне естественно начинать с первых лет обучения в школе. В начальной школе представляется целесообразным знакомить детей с различными геометрическими формами (как плоскими, так и пространственными) в процессе игры. Игра, на наш взгляд, должна быть подчинена внутренней логики, в которой осуществляется переход от трехмерных объектов (как наиболее привычных и знакомых детям) к двумерным, а затем – одномерным и точке. Внутренняя геометрическая логика, сопровождающая курс геометрии для младших школьников, естественным образом должна проявляться в логике сюжета этой игры. В частности, это может быть игра в археологов и реставраторов, восстанавливающих какой-нибудь город. В 5-6 классах следует предоставить детям возможность познакомится с тем, как «устроены» знакомые уже геометрические фигуры, вовлечь их в конструирование и рисование этих фигур, включая тем самым детей в процесс эмпирического познания различных свойств рассматриваемых фигур. Особое внимание при этом нужно уделить развитию грамотной математической речи учащихся: научить их определять рассмотренные фигуры, а также формулировать простейшие их свойства. Особенно важной является логическая выстроенность материала, которая, должна соответствовать логике систематического курса. Обратимся теперь к систематическому курсу геометрии. Всем известная трудность в изучении стереометрии, возникающая у учащихся 10 классов, в значительной степени объясняется низким уровнем развитием их пространственных представлений. Ученики теряют эти представления, изучая три года одну лишь планиметрию. Чтобы устранить 19
этот существенный недостаток, следует, как теперь уже стало очевидным для многих педагогов и методистов, пополнить курс геометрии в 7-9 классах элементами стереометрии, излагаемыми на интуитивном, наглядном уровне параллельно аналогичному планиметрическому материалу. Это тем более сейчас необходимо, что после 9 класса происходит дифференциация в образовании и потому курс геометрии девятилетней школы должен обладать известной завершенностью, которая невозможна без элементов стереометрии. И, наконец, 10-11 классы становятся заключительным звеном в школьном курсе геометрии, в котором учеником может быть изучена стереометрия, изложенная аксиоматическим методом и дополненная разнообразными задачами, как планиметрическими, так и стереометрическими. Таким образом, школьный курс геометрии должен: 1. Быть непрерывным с 1 по 11 класс 2. Содержать в себе две одинаковые по значению части: интуитивную и дедуктивную, по – разному соотнесенные друг другу в зависимости от возраста и уровня подготовки детей. Схематично структуру школьного курса можно представить следующим образом: 1-3 классы – сюжетная дидактическая игра, подчиненная внутренней геометрической логике, в процессе которой учащиеся знакомятся с готовыми геометрическими формами, плоскими и пространственными; 5-6 классы – наглядный курс геометрии, построенный в логике дедуктивного курса, основанный на конструировании различных фигур и получении их свойств эмпирическим путем; 7-9 классы – дедуктивный курс планиметрии с элементами наглядной стереометрии, органично и систематически подкрепляющими и развивающими этот курс планиметрии; 10-11 классы – дедуктивный курс стереометрии, сочетающийся с углублением знаний планиметрии на базе решения соответствующих задач. 20
Предложенная схема построения непрерывного геометрического образования в средней школе, возможно, позволит в результате систематически проводимой пропедевтики, не увеличивая количество часов, отведенных на изучение геометрического материала, добиться более высокого уровня геометрического развития учащихся.
1.2.2. Взаимосвязь изучения геометрии с другими предметами,

развивающими пространственное воображение учащихся.
В 8-м классе учащиеся приступают к изучению черчения, важнейшей из графических дисциплин. Несмотря на это обстоятельство, графическая подготовка учащихся не получает должного дальнейшего развития в процессе изучения систематических курсов алгебры и геометрии в 8-9 классах. Например, при изучении алгебры учителя часто не останавливают внимания учащихся на особенностях индукции, дедукции и их совместного применения. Приведем одну из таких ситуаций на материале раздела «Функция» 8-го класса при изучении свойства прямой пропорциональности y=kx (устанавливается, в частности, что график этой функции есть прямая, проходящая через начало координат). Учитель рассматривает два частных примера, формулирует общее заключение и затем дает его дедуктивное доказательство. При этом он ни слова не говорит о гипотетичности обобщения, полученного на основе изучения двух частных примеров, о том, что его правдоподобность при желании могла бы быть подтверждена и на других частных примерах. Учитель умалчивает и том, что дедуктивное доказательство равносильно изучению бесконечного множества таких примеров. (Познавательные потери и неиспользованные возможности в организации самостоятельной работы учащихся здесь не требует комментариев). К предположению о форме графика рассматриваемой функции учащиеся также могли прийти самостоятельно при рассмотрении ряда придуманных ими самими в частных примерах. Эти примеры могли быть выполнены на уроке в качестве коллективного эксперимента. Школьников можно было подвести к выводу о познавательной необходимости проведения 21
дедуктивных рассуждений (пусть даже эти рассуждения из-за их сложности в данном случае были опущены). Вместо этого учитель без пояснений сообщает, что «это утверждение мы принимаем без доказательства». При таком подходе познавательная сторона взаимосвязи в применении индукции и дедукции каждый раз остается в тени, ровно как и этапы творческой исследовательской деятельности естественно-научного характера, содержанием которой могло бы стать изучение многих вопросов курса алгебры основной школы. К сожалению, многим учащимся такой логический уровень изложения кажется вполне приемлемым. В редких исключениях некоторых из них появляются полезные сомнения и возникают вопросы такого рода: «Утверждение принято без доказательства; можно ли сказать, что оно излишне? Можно ли утверждать, что рассмотрение частных примеров сделало дедуктивное доказательство ненужным, а само утверждение – очевидным или причина здесь другая? И т. п.». Оставляя эти вопросы за рамками урока мы сводим почти на нет показ познавательных связей изучаемой теории и учебной практики, то есть связей математических и графических знаний, умений и навыков учащихся. Не менее серьезным недостатком является, на наш взгляд, то обстоятельство, что при изучении планиметрического материала в 7-9-х классах почти не находят себе место пространственные объекты. Наличие завершающего стереометрического раздела курса геометрии основной школы не спасает положения. Вряд ли стоит также переоценивать роль обращения к пространственным ситуациям при решении в 7-9-х классах задач с практическим содержанием. Таких задач, во-первых, не очень много, во- вторых, к большинству из них даются в учебнике «готовые» чертежи, в которых выделены все необходимые для решения плоскостные элементы. Графические изображения пространственных фигур используется на занятиях по технологии, на уроках черчения, на уроках самой математике. Однако, начиная с учащимися изучение систематического курса геометрии в 22
7-м классе и продолжая его в 8-м классе, учитель зачастую ни разу не обсуждает с ними особенности таких чертежей, передачу ими свойств реальных предметов (какие свойства чертежи передают точно, какие в измененном виде), их конкретные практические применения. И это, несмотря на то, что получение этих чертежей можно рассмотреть при изучении отображения (данного пространственного объекта на плоскую фигуру), этого важнейшего понятия школьного курса геометрии, вводимого уже в 7-м классе сразу же после изучения начальных понятий. Этот парадокс трудно объяснить: за рамками курса геометрии основной школы остается ясная и наглядная ситуация, имеющая многочисленные важные практические приложения (в том числе учебного характера – в черчении и других предметах, а также в самой геометрии). По всей вероятности, причиной тому является нежелание вводить систематическое изучение планиметрии элементы стереометрии (или, логический курс последний предстоит изучать самостоятельно лишь га последнем этапе школьного математического образования). Но факт остается фактом: графическая подготовка учащихся, формирование их пространственных представлений и пространственного воображения в 7-9-х классах не получают возможного развития. Представление о том, насколько серьезен рассматриваемый недостаток, мы получим, сравнивая возможные «стереометрический» и «планиметрический» подходы. Ограничиваясь примерами, отображения друг на друга плоских фигур, трудно выпукло представить учащимся познавательную потребность изучения понятия отображения. Да и сами примеры кажутся им абстрактными, произвольными, невесть, откуда и неизвестно для чего взятыми учителем. Стереометрический подход здесь более жизненен и потому более доступен; он нагляднее иллюстрирует научную сущность понятия отображения и познавательную потребность его изучения. Для этого можно использовать примеры, традиционные для курса черчения: рассматривается соответствие точек данной пространственной фигуры и ее тени на стене (земле) от лучей 23
солнца (или точечного источника света, скажем, электрического фонарика). Эти плоские тени, конечно, отличаются от данных пространственных фигур. Но некоторые их свойства они передают точно. Так, по профилю лица можно узнать и самого человека. «Солнце, лучи которого считаем параллельными, - может сказать учитель, - подсказывает нам, как нужно получать плоские изображения пространственных фигур. Для этого отображение одной фигуры на другую, получаемую на данной плоскости, осуществляется с помощью параллельных лучей». От расположения фигуры относительно плоскости и угла наклона лучей зависит, как передает особенности данной фигуры ее плоское изображение (тень). Для куба, например, удобно расположение, которое мы всегда используем: при нем сохраняются размеры и форма фронтальной грани, а также параллельность сторон других граней; прямые углы отображаются в углы величиной 45º или 135º, и при этом длина соответствующих сторон уменьшается вдвое. «Понятие отображения встретится вам, - говорит учитель, - при изучении черчения в 8-м классе, там этот процесс называют проецированием (в геометрии проектированием). С помощью рассмотренного способа проецирования (его называют параллельным проецированием) в черчении получают наглядные изображения пространственных предметов, скажем, деталей какой либо машины. По полученной тени, конечно, нельзя полностью определить все особенности данной фигуры, даже если будет указано направление лучей проектирования. Такое отображение в математике называется необратимым, т. к. по образу данной фигуры нельзя восстановить эту фигуру. Так, круглая тень может быть получена как от шара, так и от цилиндра. В черчении, поэтому используют способ 2-х или 3-х разных проекций (теней) данной фигуры, получаемых на взаимно перпендикулярных плоскостях. Эти отображения (тени) определяют для данной фигуры вид спереди, вид сбоку и вид сверху и через них все геометрические ее особенности. Такие чертежи могут использоваться и используются на производстве, - заключает учитель. – Я об 24
этом вам рассказала поэтому, чтобы вы понимали, как возникло в математике понятие отображения и какими могут в будущем его практические применения. Перейдем теперь к изучению этого понятия для плоских фигур, расположенных на одной и той же плоскости». Проведение этой примерной беседы с «выходом в пространство», конечно, потребует дополнительного учебного времени, если это возможно.
1.2.3. История развития идей фузионизма в математическом

образовании.
В предыдущих пунктах мы указали на некоторые стереометрические аналоги планиметрических понятий и предложений. Дадим короткий перечень таких аналогий. О таких аналогах у Евклида ни где не упоминается, намеки на них появляются у его комментаторов в XVI –XVII вв. особенно эти аналоги стали подчеркивать после формирования плоской и пространственной аналитической геометрии, то есть начиная со второй половины XVIII в. Примеры: На плоскости В пространстве 1. Ах + Ву + С = 0 – уравнение прямой 2. х 2 + у 2 = r 2 – уравнение окружности и т.д. 1. Ах + Ву + С z + D = 0 – уравнение плоскости 2. х 2 + у 2 +z 2 = r 2 – уравнение сферы и т.д. Еще до открытия не Евклидовой геометрии гениальный русский математик Н.И. Лобачевский написал в 1823 году учебное руководство, озаглавленное «Геометрия». В нем впервые со всей четкостью отражена так называемая теперь
фузионистская
(от лат. fusio – литьё, слияние) точка зрения, согласно которой планиметрию не следует по Евклидовой манере отрывать от стереометрии; наоборот, обе эти части геометрии нужно по возможности объединить, то есть аналогичные начала планиметрии и стереометрии следует преподавать параллельно. Так, рядом с кругом Лобачевский рассматривает шар и сферу; взаимное расположение прямых на плоскости он рассматривает совместно с взаимным расположением плоскостей в пространстве, почти 25
одновременно трактует многоугольники и многогранники, измерение прямолинейных и телесных углов. Лишь в конце прошлого столетия итальянский математик Г. Веронезе также стал в своих руководствах по элементарной геометрии идею фузионизма. Метод фузионизма не потерял своего значения и в наши дни, особенно когда речь идет о повторении всего пройденного материала. 26

Глава

II. Методические рекомендации к реализации идей

взаимосвязанного обучения планиметрии и стереометрии.

2.1. Методические рекомендации к взаимосвязанному обучению

планиметрии и стереометрии в начальной школе.
Геометрический материал достаточно равномерно распределён по урокам. Первая единица измерения, с которой знакомится первоклассник – сантиметр. Важным этапом в формировании представлений отрезков является использования для этого модели одного сантиметра: узкую бумажную полоску длинной в 1 см., кусочек спички в 1 см., кубик из арифметического ящика с ребром 1 см. Подчеркнуть, что общие для всех рассмотренных предметов является то, что их длина равна 1 см. Так же они должны представить см. наглядно. Учитель говорит, что две клеточки в тетради = 1 см, ширина мизинца 1 см. С помощью модели сантиметра ученик должен научиться решать две задачи. Задача № 1. Измерить данный отрезок. При выполнении этого задания учитель следит, чтобы каждый научился: 1) Точно приложил конец модели сантиметра к одному из концов измеряемого отрезка. 2) С помощью карандаша на измеряемом отрезке, отметил другой конец модели сантиметра. 3) Приложил снова к полученной отметке один из концов модели сантиметра и на отрезке сделал ещё одну отметку. Вторая отметка показывает то, что отсчитаны 2 см. Аналогично поступаем до тех пор, пока последняя из отметок совпадёт с другим концом измеряемого отрезка. В этом случае ученик, подсчитав число отложенных на отрезке сантиметров(число сделанных шагов), получит длину отрезка(в сантиметрах). Эту задачу можно решить и с помощью укладывания вдоль измеряемого отрезка нескольких моделей сантиметра. 27
Задача № 2. С помощью модели сантиметра построить отрезок заданной длины. При выполнении этой задачи необходимо следить за тем, чтобы каждый из учащихся: 1) Вначале провёл по линейке прямую линию или выбрал какую-нибудь линию на листе тетради. 2) Отметил на прямой точку (один из концов отрезка) и в каком – ни будь направлении от неё последовательно отложил (каждый раз отмечал карандашом) нужное количество сантиметров. 3) Отмерил карандашом второй конец отрезка. Опыт показывает, что выполнение этих операций, особенно на первых порах, связанно с большими трудностями для учащихся. Это объясняется отсутствием у них навыков владения карандашом и небольшой моделью сантиметра (мышцы пальцев ещё недостаточно тренированы). Именно поэтому с целью получения важных для дальнейшей работы навыков необходимо достаточно долго и систематически повторять указанные упражнения. Процесс откладывания модели сантиметра «прошагивание» от одного конца до другого конца отрезка – создаётся у детей те представления, которые в дальнейшем предотвратят многие ошибки, встречающихся при измерениях. На следующем этапе формирования навыков измерения отрезков упомянутых выше две задачи решаются с помощью масштабной линейки, на которой не нанесены цифры. Построение отрезков следует связать с приобретением навыков обращения с чертёжными инструментами (линейка, угольник, циркуль). Чертёж – это язык техники. В начале при вычерчивании отрезков в тетради концы отрезков могут совпадать с точками пересечения линии листа тетради. Ученики отмечают две точки, прикладывают линейку, в зависимости от расположения точек. Позднее точки, обозначающие концы отрезков, могут быть поставлены вне линий листа тетради. Это готовит детей к вычерчиванию отрезков на нелинованной бумаге. 28
Знакомство школьников с новой единицей измерения длины – дециметром – начинается в связи с изучением чисел второго десятка в 1 классе. Естественно, что необходимость введения новой единицы должна быть обоснована. С этой целью учащимся предлагается отрезок длиной 90 см., для измерения которого обычная ученическая линейка длиной 20 см., коротка. Воспользовавшись затруднением, учитель знакомит детей с дециметром. Он показывает полоску ( палочку) длиной в 1 дм. и, прикладывая ее к шкале линейки, говорит, что 1 дм = 10 см. Учащиеся знакомятся с сокращенной записью 1 дециметр – 1 дм, учатся читать записи: 3 дм, 5 дм, 15 дм и т.д. Затем рассматривается случай, когда длина отрезка равна, например, 12 см; она больше 1 дециметра, но меньше 2 дециметров. Учитель объясняет в таком случае и говорит: «длина отрезка равна одному дециметру и двум сантиметрам». Он показывает, что это записывается так 1 дм 2 см. Научившись, практикуются и вычерчивании отрезков длиной в 1 дм 5 см, 1 дм 9 см. одновременно ставят вопрос: «А сколько это будет см?» По аналогии с тем, как вводился дециметр, ставится задача, которая вводится в необходимости ввести ещё одну, более крупную единицу измерения – метр. Показывается деревянный метр, различные отрезки длиной в 1 метр. После решения задач, связанных с измерением отрезков метром, можно установить соотношение между метром и дециметром, метром и сантиметром. Знакомство с углами удобно провести на шарнирной модели. Можно сначала дать образ прямого угла. Путём двойного перегибания листа бумаги ученики получают модель прямого угла, пользуясь которой выполняют различные упражнения: накладывают эту модель на углы, тетради, книги и убеждаются, что эти углы прямые; строят прямые углы на клетчатой и нелинованной бумаге. Ученики находят прямые углы на различных предметах. Необходимо строить прямые углы в различном положении на плоскости. Для этого раздаются листочки с начерченными на них лучами и предлагается провести ровные лучи так, чтобы образовались прямые углы. Учащиеся 29
строят их при помощи модели прямого угла и при помощи чертёжного треугольника. Раздвигая или сдвигая стороны прямого угла, переходят к тупому, острому. Вводится понятие о сторонах угла, об его вершинах. На основе предварительной работы по ознакомлению учащихся с прямым углом уточняются представление о прямоугольнике – многоугольнике, у которого все углы прямые. Эту работу целесообразно начать с рассмотрения различных многоугольников, у которых один, два, три и т.д. угла – прямые. Для построения многоугольников, содержащих прямые углы, в 1 классе следует использовать линии клетчатой бумаги, образующие прямые углы. Наблюдение и построение различных многоугольников наглядно убеждает детей в том, что только у четырёхугольника все углы могут быть прямыми. Такие четырёхугольники называются прямоугольниками. В результате измерений сторон прямоугольников выясняется, что есть прямоугольники, у которых все стороны равны между собой. Такие прямоугольники называют квадратами. Большое значение при этом имеют упражнения, в которых по заданным точкам – вершинам, нужно построить прямоугольник (квадрат). В начале задаются все четыре вершины, затем три – в этих случаях задача имеет единственное решение. Учащимся рассказывают, что для вычерчивания окружности есть специальный инструмент – циркуль. В момент показа работы циркуля, когда ещё не вся окружность начерчена, полезно заметить, что одна ножка циркуля (с силой) стоит на одном месте, неподвижна. Эту точку называют центром окружности. Другая ножка циркуля движется, и её конец вычерчивает линию. Эту линию называют окружностью. Полезно показать учащимся, как можно вычертить окружность с помощью планки (картонной полоски, кусочка шпагата). Полоска прибивается гвоздиком к доске. К другому концу прикладывается мел. Затем учащиеся знакомятся с радиусом окружности. Для этого на окружности отмечают, какую – ни будь точку, и соединяют эту точку 30
отрезком с центром. Отрезок, соединяющий точку окружности с центром называют радиусом. Методика работы над площадью имеет много общего с работой над длиной отрезка. Прежде всего, площадь является как свойство плоских предметов. Дети до школы могут сравнить, какой каток больше на стадионе или во дворе. На доске прикрепляются следующие фигуры: 2 квадрата разного размера и 2 одинаковых треугольника. Задаём вопрос? “Какая из этих фигур занимает больше места на доске”. Если они равны, надо снять эти треугольники с доски и приложить друг на друга. На следующем уроке дети знакомятся с палеткой, при помощи, которой, дети могут находить площади фигур на разделённые см. кв. Палетка – это прозрачная пластина, разбитая на ровные квадраты. Учитывая задачи, намеченные программой, при изучении геометрического материала, следует широко использовать разнообразные наглядные пособия. Это демонстрационные, обще классные модели геометрических фигур, изготовленных из цветного картона или плотной бумаги, плакаты с изображением фигур, с диаграммами, чертежи на доске, диафильмы. Кроме того, требуется наглядные пособия – такой раздаточный материал, как полоски бумаги, палочки различной длины, вырезанные из бумаги фигуры и части фигур. При изучении отдельных тел, полезно с детьми изготовить наглядные самодельные пособия. Раскрывая геометрический материал учащимся 1 – 3 классов, надо учитывать, что первые представления о форме, размерах и взаимном положении предметов в пространстве, дети накапливают ещё в дошкольный период. В процессе игр и практической деятельности они манипулируют предметами, рассматривают, ощупывают их, рисуют, лепят, конструируют и постепенно вычленяют среди других свойств их форму. К 6 – 7 годам многие дошкольники правильно показывают предметы, имеющие форму шара, куба, круга, квадрата, треугольника, прямоугольника. Однако уровень обобщения 31
этих понятий ещё невысок: дети могут не узнавать знакомую им форму предмета, если сам предмет не встречался в их опыте. Ребёнка приводят в замешательство непривычные соотношения сторон или углов фигур: иное, чем всегда, расположение на плоскости и даже очень большие или очень маленькие размеры фигур. Название фигур дети, часто смешивают или заменяют названиями предметов. Характеризуя положение предметов в пространстве, дошкольники более свободно устанавливают пространственные отношения, если “началом отсчёта” является сам ребенок (слева – справа, впереди – позади, вверху – внизу, ближе – дальше и т.д. по отношению к нему). Гораздо труднее ребенок устанавливает положение предметов на плоскости или в пространстве относительно друг друга или по отношению к другому человеку. При обучении в школе необходимо опираться на имеющийся опыт детей, уточнять и обогащать их представления.
2.1.1. Проблема взаимосвязи изложения планиметрии и стереометрии в

курсе геометрии основной школы.
Проблема взаимосвязанного изложения элементов планиметрии и стереометрии изучалось многими поколениями учителей и методистов. Своими корнями она уходит в седую древность. Так, уже Абу-Али ибн Сина (Авиценна) объединяет в своей «Книге знаний» в одной части основы планиметрии и основы стереометрии (в Евклидовых «Началах» планиметрия и стереометрия изучались соответственно в I и XI книгах). В некоторых случаях планиметрические и стереометрические понятия излагаются в «Книге знаний» друг за другом, «параллельно». Например, говорится о перпендикуляре к прямой и сразу же вслед за этим о перпендикуляре к плоскости. Чем же привлекательна для современной школы взаимосвязанное изучение определенных разделов математики? Дело в том, что при таком изучении 32
учащиеся легче усваивают связь между этими разделами; при раздельном изучении установление такой связи в мышлении представляет собой сложную, порой недостигаемую задачу. Но перестановка разделов (тем) курса не может быть произвольной: при этом надо учитывать изменения сложившейся ранее логической системы изложения. Н.Ф. Четверухин считал необходимым решать вопрос о связи планиметрии и стереометрии, так как решает его сама жизнь: «В жизни мы всегда имеем «планиметрию в пространстве», то есть планиметрические фигуры расположенные тем или иным образом в пространстве. (Это, конечно, не означает, что мы не можем их мыслить для простоты и удобства изучения лежащими в одной плоскости и рассматривать их в действительном, то есть не искаженном виде)». Это и многие другие рекомендации Н.Ф. Четверухина не потеряли своего значения для современной школы. И если не все они получили должное отражение в сложившейся сейчас теории и практике обучения геометрии в основной школе, то это, очевидно, объясняется сложностью оценки осуществляемых изменений в логической системе изложения. Действительно, ограничиваясь одними математическими или чисто логическими соображениями, невозможно решить вопрос, какая из различных систем изложения курса лучше. Считать здесь авторитетным судьёй практику? Но некоторые её результаты можно истолковать многозначно, некоторые – по неведению (при отсутствии базовой педагогической теории) – выпустить из поля зрения. Как нам представляется, для правильного решения этого вопроса необходимо опираться на методологический анализ сравниваемых систем изложения курса, естественно, с учетом объективных особенностей математики как науки и как учебного предмета. Формирование диалектического мировоззрения школьников, развитие их познавательной самостоятельности и творческой активности – это одни из важнейших образовательных целей школы. Эти цели не могут быть заслонены 33
чисто предметными целями усвоения математических знаний, развития математических способностей и мышления учащихся. Наоборот, достижение общих целей можно рассматривать как обязательное условие достижения более узких предметных целей. Цели обучения – как лидирующий компонент методической системы – определяет собой совершенствование всех других её компонентов: содержание обучения, его форм, методов и средств. Необходимо и целесообразно на этапе изучения курсов алгебры и геометрии 7-9 классов усилить, сделать непрерывным процесс графической подготовки учащихся, развитие их пространственных представлений и пространственного воображения. Отсюда следует, что педагогически целесообразна лишь такая взаимосвязь курсов планиметрии и стереометрии, которая отвечает этой задаче. Коснемся того исключительного методологического значения, которое имеет для школьного обучения математики графическая подготовка учащихся. Последнее воплощает в себе систему определенных знаний, умений и навыков учащихся применяемых в их учебной практике (то есть практической работе учебного характера, выполняемой учениками при изучении теоретического содержания школьных дисциплин). Таким образом, графические знания, умения и навыки учащихся на несколько ступеней абстракции ближе изучаемой математической теории к непосредственной практике, к наблюдению и изучению явлений и объектов окружающей нас действительности. Поэтому постоянная взаимосвязь изучения теории и соответствующей учебной практике учащимися оказывается весьма эффективной, если оценивать его с психолого-педагогических позиций. Психолого-педагогическая и методологическая оценки здесь совпадает, поскольку эта же взаимосвязь позволяет учителю систематически иллюстрировать в учебном процессе, как общую структуру, так и отдельные последовательные этапы диалектического пути познания. В соответствии с особенностями диалектического метода мышления, характерного для 34
естественнонаучных исследований, практические (в том числе и учебные) потребности, задачи, ситуации могут быть представлены по отношению к изучаемому теоретическому разделу (теме) курса: 1) источником развития; 2) критерием истинности (или учебной ценности); 3) областью возможных приложений. (В частности, для изучения курса геометрии такое использование учебной практики учащихся всецело определяется уровнем развития их графической подготовки). Такова предлагаемая методологическая схема взаимосвязи изучения теории и учебной практики учащихся. Поставленные перед школой новые задачи активизации и творческой самостоятельной работы, учащихся не сама цель, а средство эффективного изучения школьных курсов. Только сознательное понимание учащимися объективной логики организации их учебно-познавательной работы способно вызвать у них чувство познавательной потребности овладеть изучаемым понятиями и законами науки, способами их применения, как на практике, так и для последующего изучения математики и смежных с ней учебных предметов. Именно по этому организация учебно-познавательной работы учащихся по диалектической схеме постоянного взаимодействия ими теории и организуемой учителем учебной практике является необходимой основой для формирования для учащихся познавательных потребностей, для осознания ими познавательных целей курса математики. Уже первое звено этого взаимодействия (учебная практика как источник возникновения теории) предоставляет учащимся широкое поле самостоятельных поисков, предположений. Познавательная цель создания теории, возникающей на основе практики и показывающей свою познавательную силу в практических приложениях, возбуждает внимание и интерес учащихся к предмету, подготавливает прочный фундамент для формирования у них новых понятий курса. Какие доводы можно привести против такого построения учебного процесса? Наиболее существенным представляется следующее возражение. 35
Можно сказать, что, поскольку это построение требует последовательного применения индукции и дедукции, его можно считать целесообразным, для 5- 6 классов и нецелесообразным для старших классов. Так как учащиеся старших классов уже подготовлены к проведению дедуктивных выводов или даже к использованию аксиоматического метода. Указанное возражение нельзя считать основательным. Во-первых, рассмотренная методологическая схема учебного процесса не исключает дедуктивных рассуждений. Наоборот, она показывает их познавательную необходимость, их логические преимущества перед неполными и неточными индуктивными умозаключениями, но строит на твердой почве опыта, конкретных наблюдений, многообразной самостоятельной работы учащихся. Во-вторых, эта методологическая схема не догма. Вполне возможно аксиоматическое построение определенной темы курса (хотя бы для того, чтобы показать учащимся аксиоматический метод в действии). Но рекомендовать аксиоматический метод для изложения всех тем и разделов, скажем курса стереометрии, было бы ошибкой. Такая опасность грозит учителю, который намеревается строить каждый урок в строгом соответствии с учебником стереометрии. Следует учесть, что использованию этого метода следует учить, он требует высокого уровня формально- логического мышления. К тому же нельзя абсолютизировать познавательную ценность этого метода; он используется чаще для изложения «готовых» (открытых, найденных) математических знаний. В исследовательской работе ученых-математиков индукция и эвристические приемы используются не реже, чем у представителей естественных наук. 36

2.1.2. Формирование, развитие и закрепление знаний, умений и

навыков практическим путём при тесной взаимосвязи

планиметрии и стереометрии.
1. Практика как источник появления теории. При изучении взаимного расположения прямой и плоскости (двух плоскостей) и некоторых других тем курса стереометрии полезно предварять логические рассуждения самостоятельными наблюдениями учащихся, попытками экспериментального открытия ими изучаемой зависимости. Например, учитель обращается ко всем учащимся с заданием: при помощи имеющихся у каждого из них «моделей» плоскости (поверхность стола) и прямой (ручка) классифицировать все различные случаи взаимного расположения прямой и плоскости. учащиеся проводят наблюдения, после чего преподаватель просит лишь назвать число этих случаев. Если выясняется, что многие учащиеся не могут свести бесконечное множество этих случаев в три главные группы, учитель «подсказывает» (сам или, используя ответы сильных учащихся) основание для такой классификации – по множеству общих точек прямой и плоскости: 1) все точки прямой принадлежат плоскости (все ее точки общие); 2) имеется только одна общая точка; 3) не имеется ни одной общей точки. Все учащиеся демонстрируют эти случаи на своих моделях. Первые два случая уже известны им. Третий случай необходимо изучить, возможен ли он? Можно предположить, что возможен, но наши «модели» слишком грубы для того, чтобы точно проверить этот вывод. Кроме того, нас интересует не один или несколько частных случаев, а ответ в общем виде. - Необходимо, таким образом, - заключает преподаватель, - проведение логического (дедуктивного) доказательства. К доказательству возможности третьего случая все ученики приступают, ясно представляя себе, сущность условия и заключения соответствующей теоремы учебника, будучи убеждены в том, что доказательство существует. 37
2. Практика как средство истинности (или чисто учебной ценности) теории. Обращение к практике (наблюдениям, опыту) часто полезно и после проведения дедуктивного доказательства той или иной истины. Например, после доказательства теоремы – признака параллельности 2-х плоскостей – учитель предлагает учащимся (всем и каждому) проверить этот признак на опыте. Они наблюдают взаимное расположение двух листков плотной бумаги с нанесенными на них пересекающимися прямыми. Вызванные к доске учащиеся могут рассказать о своем эксперименте или при помощи большой демонстрационной модели (доски и листа картона): соответствующие прямые параллельны – плоскости параллельны; прямые не параллельны – плоскости также. Учитель просит затем каждого ученика провести мысленный эксперимент. Надо проверить, можно ли, изменяя взаимное расстояние между плоскостями и сохраняя параллельность данных прямых, получить непараллельные плоскости. - Кто получил такое (хотя бы одно!) расположение плоскостей, пусть покажет его всем. (Конечно, это невозможно. Учитель поясняет, что в том и сила дедуктивного метода, позволяющего знать, каковы будут различные частные случаи, хотя их и бесконечное множество). Уместно применять этот прием, когда учащимся еще неизвестно, истинное или ложное определенное дедуктивное суждение. К примеру, рассматривается задание, установить истинно или ложно суждение: линии пересечения двух пересекающихся плоскостей третьей плоскостью также пересекаются. Опыт покажет, что это неверно, так как эти линии могут быть параллельны. Проведение проверки практики особо целесообразно, когда доказательства изучаемых свойств опускаются. Так, в учебнике стереометрии опущено доказательство 3-х свойств параллельной проекции: 1. Проекция прямой есть прямая. 2. Проекции параллельных прямых параллельны. 38
3. Отношение длин проекций двух параллельных отрезков равно отношению длин проектируемых отрезков. К самим этим формулировкам целесообразно подвести учащихся на основе их наблюдений и эксперимента. Затем, сказав, что существует дедуктивные доказательства (которые для экономии времени опускаются), учитель предлагает всем учащимся (и каждому из них) проверить эти свойства на определенном частном случае. Удастся ли кому-нибудь построить опровергающий пример? Выясняется, что никому не удалось это сделать. - При этом наш коллективный опыт (сумма индивидуальных результатов) отнюдь не заменяет дедуктивного доказательства; сделанное обобщение без него мы можем считать лишь правдоподобным, - подводит итоги работы учитель. Желающим может быть давно индивидуальное дополнительное задание: найти дедуктивное доказательство, скажем 2-го или 3-го свойства. 3. Практика как область применения теории. С целью осознания этой познавательной особенности практики учащимся после изучения теории (определенной темы, теоремы, свойства) даются закрепляющие теорию задачи практического характера. Полезно подытоживать изучение теории поиском и систематизацией всех ее возможных приложений, в том числе в изучении математики и смежных предметов. Например, после изучения свойств параллельной проекции, о которых шла речь выше, учащиеся приходят к выводу о возможности их практического использования во всех случаях, когда рассматриваются (строятся) чертежи пространственных фигур (в технике, архитектуре, сельском хозяйстве и т. п., а также в самой геометрии). Так, вместо недоступного для непосредственного измерения расстояния от наблюдателя до вершины дерева проводят измерения других отрезков, поскольку удается заменить отношение длин 2-х параллельных отрезков, скажем BD и DA, отношением длин их проекций CE и EA.. Другой пример. Рассматривая деталь, имеющую форму пирамиды, и ее сечение, параллельное основанию, можем найти пары параллельных отрезков (боковых ребер 39
большой и малой пирамид) и их параллельных проекций (которыми могут быть, скажем, соответствующие друг другу диагонали оснований этих пирамид). Связь длин рассматриваемых отрезков – это уже новое геометрическое знание, важное для практического использования. Предлагаемую методологическую схему взаимообусловленности в изучении теории курса математики и организации соответствующей учебной практики школьников нельзя считать догмой. Реализация этой схемы невозможна без глубокого анализа математических и логических особенностей изучаемой темы (раздела) курса. Приведем пример того, как последние определяют выбор одного из возможных путей реализации нашей методологической схемы (для этапа изучения нового материала): 1) при помощи ознакомления учащихся с практикой как источником развития теории(со слов учителя, через учебник, в процессе эвристической беседы или решения задачи); 2) путем непосредственных наблюдений, проведения эксперимента, выдвижения и проверки гипотезы и т. п.; 3) при помощи сочетания первых двух путей. Ясно, что первый путь может быть рекомендован для проведения первого вводного урока стереометрии. В своем объяснении учитель напоминает учащимся, что форма и размеры – это важные в практической деятельности человека характеристики многих реальных предметов и объектов: в архитектуре, технике, строительстве, сельском хозяйстве. Например, для амбара, цистерны, кузова автомашины и т. п. Существенны для нас не столько физические особенности (материал, цвет и т. п.), сколько их размеры и емкость. Геометрия и изучает в чистом виде форму и размеры, абстрагируясь (отвлекаясь) от других материальных признаков предметов и объектов реального мира, - так возникают плоские и пространственные геометрические фигуры (кубы, параллелепипеды, призмы, цилиндры, конусы и др.). Эти фигуры можно рассматривать как объединения точек, отрезков, плоских фигур. Каковы возможные особенности их взаимного расположения в 40
пространстве (в частном случае на плоскости)? это одна из важных общих задач, которые должна решать геометрия. - Далее, прежде чем строить здания, корабли, станки и т. п., - говорит учитель, - мы строим их чертежи. Чертежи нужны для наглядного представления форм и размеров реальных предметов и объектов, к примеру, земельных и водных участков данного хозяйства (области, страны). Каким образом характерные особенности взаимного пространственного расположения точек, отрезков, фигур (в том числе линий и поверхностей) отразятся на плоском чертеже? При каких условиях он правильно передает свойства их пространственного расположения? Это вторая важная общая задача, решаемая геометрией. - Уже эти две общие задачи, выражающие две крупные практические потребности развития стереометрии, - заключает учитель, - порождают множество частных геометрических задач на изучение взаимного расположения 2-х прямых, прямых и плоскостей, 2-х плоскостей, на определение положения прямой или плоскости при помощи указания нескольких их точек и т.д. В последующих объяснениях учитель напоминает ученикам об этих общих задачах стереометрии, упомянув, что они могут рассматриваться как на пространственных моделях, так и на чертеже. К примеру, ученики устанавливают, наблюдая пространственную модель, что взаимное расположение прямых в пространстве описывается не двумя различными случаями, как на плоскости, а тремя: 1) пересекающиеся прямые; 2) параллельные прямые; 3) прямые, которые не являются ни пересекающимися, ни параллельными прямыми (их называют скрещивающимися). Наблюдение можно подкрепить и дедуктивными рассуждениями: возникает задача на логическое доказательство существования скрещивающихся прямых. С изображением этих прямых на чертеже связана задача на установление признака скрещивающихся прямых (поскольку на чертеже скрещивающиеся прямые часто изображаются в виде пересекающихся прямых). 41
Далее если даны три и более прямых, то предстоит исследовать задачи о возможных связях типа: а) (а // b; b-c)  (a-c); б) (a  b; c  b)  (a-c); в) (a-b; b- c)  (a-c) и т.п. Указанные выше задачи приведены в разделе «Скрещивающие прямые». Между тем, проведя описанные беседы, учитель убеждает учащихся в познавательной необходимости решения этих задач. Еще до нахождения этого решения учащиеся учатся определять, сколько различных познавательных типов таких задач существует, как самостоятельно составлять их условия. Сознательными в самом полном смысле этого слова могут быть только такие знания, источники и взаимосвязь которых ясны учащимся. Это относится и к развивающим математическим задачам (познавательного характера). Их постановка, т.о., не может быть произвольной; они должны появиться как бы «сами», представляя органической частью изучения курса математики; их решение составляет часть изучаемой теории и сочетается с выполнением других учебных заданий, в этом числе логического характера. До недавнего времени в методике и на практике придавалось ведущее значение традиционным задачам как средству закрепления знаний учащихся. Но ограничиваться такими задачами нельзя. В самом деле, когда решение задач рассматривается как вполне самостоятельная цель обучения математике (наряду с целью изучения теории и ее практических приложений), то оно зачастую теряет свой творческий характер. Многие задачи решаются по шаблону, по образцу и подобию рассмотренных на занятиях задач. Решение определенного типа задач превращается по сути дела в изучение своеобразной теории. Очевидно, нужно ставить другую цель, стремясь обратить решение задач в средство осознания учащимися связей математики с реальным миром, с практической деятельностью человека, в средство осознания межпредметных связей математики. Даже решение «готовых » задач, представленных в учебниках, может быть показано учащимся как составная часть изучения теории курса и связанных с этим изучением практических работ. Для этого задачи должны предлагаться 42
не только после изучения определенного теоретического раздела курса (задачи показывают здесь приложение изученной теории), но и на других этапах учебно-познавательной деятельности учащихся (учебная практика как источник теории и как критерий истинности или ценности теории). На первом из этих этапов решение задач предваряет изучение теории, оно должно убедить учащихся в познавательной необходимости развития этой теории. Решение предваряющих задач знакомит учащихся с практическими истоками теории, практическими потребностями её развития, поскольку эти задачи на основе прежних знаний не могут быть решены (или могут быть решены лишь приближенно, громоздким и трудоемким путем, лишь в некоторых частных случаях и т.д.). Однако решения «готовых» задач все же недостаточно для диалектического построения обучения математике как процесса совместной творческой учебно-познавательной деятельности учащихся и учителя. Известный американский педагог Д. Пойа правильно говорит о недопустимости рассмотрения в школьном курсе одних только «рутинных» задач, которыми он называет с узкой областью применения (иллюстрация одного свойства или практика в применении одного правила). Такие задания в учебнике также нужны, но когда они начинают вытеснять все остальное и учитель не принимает мер к тому, чтобы показать, как они появляются, то одновременно принижается, выхолащивается творческая деятельность учащихся, поскольку из трех фаз изучения математики, которые рассматривает Д.Пойа (исследования, формализация, усвоение) в учебной работе представлена только одна – фаза формализации. Решение математических задач – это модель изучения самой математики. Поэтому работа с математическими задачами должна отражать всю диалектику связей математики с реальным миром: возникновение в практике – построение абстрактной теории, отвечающей всем требованиям математической формализации – интерпретация полученных результатов, осмысливание их практических приложений. Необходимо, следовательно, 43
кроме решения «готовых» задач, показать учащимся процесс их рождения, их составления (начиная от математизации рассматриваемых математических ситуаций). Далее, нельзя считать любую задачу самостоятельной частичкой курса математики, решив которую, мы теряем к ней интерес. Необходимо осуществлять сопоставление решаемых задач, искать более общие способы их решения, анализировать, какой круг практических ситуаций они могут охватить. Возникают, т.о., задачи второго уровня, целью которых является изучение самих математических задач (в их традиционном понимании). Такие «задачи о задачах» значительно повышают эффективность изучения математике в 5-6-х и 7-9-х классах. Нет никаких оснований отказываться от них при изучении математики в старших классах. Выше была показана (для темы «Скрещивающиеся прямые») возможность составления развивающих стереометрических задач, исходя из непосредственного перевода практической потребности в определенную математическую задачу. Покажем теперь возможность логического и познавательного сопоставления решаемых задач с целью интерпретации полученных результатов, с целью глубокого усвоения учащихся возможных учебных и практических приложений рассмотренного типа математических задач.
2.1.3. Курс наглядной геометрии. История учебников по наглядной

геометрии.
Необходимость и возможность введения в начальный школе пропедевтического (подготовительного) курса геометрии обсуждается педагогической общественностью нашей страны уже более столетия. И хотя на сегодняшний день этот курс не нашел достойного места в отечественной школе, причины, побуждавшие к созданию различных вариантов этого курса (названного или начальным, или пропедевтическим, или наглядным курсами геометрии), достаточно весомые. Рассмотрим на наш взгляд, основные. 44
1. Традиционным для нашей основной школы систематический курс геометрии (изучающейся с 7-го класса) носит дедуктивный характер. Как известно, при дедуктивном построении геометрии, доказывая те или иные теоремы, можно опираться только на аксиомы, на ранее доказанные теоремы, на первоначальные (неопределяемые) понятия и на понятия, которым дано определение. Никакие ссылки на очевидные факты, усматриваемые непосредственно из чертежа, не в явной, ни в скрытой форме в научно – дедуктивной системе изложения геометрии недопустимы. Следовательно, очевидные, непосредственно рассматриваемые факты или свойства геометрических фигур должны быть знакомы детям за долго до изучения систематического курса геометрии. 2. Отсутствие должной преемственности курса математики начальной школы с курсом математики средней школы в изучении геометрического материала. Изучение геометрического материала в современной начальной школе преследует в основном практические цели, сопровождая курс арифметики. Так, рассмотрение свойств фигур, формирование начальных геометрических представлений направлено в основном на приобретение учащимися практических умений и навыков, связанных с решением практических задач на вычисление (длины или площади). Может быть, поэтому отбор геометрического материала во многом диктуется интересами арифметики, а с тоски зрения геометрии имеет случайный характер. Об этом свидетельствует «объяснительная записка» к программе по математике 1999 год, где не делается даже малейшей попытки обосновать содержание геометрического материала, подлежащего рассмотрению в начальной школе. В программе по математике начальных классов геометрический материал представлен мелкими крупицами как незначительное вкрапление в арифметику и не представляет, на наш взгляд, целостного, обоснованного курса. Таким образом, сейчас в начальной школе происходит лишь определенное накопление фактического материала по геометрии, а соответствующего его 45
обобщения не происходит. Более того, в курсе математики начальной школы в основном рассматривают плоскостные фигуры, тогда как даже ребенок – дошкольник имеет большой опыт общения с параллелепипедом, кубом, шаром, пирамидой (кубики, конструктор, мяч и т.д.), а в этом отношении геометрическая пропедевтика в современной школе проигрывает той, которая была в школе прошлого. 3. Наглядность и практичность обучения геометрии являются необходимыми условиями успешного ее изучения. Геометрия, как и любой другой учебный предмет, не может обходиться без наглядности. Известный русский методист-математик В.К. Беллюстин еще в начале XX века отмечал, что «никакое отвлеченное сознание невозможно, если ему не предшествует обогащение сознания нужными представлениями». Формирование отвлеченного мышления у школьников с первых школьных шагов требует предварительного пополнения их сознания конкретными представлениями. При этом удачное и умелое применение наглядности побуждает детей к познавательной самостоятельности и повышает их интерес к предмету, является важнейшим условием успеха. В тесной связи с наглядностью обучения находится и его практичность. Именно из жизни черпается конкретный материал для формирования наглядных геометрических представлений. В этом случае обучение становится наглядным, согласованным с жизнью ребенка, отличается практичностью. Так возникла идея преподавания так называемой наглядной геометрии. Сказанное было хорошо известно русским педагогам прошлых лет и успешно применялось на практике. 4. Идея целостного курса наглядной геометрии создает определенную автономию начальной школе, позволяет ее выпускникам переходить к профессиональному обучению. В связи с намечаемым переходом на всеобщее начальное шестилетнее обучение (который начал осуществляться в России в конце революции 1917 г.) 46
возникла идея создания целостного и достаточно информативного курса наглядной геометрии. Приведем содержание программы курса наглядной геометрии, которая действовала накануне революции в начальных школах одного из уездов Вологодской губернии. Сделаем несколько предварительных замечаний. Для начальной школы того времени программа по арифметике, по существу, охватывала все вопросы арифметики, которые изучаются в первых шести классах современной школы. Программа по геометрии существенно выходила за рамки геометрической чисти программы по математике первых шести лет обучения в современной школе. Таким образом, предполагаемый к тому времени переход к всеобщему начальному образованию предусматривал существенно более весомое программное обеспечение, чем его имеет даже современная начальная школа. Начальные геометрические понятия (линии, простейшие геометрические фигуры и тела, симметрия, простейшие планы и т.д.) изучались на первом и втором годах обучения совместно с изучением арифметики. На третьем и четвертом годах обучения геометрия изучалась систематически на отдельных уроках. Наглядность при изучении геометрического материала Основой формирования у детей представлений о геометрических фигурах является способность их к восприятию формы. Эта способность позволяет ребенку узнавать, различать и изображать различные геометрические фигуры: точку, прямую, кривую, ломаную, отрезок, угол, многоугольник, квадрат, прямоугольник и т.д. Для этого достаточно показать ему ту или иную геометрическую фигуру и назвать ее соответствующим термином. Например: отрезки, квадраты, прямоугольники, круги. 47
Отрезки Квадраты Рис. 1 Рис. 2 Прямоугольники Круги Рис.3 Рис.4 Аналогично можно поступить с геометрическими телами, показ их моделей: это цилиндр (куб, конус и т.д.). Такое знакомство учащихся с геометрическими фигурами позволяет им воспринимать их как целостный образ, поэтому, если изменить расположение или размер тех фигур, которые были предложены в образце, дети могут допускать ошибки. Например, в фигурах, изображенных на рисунке. 48
Рис.5 Ученик может не узнать квадраты в фигурах, изображенных на рис. 6 прямоугольники, Рис.6 Рис.7 но на рисунке 7 фигуры, он может назвать прямоугольниками. Поэтому восприятие геометрической фигуры как целостного образа – лишь первый этап в формировании геометрических представлений ребенка. Важное место занимает при изучении геометрического материала наглядность. Цель метода наглядности в начальной школе обогащение и расширение непосредственного, чувственного опыта детей, развитие наглядности, изучение конкретных свойств предметов, создание условий для перехода к абстрактному мышлению, опоры для самостоятельного учения и систематизации изученного. В начальных классах применяется естественное, рисунковое, объемное, звуковая и графическая наглядность. Средство наглядности разнообразны: предметы и явления окружающей действительности, действие учителя и учеников изображения реальных 49
предметов, процессов (рисунков, картины), модели предметов (игрушки, вырезки из картона), символические изображения (карты, таблицы, схемы). Чтобы организовать наблюдения учеников, от учителя требуется известная осторожность. Распространенная ошибка – применение очень яркой наглядности, когда ее учебная сущность затмевается яркими красками. Неопытный учитель часто привлекает внимание детей к второстепенным деталям. Излишне разукрашивается раздаточный материал. Схема, таблица содержат цвет только для выделения смысла, но не для украшения. Наглядные методы применяются на всех этапах педагогического процесса. Их роль обеспечение всесторонних, образное восприятие, дать опору на мышление. Каждый учитель постоянно должен понимать, что прочные знания у детей будут в том случае, если он будет опираться на жизненный опыт ребенка. Постоянно должна проводиться работа, связанная с наблюдением, сравниванием групп предметов. Широко должна использоваться наглядность, дидактический материал. При изучении нового материала рекомендуется такое построение урока, при котором работа начинается с разнообразных демонстраций, проводимых учителем или учеником. Применение наглядности на уроках математики при изучении геометрического материала, позволяет прочно и сознательно усвоить детям все программные вопросы. Язык математики – это язык символов, условных знаков, чертежей, геометрических фигур, схем. Дети, начиная с первого класса, пользуются при счете геометрическими фигурами (квадраты, прямоугольники, круги, отрезки и т.д.) Геометрический прием условного обозначения вещей и их отношения рисункам, чертежом и т.п. является средством более легкого представления и запоминания изучаемого. Простейшим геометрическим изображением 50
величины и ее частей является так называемое одномерное или линейные диаграммы. Требования программы Геометрический материал (как и алгебраический) не выделяется в программе и в реальном процессе обучения в качестве самостоятельно раздела. Вопросы геометрического содержания рассматриваются всегда, когда это оказывается возможным, в тесной связи с рассмотрением остальных вопросов курса. Однако, как это отмечено в объяснительной записке к программе, в изложении вопросов геометрии должна соблюдаться и собственная логика, подчиненная основным целям включения этого материала в курс. Цели же эти состоят прежде всего в развитии пространственных представлений у детей, в формировании у них представлений о геометрических фигурах различных видов (точке, прямой и кривой линиях, отрезке, прямой, ломаной, прямом и непрямом угле, различных видов многоугольников, круге, окружности). Дети должны научиться изучать, различать и изображать эти фигуры как в тех случаях когда каждая из них предлагается им в изолированном виде, так и в тех, когда знакомая фигура представляет собой части другой, составлять фигуры из нескольких данных и т.п. При ознакомлении с геометрическим материалом значительное место уделяется измерениям: дети должны находить длину отрезка (1 класс), длину ломаной, периметр данного многоугольника (2 класс), площадь прямоугольника (3 класс). При этом определения понятий детям не сообщаются (и соответственно от учащихся не требуется их знания). Вместе с тем по отношению к ряду понятий (например, по отношению к прямоугольнику, квадрату и т.д.) указываются те существенные признаки, которые фактически отражают содержание этих понятий и дают возможность выделять соответствующие фигуры из класса фигур, относящихся к ближайшему родовому понятию 51
(«прямоугольник – четырехугольник, у которого все углы прямые», «квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны» и т.п.). Дети должны научиться практически использовать соответствующие признаки при узнавании различных фигур, их классификацию. Вопросы геометрического содержания рассматриваются главным образом на основе практических работ, связанных со сгибание листа бумаги, вычерчиванием фигур и пр. Формирование элементарных навыков черчения выделяется специальное внимание. В программе указано время, когда дети должны научиться пользоваться линейкой – угольником, предусмотрено , какие простейшие построения и измерения они должны выполнять. Это вычерчивание отрезков заданной длины и измерение отрезков с помощью мерной линейки, построение на клетчатой бумаге прямоугольника (квадрата). Дети должны пользоваться циркулем для вычерчивания окружностей заданного радиуса, с центром в заданной точке, научиться строить прямой угол и прямоугольники на нелинованной бумаге с помощью чертежного угольника. Рассмотрение вопросов, связанных с измерением естественно увязывается с работой над числами и арифметическими действиями. Геометрические фигуры часто служат средством наглядной интерпретации, рассматриваемых арифметических вопросов (смысла, сложения, вычитания, умножения, деления, некоторых их свойств и т.п.). Приобретенные знания, умение, навыки и при изучении геометрического материала находят применение не только в входе практических упражнений, но и при решение текстовых задач. Задачи и содержание работы по изучению элементов наглядной геометрии Основные задачи изучения геометрического материала в 1-4 классах заключаются в том, чтобы создать у детей четкие и правильные геометрические образы, развить пространственные представления, вооружить их навыками черчения и измерения, имеющими большое жизненно – 52
практическое значение, и тем самым подготовить учеников к успешному изучению систематического курса геометрии. Формирование геометрических представлений является важным разделом умственного воспитания, политехнического образования, имеют широкое значение во всей познавательной деятельности человека. Какое содержание вкладывается в понятие пространственное представление? Надо иметь в виду, что пространственные представления носят синтетический характер, включая форму, положение, величину, направление и другие пространственные отношения и связи. Задача развития у младших школьников геометрических представлений, способности к обобщению состоит в том, чтобы научить их видеть геометрические образы в окружающей обстановке, выделять их свойства, конструировать, преобразовывать и комбинировать фигуры, изображать их на чертеже, выполнять в необходимых случаях измерения. В содержании начального геометрического образования должны найти свое отражение – пусть в самой элементарной и доступной детям форме – основные геометрические идеи – движения преобразования, инвариантности основных свойств геометрических фигур. Уже на первой ступени приобщения к геометрическим знаниям дети должны получить первоначальную ориентировку во взаимном расположении фигур, в умении выделять изучаемые фигуры как элементы тел. Арифметические и геометрические знания должны тесно сочетаться и находиться в органическом единстве. В соответствии с программой начальных классов дети знакомятся с прямой линией, отрезком, измерением и вычерчиванием отрезков, с их разностным и кратким сравнением, с углами (прямой, тупой, острый), с прямоугольником, квадратом и их свойствами, с вычислениями их периметров и площадей, с геометрическими телами: кубом и прямоугольным параллелепипедом; с их некоторыми свойствами, с вычислением их объемов. Программой предусмотрено провешивание и измерение прямой линии, проведение измерительных работ на местности. 53
Хотя такое содержание геометрического материала не вполне соответствует целям и задачам геометрического материала в начальных классах, тем не менее, как свидетельствует опыт передовых учителей, программа дает возможности для осуществления в известной мере указанных выше геометрических идей и для повышения уровня геометрических знаний учащихся. Общее направление, в котором должно проходить изучение геометрического материала формулировано в объяснительной записке к программе: «процесс изучения геометрического материала» должен быть от начала до конца активным, конкретным, наглядным. Все обучение следует сопровождать практическими упражнениями при этом учащиеся будут воспринимать не только готовые геометрические фигуры и тела, они сами будут создавать и воспроизводить изучаемые геометрические формы, используя для этого вырезание и наклеивание, моделирование, вырезание разверток и склеивание, черчение, образование фигур на подвижных моделях, а так же путем перегибания листа бумаги. Полученные знания сейчас же используются детьми на практики не только на уроках арифметики, когда находят периметр, площадь и др., но и на уроках труда, рисование, в работе на школьном учебно-опытным участке, на уроках природоведения. В этих указаниях большое значение придается наглядности, практическим работам. И это правильно; вторая сигнальная система развивается на основе первой, по этому при первоначальном знакомстве учащихся с геометрией не обходимо обращаться к наглядности, конкретным геометрическим образам. Наглядности и практические работы учеников должны преследовать не только узко – практические цели, но и развития кругозора детей, способности обобщения и абстрагированию, развитие геометрических представлений и геометрического воображения. Наблюдения и практические лабораторные работы, решение задач – всё это должно приводить к накоплению фактов и к обобщениям, которые получат дальнейшее развитие в систематическом курсе. Так, например, при изучении 54
прямой линии с помощью практических работ дети приобретают опыт подводящих их к пониманию свойств прямой линии. То же самое можно сказать и об изучении других фигур, тел. И здесь нужно применять также формы заданий, которые способствуют накоплению фактов, подготавливающих к изучению систематического курса геометрии. Одним из важных методических принципов изучения геометрического материала, является связь его с другими предметами: с арифметикой, рисованием, трудом, поведением. “Математика есть, наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира” (Энгельс). Обе эти стороны математики должны быть тесно связанны между собой, взаимно дополнять и обеспечивать друг друга. Вопрос об использовании геометрических объектов при изучении арифметики разработал П.А. Компанийцем в книге “Особенности преподавании геометрии в тесной связи с арифметикой в 1 – 4 классах”. Предлагаемая им система упражнений по арифметики с использованием геометрических образов построена так, что изучение арифметики в некоторой степени способствует геометрическому образованию. Уже в пределах первого и второго десятков при изучении нумерации используется отрезки, квадраты, кубы в различном расположении. На первых порах обучения автор рекомендует знакомить детей не только с линейным, но и с квадратными и кубическими единицами, не связывая их пока с понятием о площади или объёме. Квадратные и кубические единицы используется и дальше, при изучении нумерации, но попутно с этим идёт подготовка к изучении площади; учащиеся вычёркивают в тетради квадратный сантиметр, затем полоску из 10 кв.см.и квадрат из 10 полосок, то есть квадрат с площадью 100 кв.см, и узнают, что из 100 кв.см, можно составить 1 квадратный дециметр. Здесь имеется и развитие идеи десятичной системы счисления, и подготовка к изучению квадратных мер, и подготовка к изучению способа вычисления площади квадрата. Даются упражнения по подсчету числа квадратных единиц, на которые разбиваются прямоугольник. Таблица умножения Пифагора дана в 55
геометрической форме, даётся геометрическое истолкование умножения двузначного числа на двузначное. В геометрической форме излагается порядок выполнения арифметических действий и многие другие вопросы арифметики. Опыт П.А. Компанийца интересен как одна из возможностей установления органической связи арифметики с геометрией. Широкое использование находят геометрические образы при решении арифметических задач; сюда относится графическое изображение условия задачи, применение масштаба, связь количественных и пространственных представлений, изображение в виде отрезка расстояния между двумя пунктами в задачах на движение и др. Существует задачи, в которых геометрические образы выступают на первый план. Возьмём, например, задачу 1: Велосипедист выехал из пункта А в пункт В. Проехав 500 м, он обнаружил, что потерял ключ. Вернувшись на 100 м. назад, он увидел ключ на дороге. Подобрав его, он снова двинулся к пункту В и, проехав ещё 800 м., достиг его. Каково расстояние между пунктами А и В 1. 500 м. – 100 м. = 400 м. 2. 400 м. + 800 м. = 1200 м. 500 м 800м А В На уроках рисования непосредственно используются элементы геометрии. Эти уроки носят в ряде случаев подготовительный характер. Они помогают накоплению факторов и наблюдений, которые должны быть использованы в геометрии. На уроках рисования в 1 и 2 классах, моделями для рисунков является предметы, близкие по своей форме к простейшим геометрическим фигурам. В процессе рисования дети не только познают форму предметов, но и примерные количественные соотношения частей предметов, их взаимное расположение, направление линии. В 3 и 4 классах существенно новым 56
является изображение тел, на плоскости, причём здесь играет роль расположение предметов, и, следственно, геометрических. Образ раскрывается с различных точек зрения. При этом дети рисуют предметы, близкие по форме к простейшим геометрическим телам: стакан, коробка, яблоко, пирамида. Учитывая это, следует устанавливать предметные связи, между значениями, полученными на уроках рисования, со знаниями, полученными при изучении начальной геометрии. Уроки труда также тесно связаны с геометрией. Здесь это связь носит действительный характер. В процессе работы над материалам (бумагой, картоном, глиной) дети моделируют геометрические фигуры и тела, познают их свойства. Если на уроках рисования главную роль играли зрительные восприятия, то на уроках труда они дополняются осязанием и ощущениями при движении рук. Изготовляя изделия или детали, составляя узоры или украшения дети сталкиваются с большим разнообразием форм. Кроме того, учащиеся должны научиться выполнять чертежи и технические рисунки, что имеет исключительно важное значение в геометрическом образовании. Надо заметить, что работы по труду связаны с целым рядом фигур, линий в этих фигурах, в то время как в курсе наглядной геометрии изучают только прямоугольник и квадрат. Уроки физкультуры также содержат моменты, с геометрическим образованием. Так, например, на этих уроках ученики получают ориентировку в направлении: на право, на лево, вверх, вниз, в горизонтальном и вертикальном направлении, в построение по прямой линии, в круг, по границе участков в форме прямоугольника, квадрата, в поворотов на прямой; развернутый, полный угол. На уроках русского языка при чтении статей учащейся встречаются с выражениями о направлении, форме предметов, и их взаимном расположении, Итак, при изучении всех учебных предметов идет накопление геометрических представлений о формах предметах, о их взаимном 57
расположении. Задача состоит в том, чтобы координировать все эти виды работ, которые служат одной цели. Общие вопросы методики изучения элементов наглядной геометрии Особое содержание геометрического материала, включенного в программу и реализованного в системе тщательно отобранных задач, направлено на формирование достаточно полной системы геометрических представлений (включающей образы геометрических фигур, их элементов, отношений между фигурами, их элементами. На этой основе формируются пространственные представления и воображение, развивается речь и мышление учащихся, организуется целенаправленная работа по формированию важных практических навыков. Важнейшей задачей учителя является определение методики, раскрывающей содержание геометрического материала на том уровне, который должен быть достигнут учащимся к моменту их перехода в 4 класс, а также ведущих направлений изучение этого материала. Для формирования геометрических представлений работа должна проводится следующим образом: свойство фигур учащиеся выявляют экспериментально, одновременно усваивают необходимую терминологию и навыки; основное место в обучении должны занимать практические работы учеников, наблюдения и работы с геометрическими объектами. Оперируя разнообразными предметами, моделями геометрических фигур, выполняя большое число наблюдений и опытов, учащиеся подмечают наиболее общие их признаки (не зависящие от материала, цвета, положения, массы и т.п.) В методики формировании геометрических представлений важно идти от «вещей» к фигуре (к её образу), а также, наоборот – от образа фигуры к реальной вещи. Это достигается систематическим использованием приёма материализации геометрических образов. Например, прямая линия не только вычерчивается с помощью линейки, представление о ней даёт и край – ребро линейки, 58
натянутая нить, линии сгиба листа бумаги, линия пересечения двух плоскостей (например, плоскости стены и плоскости потолка). Отвлекаясь от конкретных свойств материальных вещей, учащиеся овладевают геометрическими представлениями. Так, например, можно видоизменять способ деления многоугольника отрезком на части. В начале этого может быть перегибание бумажного многоугольника. В этом случае отрезок (линия сгиба) реально делит многоугольник на две части. Этот опыт полезно продолжать, разрезав многоугольник по линии сгиба на два многоугольника. Несколько позже эту же задачу полезно решить на чертеже, в начале путем непосредственного проведения (вычерчивания) отрезка, затем прикладывание указки В первом классе в основном завершается первоначальное ознакомление с фигурами и их названиями. Это делается на основе рассмотрения окружающих вещей, готовых моделей и изображений фигур. У детей постепенно вырабатывается схема изучения фигур, схема анализа и синтеза, облегчающая усвоение свойств каждой фигуры. Значительное место в методике должно отводится применению приема сопоставления и противопоставления геометрических фигур. В 1 классе это позволит из множества фигур наглядно (без помощи определений) выделят множество кругов, множество многоугольников, множество линий и т.д.; во 2 и 3 классах – уточнять свойства фигур, классифицировать их. Большое внимание следует уделять противопоставлению и сопоставлению плоских фигур (круг – многоугольник, окружность – круг и т.д.), плоских и пространственных фигур (квадрат – куб, круг – шар и пр.) Причем эта работа должна проходить не только на уроках математики, но и на уроках труда и, особенно на уроках рисования, когда воспроизведение формы предмета зависит от качества и глубины анализа, его геометрической формы. Например, при наблюдении и куба (или предмета, имеющего форму куба) следует найти в нем характерные тоски, отрезки, многоугольники; при наблюдении шара можно обратить внимание на его круглые сечения. 59
Уже при первоначальном ознакомлении детей с геометрическими фигурами в 1 классе дети выполняют умственные операции анализа и синтеза. Важной задачей учителя, определяющей методику обучения в этот момент, является анализ фигуры, на основе которого выделяются ее существенные свойства (признаки) и несущественные. Так, например, существенным для треугольника будет не его положение на плоскости (листе бумаги), не относительные размеры сторон, а наличие трех сторон (углов, вершин); для прямоугольника существенно то, что он четырехугольник (четыре угла) и все его углы прямые. Все остальное не существенно. В процессе обучения возникает потребность применения геометрической и логической терминологии, символики, чертежей. Так, уже во 2 классе введение буквенной символики помогает не только различать фигуры и их элементы, но и является одним из средств формирования обобщений. Например, запись ОК  5 см говорит о том, что отрезок ОК – любой отрезок, имеющий длину меньшую, чем 5 см. Как показывает опыт обучения математики в 1-3 классах, под влиянием той легкости и интереса, с которыми учащиеся 1-3 классов воспринимают не только очевидные простые, но иногда трудные геометрические факты, учитель начинает недооценивать наглядный и практический подход к изучению геометрического материала, не выполняет минимума упражнений, помещенных в учебнике, обращает мало внимания на формирование практических навыков. Такой учитель встает на неверный и опасный путь формального ознакомления младших школьников с геометрическими фигурами. Он начинает знакомить детей с фигурами не путем их наблюдения, изготовления из бумаги и вычерчивания, а сообщая формальное определение, только словесным способом. Например, учитель сообщает детям то определение понятия отрезка, которое ему самому запомнилось из школьного курса геометрии, думая, что этого будет достаточно для создания необходимого представления об отрезке. 60
Такой подход преждевремен. И если дети что-то и выносят из устного объяснения, то положительно воздействовать на них при этом будут не столько слова учителя, сколько показ чертежа отрезка. Более того, учитель должен хорошо помнить, что определить понятие – это значит точно выделить тот класс объектов, который охватывает данным понятием. Для этого мы должны знать все существенные признаки определяемого понятия и проверить, обладает данный объект всеми этими признаками или не обладает. Поэтому для этого, чтобы понять определение отрезка, сообщаемое учителем, ребенок должен иметь отчетливые представления о прямой линии и ее свойствах, о некоторых точках прямой, которые в данном случае «ограничивают отрезок и принадлежат отрезку». Но и этого мало. Если учитель сообщает детям, что «отрезком называется часть прямой, ограниченная двумя точками», то может возникнуть различное истолкование данного предложения в связи с его неточностью. Действительно, о какой части прямой идет речь – о той, точки, которые принадлежат прямой и лежат между граничными точками; или о той части прямой, которая включает все точки прямой, кроме точек, лежащих между граничными (два луча). Как много должен знать ученик, чтобы в этом случае понять учителя! Другое определение отрезка, которое, к сожалению, часто используют учителя: «Отрезком называется часть прямой, ограниченная с двух сторон», обладает еще большими недостатками. Учитель не пойдет по такому пути, если будет и учитывать, что в процессе определения понятия каждый раз одно понятие (например, «квадрат») определяется через другое, более широкое («прямоугольник»), которое в свою очередь так же может быть определено через еще более широкое понятие («параллелограмм», «четырехугольник», «многоугольник»). Такую цепь определений нельзя продолжить бесконечно. В конце концов, мы приходим к понятиям, наиболее широким и общим, для которых невозможно указать ближайший род. Такие понятия называют основными (первичными и неопределенными). 61
Учитель должен хорошо представлять, что наличие основных (неопределяемых) понятий, как в науке геометрии, так и в школьном курсе геометрии неизбежно. Поэтому, например, он совершит грубую математическую ошибку, если будет ставить такие вопросы: «Что называется плоскостью?», «Что называется прямой линией?», «Что называется точкой?» и т.п., так как эти понятия основные, они не определяются через указание рода и видового отличия. Нужно иметь в виду, что в школьном курсе геометрии по мере овладения учащимися геометрическими представлениями, от класса к классу система основных понятий меняется. В младших классах эта система более обширна. Например, в 1-3 классах такие понятия как «отрезок», «многоугольник», «угол» и т.п., являются неопределенными. Но уже в 4 классе они определяются. Из этого следует, что учащимся начальных классов не имеет смысла задавать вопрос: «Что называется (что такое) отрезком? Что называется многоугольником? Что называется углом?» и т.п. Так как понятия «отрезок», «многоугольник», «угол» являются здесь неопределенными, но уже можно ставить вопрос: «Что называется треугольником (четырехугольником, пятиугольником)?» Дети могут отвечать на этот вопрос примерно так: «Треугольник – это многоугольник, у которого три угла (вершины, стороны)». Здесь можно давать несколько избыточное определение прямоугольника как четырехугольника, у которого все углы прямые. Попытки ранней формализации при ознакомлении младших школьников с геометрическими фигурами приводят к завышению программных требований, к недостаточному, а иногда и неверному усвоению материала. Так, например, в классах, где учителя злоупотребляли «теоретическим» подходом к изучению фигур, многие учащиеся не смогли, например, указать правильно все фигуры, изображенные на рисунке. 62
2 3 4 6 7 8 9 5 7 12 10 13 14 12 Они путали отрезок (2) и прямую (14), четырехугольник (8) и замкнутую ломаную линию (9). Как правило, более высокого уровня усвоения достигают те учителя, которые, понимая самостоятельную значимость геометрических знаний, стремятся осуществить связь изучения геометрического материала с другим материалом начального курса математики. В основе этой связи лежит возможность установления отношений между числом и фигурой, свойствами чисел и свойствами фигур. Это позволяет использовать фигуры при формировании понятия числа, свойства чисел, операций над ними и наоборот использовать числа для изучения свойств геометрических образов и их отношений. В 1 классе фигуры следует применять наряду с другими материальными вещами как объекты для перечисления. Несколько позже такими объектами должны стать элементы фигур, например вершины, стороны, углы многоугольников. Учащиеся постепенно знакомятся с измерением отрезков. Это устанавливается прямая связь между отрезками (точками) и числами. Геометрические фигуры используются при ознакомлении учащихся с долями. В указанных выше случаях открывается больше возможностей органически связать изучение геометрических объектов с арифметическим материалом, включенным в курс математики для 1-3 классов. 63 11
Уже в 1-3 классах выполняются простейшие классификации углов (прямые и непрямые), многоугольников (по числу углов) и т.д. Изучение родовых и видовых понятий готовит детей к пониманию определений, построенных на указании рода и видовых отличий. Это дает, например, возможность построить методику ознакомление с прямоугольниками таким образом, что в дальнейшем ученики усваивают, что любой квадрат есть прямоугольник. Использование упражнений, в которых дети отмечают (выделяют) точки, принадлежащие или не принадлежащие фигуре или нескольким фигурам, помогает в дальнейшем трактовать геометрическую фигуру как множество точек. А это позволяет более осознанно выполнять операции деления фигуры на части или получение фигуры из других (складывание), т.е. выполнять по существу операции объединения, пересечения, добавления над точечными множествами. Важной общей методической линией осуществления связи в изучении геометрического материала с остальными вопросами курса начальной математики является, таким образом, неявная опора на теоретико- множественные и простейшие логико-математические представления в изучении фигур, их отношений, свойств. Общим методическим приемом, обеспечивающим прочные геометрические знания, является формирование пространственных представлений через непосредственное восприятие учащимися конкретных реальных вещей; материальных моделей геометрических образов. В 1 классе пространственные представления вырабатываются в процессе приобретения детьми практического опыта при изучении отношений взаимного положения предметов, выражаемых словами «выше», «ниже», «справа», «сверху», «спереди», «сзади» и т.д. Во 2-3 классах характер работы по формированию пространственных представлений усложняется. Например, представления об одной фигуре формируется с опорой на другую. Так, опираясь на 64
представления о треугольнике вообще, можно получить представления о прямоугольном треугольнике. Учитель должен систематически проводить работу по формированию умений и навыков применения, чертежных и измерительных инструментов, построению изображений геометрических фигур, умений описывать словесно процесс работы, выполняемой учеником, и ее результат, умений применять усвоенную символику и терминологию. Важным методическим условием реализации этой системы является сначала осознание выполнения действий и лишь за тем автоматизация этих действий. Результатом обучения в 1-3 классах должно быть формирование первоначальных представлений о точности построений и измерений. В 1 классе учащиеся овладевают навыками измерения и построения отрезков с помощью линейка (с точностью до 1 см). При этом детям предъявляется не меньшее требования, тем это обычно делается, например, в отношении навыков письма. Во 2-3т классах в практику измерений и построений постепенно вводятся новые инструменты: циркуль, циркуль – измеритель, чертежный треугольник, рулетка. Повышаются требования к точности построений и измерений, качеству чертежей и моделей, выполняемых детьми, к описанию хода и результатов проделанной работы. Работа по формированию навыков должна проводиться распределено и постепенно, почти на каждом уроке (и не только на уроках математики). Это создает условие для более частого применения этих навыков в учебной и практической деятельности, обеспечивает необходимую их прочность. Для правильного выбора методики обучения младших школьников, учитель должен иметь общие представления о системе задач, предоставленных в учебниках. Эта система включает в каждом классе задачи: а) в которых геометрические фигуры используются как объекты для пересчитывания (круги, многоугольники, элементы многоугольников). При 65
решении таких задач в основном усваивается необходимая терминология и образуется умение узнавать и различать фигуры; б) связанные с формированием представлений о геометрических величинах (длине, площади) и навыков измерения отрезков, площадей, фигур; в) вычислительные, связанные с нахождением периметра многоугольников, площади прямоугольника; г) на элементарное построения геометрических фигур на клетчатой бумаге, на гладкой нелинованной бумаги с помощью линейки, угольника, циркуля (без учета размеров); д) на элементарное построение фигур заданными параметрами (треугольник с прямым углом, прямоугольник с заданными сторонами и т.д.); е) на классификацию фигур; ж) на деление фигур на части (в том числе на ровные части) и на составление фигур из других; з) связанные с формированием основных навыков чтения геометрических чертежей, использованием буквенных обозначений (формированием «геометрической зоркости»); и) на вычисление геометрической формы предметов или их частей. Из истории учебников по наглядной геометрии. В условиях современной реформы школьного образования курс математики претерпевает весьма существенные изменения и, в первую очередь, это касается курса геометрии. На станицах приложения «Математика» начата очень современная и нужная дискуссия о преподавании школьной геометрии. В предлагаемой статье речь пойдет о курсе геометрии для младших классов, к которому сейчас проявляется большой интерес. Совсем недавно на одном методическом семинаре обсуждались проблемы преподавания геометрии в реформируемой школе, новые школьные учебники, авторские программы и т.п. Рассмотрим курс наглядной геометрии для младших классов, который выдавался за совершенно новое и оригинальное явление наших дней. Однако 66
данный курс имеет давнюю и славную историю, которая насчитывает уже более ста лет и является лишь относительно новым для российской школы. Кратко остановимся на некоторых станицах истории. Методика преподавания наглядной геометрии в России началась в эпоху школьной реформы середины XIX в. Это было время общественного подъема, в котором вопросы педагогики занимали видное место. Достаточно вспомнить, что именно в это время организуется Петербургское педагогическое общество, издается целый ряд педагогических журналов, среди которых «Педагогический сборник», «Учитель», «Народная школа», «Семья и школа», «Русский педагогический вестник», «Педагогический листок» и многие другие. В1864 году принимается новый Устав школы, в котором были учреждены новые типы учебных заведений. В частности, появились двуклассные училища Министерства народного просвещения (1872 года они стали называться городскими). Естественно, возник вопрос о введении в них начального подготовительного курса геометрии. Этот курс получал различные названия в зависимости от своей основной цели. Например, досистематический, подготовительный, приготовительный, пропедевтический. Из этих названий ясно, что курс геометрии младших классов должен был, прежде всего, готовить учащихся к изучению систематического курса геометрии. Авторы, которые хотели подчеркнуть особенности способов изложения начального курса геометрии, отвечающих возрастным особенностям учащихся, называли его интуитивным, наглядным, опытным, эмпирическим. Первым российским учебником по начальному курсу геометрии стала книга барона М.О. Коссинского «Наглядная геометрия». Заметим, что он работал в Смольном институте, где трудился К.Д. Ушинский, и находился под большим влияниям идей великого русского педагога, в частности, его книги для начального обучения «Детский мир». В предисловии к курсу М.О. Коссинский подробно убедительно поясняет цель и необходимость введения наглядных курсов геометрии. Он пишет: «В высшей степени важно сгладить 67
переход от наглядного к отвлеченному, сделать его постепенным, начать с рассуждений, основанных на внешних чувствах и только мало – помалу присоединять к ним рассуждения, заставляющие работать способности внутренние». В этой книге проявилась одна из существенных особенностей курсов наглядной геометрии, а именно построение его на принципе фузионизма. В данном случае он означает совместное преподавание элементов планиметрии и стереометрии. Рассматриваемая книга начинается с изучения простейших пространственных фигур, «С протяжений о трех измерениях», на основе которых изучаются важнейшие понятия геометрии. Учебник М.О. Коссинского оказал большое влияние на становление и развитие курса наглядной геометрии. Он оккрыл целую серию работ, в которую вошли учебники того времени М. Борышкевича, Е. Волкова, З.Б. Вулиха. Видное место в этих учебниках заняли задачи на построение изучаемых геометрических фигур, на основе которых изучались их свойства. В 1872-1873 гг. в Петербургском педагогическом обществе велась жаркая дискуссия о построении, содержании, методах в преподавании курса начальной геометрии. И хотя полезность этого курса не вызывала ни каких сомнений, а его цели были понятными и общепризнанными, нашлось не мало противников введения курса наглядной геометрии в практику работы школы. Основная причина негативного отношения – перегрузка учебных планов и программ. В защиту пропедевтического курса геометрии выступили видные методисты-математики того времени В.А. Евтушевкий, В.А. Латышев, А.Н. Страннолюбский. Например, В.А. Евтушевский высказал мнение о необходимости разработке учебников по наглядной геометрии трех типов, а именно: а) для начальной школы; б) курсы практического характера, направленные на подготовку к реальной жизни; в) пропедевтические курсы по наглядной геометрии для подготовки к изучению систематического курса евклидовой геометрии. В.А. Латышев разработал два вида начального курса геометрии: элементарный и элементарно-теоретический. Первый – это курс, носящий 68
практический характер; в его основы были положены прикладные аспекты геометрии в различных измерениях, вычислениях площадей, объемов, в съемке планов и т.п. Поэтому большое значение в этом курсе отводилось геометрическим построениям с помощью циркуля и линейки. Вместе с тем Латышев говорил о том, что ученика нужно специально и постепенно готовить к овладению дедуктивным курсам геометрии. По его мнению, «рассмотрение форм должно предшествовать занятиям геометрией и составлять содержание приготовительного курса геометрии». А.Н. Страннолюбский вошел в историю российского просвещения не только как выдающийся педагог-математик, но и как неустанный поборник высшего женского образования. Любопытно, что именно у него брала уроки математики юная Софья Корвин-Круковская (С. Ковалевская). Страннолюбский принял активное участие в дискуссии и отстаивал насущную необходимость введения курса наглядной геометрии в женских гимназиях. Несмотря на все достижения, вопрос о постановке курса наглядной геометрии оставался открытым. Более того, наступил длительный период реакции. Новый министр просвещения Д.А. Толстой (1866-1880) заменил более-менее либеральный школьный Устав 1864 года. По новому Уставу приблизительно половина учебного времени отводилась на изучение древних языков и поэтому было резко сокращено число часов на преподавание естественных наук, в том числе и математику. Пропедевтический курс геометрии вообще был исключен из учебного плана. Такое отношение к наглядному курсу геометрии продолжалось вплоть до конца XIX века. На рубеже XIX – XX столетий в образовании сложилась такая ситуация, когда, с одной стороны, педагогическая и методическая науки накопили много новых идей в теории обучения, а с другой стороны, имела место старая общеобразовательная система, не соответствующая достижению педагогики и психологии, подвергающаяся резкой критике. Сложившееся противоречие, естественно, не могло не привести к новой реформе образования. Преобразования касались ко всей системе обучения в целом, так 69
и обучения отдельным предметам. Особенно сильным изменениям подверглось преподавание математики. ускорению русской реформы во многом способствовала революция 1905 года. Своеобразным итогом движения за реформу образования стали исторические Всероссийские съезды преподавателей математики. Первый съезд проходил в Петербурге с 27.12.1911 г. по 3.01.1912 г., а второй – ровно через два года в Москве. На них впервые учителя и ученые- математики имели возможность обсудить важнейшие проблемы преподавания математики в школе. Уже на первом пленарном заседании был заслушан большой доклад С.А. Богомолова «Обоснование геометрии в связи с постановкой ее преподавания». В нем автор подробно остановился на общем значении курса геометрии и его основных целях. Он предложил разбить весь курс геометрии на две части, а именно: пропедевтическую и систематическую. Причем первая должна носить фузионистский характер и иметь целью развития пространственной интуиции и накопления геометрических знаний. Более того, в пропедевтическом курсе необходимо отвести видное место так называемому лабораторному методу, то есть экспериментированию всякого рода; последнее может происходить при помощи простейших геометрических приборов, построений на клетчатой бумаге, вырезания и накладывания фигур и т.п. Эта идея была поддержана и одобрена съездом. Одним из самых значительных выступлений по этому поводу был доклад А.Р. Кулишера «Начальный (пропедевтический) курс геометрии в средней школе. Его цели и осуществления». В нем, прежде всего, указаны недостатки систематического курса геометрии, основным из которых, с точки зрения докладчика, является то, что изучение геометрии начинается поздно и не с рассмотрения пространственных фигур, а «ребенок живет главным образом в мире разного рода многогранников с прямыми, по большей части, углами, чаще всего в мире прямоугольных параллелепипедов, кубов и не многих круглых тел (причем ему известны, самое большее, название куба и шара), мы склонны 70
думать, как это подтверждается многочисленными наблюдениями преподавателей-практиков, что тела для детей «проще», чем прямые и плоскости». А.Р. Кулишер приводит пример весьма удачного сорокалетнего опыта работы в данном направлении немецкого педагога П. Трейтлейна 1. Далее А.Р. Кулишер в своем докладе остановился на еще одном интересном и значительном, с его точки зрения, начальном курсе геометрии В. Кемпбеля «Наглядная геометрия». Эта книга начинается с представления простейших многогранников и их изготовления. Первая фигура – куб (о нем разбирается 65 вопросов!). Это не случайно, так как ребятам хорошо известна эта простейшая фигура, с раннего детства они с удовольствием включаются в различные игры с кубиками. В предисловии в своей книге «Наглядная геометрия» В. Кемпбель говорит, что основную задачу курса он видит в «приучении детей к наблюдению простых геометрических форм и соотношении между предметами, которые ежедневно попадаются им на глаза, в обучении их употреблению простых инструментов для геометрических построений и ознакомлении их с разнообразными способами определения длины, площади и объема предметов». Охарактеризовав наиболее значимые пропедевтические курсы геометрии, А.Р.Кулишер высказал свою позицию по обсуждаемому вопросу. Он предложил критерии, которым должен удовлетворять курс геометрии, чтобы его по праву можно было считать подготовительным курсом геометрии: 1. Пропедевтический курс геометрии должен удовлетворять всем строгим требованиям общей, дидактики, принимающей во внимание особенности того или иного возраста, и в силу этого основанной но разумной( не утрированной) самодеятельности учащихся. 2. Материал, изучаемый здесь, не должен быть очень велик. Все рассмотренное должно стать прочным достоянием учащихся и перейти при посредстве планомерной классной (отчасти домашней у ребенка работы) в область твердых навыков. 71
3. Слово должно сопутствовать всему тому, что выполняет мысль и рука учащегося. 4. Материал должен быть связан с теми пространственными представлениями, которые ребенок вынес или может вынести из повседневного опыта, а также с некоторыми сторонами строительного и инженерного искусства и творений природы. 5. Изучаемые объекты должны быть связаны известной зависимостью; возникновение новых образов из старых весьма важно. Образы трех измерений должно целесообразно сочетать с изображением фигур на плоскости. 6. На материал должны влиять, в известной мере, приемы мышления новых геометров (текучесть геометрических образов). 7. В нем должны всплывать рассуждения и обобщения (особенно в заключении) доказательного характера. 8. Переход от начального курса к следующей части занятий геометрией должен быть тщательно продуман. Приведенные доклады вызвали очень большой интерес и отклик у слушателей и вызвали широкие прения. Эти обсуждения нашли отражения в резолюции первого съезда, где было сказано о необходимости введения пропедевтического курса наглядной геометрии, который должен соднйствовать более целесообразному изучению систематического курса геометрии, помогать правильному развитию мышления учеников и выработки «пространственной грамотности». Всероссийские съезды преподавателей математики сыграли исключительно важную роль в решении рассматриваемой проблемы. К сожалению, не все стало возможным осуществить, так как вскоре началась первая мировая война, потом революция, тяжелые годы восстановления разрушенного хозяйства. Тем не менее, в первые годы советской власти переиздавались лучшие дореволюционные учебники, задачники, методические пособия и т. п., в частности, и курсы наглядной геометрии. Например, был опубликован курс 72
А.М. Астряба. В предисловии автор говорит о том, что наиболее сложным и трудным является развитие у детей геометрических представлений и изучение пространственных фигур, поэтому курс начинается с изготовления простейших тел – куба, прямоугольного параллелепипеда, цилиндра, пирамиды, конуса. Затем рассматриваются свойства каждой представленной фигуры. Этому посвящена вся первая часть книги. Во второй части изучаются плоские фигуры – прямая, угол, окружность и круг, треугольник, прямоугольник и квадрат. В заключительную, третью часть, включены вопросы измерения геометрических величин – вычисление площадей и объемов. В основу разработки данного курса автором были положены следующие соображения: 1) Первой стадией познания геометрических форм является непосредственное восприятие их, поэтому необходимо чтобы в нем принимали участие не только глаза, дети должны лепить и рисовать, измерять и клеить, накладывать и разрезать; 2) Второй стадией психологического процесса познания геометрической формы является возникновение в детском сознании геометрических образов; 3) Внимание и интерес у детей могут поддерживаться только в случае, когда курс будет согласован с особенностями детской природы – деятельной и творческой. К данному курсу автором был написан специальный задачник. Идеи о преподавании фузионистского курса наглядной геометрии А.М. Астряб развил и изложил в своей «Методике преподавания наглядной геометрии» (которая вошла отдельной главой в известный учебник Н.М. Бескина). В ней А..М. Астрябом были определены цели и особенности преподавания курса наглядной геометрии, который должен быть: а) конкретным, «созерцательным»; 73
б) активным, т.е. ученики должны не только внешне смотреть на геометрическую фигуру, но уметь ее нарисовать, склеить из развертки (если это возможно), уметь сознательно анализировать ее свойства; в) небольшим по объему, но строго последовательным и содержательным, т.е. не дано увлекаться стремлением дать ученикам как можно больше сведений из геометрии в этом начальном курсе, это приведет к накоплению учениками легко забываемых, не связанных логически между собой фактов; г) практическим, в том смысле, чтобы вооружить учащихся практическими знаниями геометрии, например, дать им представления о различных углах и способах их измерения, вычисления площадей и объемов, нахождении расстояний, в том числе до недоступных предметов и т.п.; д) развивающим логическое мышление учащихся. В курсе наглядной геометрии нельзя ограничиваться только интуитивным восприятием, ученики должны не только созерцать, но и мыслить; е) развивающим пространственные представления учащихся. В 20-е годы у нас в стране очень увлеклись идеей «комплексов». Например, в математике, наряду с традиционными курсами, в комплексах стали изучаться элементы высшей математики – аналитической геометрии, начал математического анализа, начертательной геометрии, теории вероятностей. Эти идеи были признаны ошибочными. В 1934 году было принято о создании трех ступеней школы: начальной, неполной средней и средней. Школа стала единой, все учащиеся должны были получить одинаковый объем знаний, что выразилось в создании единых программ и учебников. С одной стороны, это сыграло свою положительную роль, так как привело к созданию стабильных учебников, в частности по геометрии учебники А.П. Киселева и задачника Н.А. Рыбкина. Однако было отброшено и много полезного, например, элементы высшей математики и фузионистский курс геометрии. В итоге передовой дореволюционный опыт долгое время не использовался, только сейчас начинается возрождение таких курсов наглядной геометрии. А 74
связующим звеном между прошлым и настоящим являются две замечательные работы авторов П.А. Касарева и А.М. Пышкало. Автор первой названной работы считал, что в отличие от «геометрического материала» в младших классах «наглядная геометрия» (которую он также называл интуитивной) не должна быть придатком к арифметике, вырождаясь в изучение мер длины, площади и объема. Им был разработан «наглядный метод» изучения геометрии в младших классах, в основу которого были положены «живое» созерцание, конструирование, моделирование, построения и измерения. Книга содержит оригинальные упражнения, например, с нитью, листом бумаги, палочками и т.п. А.М. Пышкало была разработана и представлена система изучения геометрии в 1-4 классах, причем он полагал, что процесс геометрического развития должен быть: а) непрерывным (не допускать пропусков – периодов бездействия); б) равномерным (не допускать перегрузки на каких-то этапах); в) разнообразным (касаться многих сторон в изучении пространственных отношений). Разнообразие, по мнению автора, нужно понимать в смысле одновременного ознакомления учащихся с двумерной и трехмерной геометрией. К сожалению, эти работы по созданию самостоятельного пропедевтического курса геометрии младших классов не нашли должного понимания. В настоящее время в период новой реформы школьного образования возрождается интерес к курсу наглядной геометрии. Ярким примером является курс геометрии Ходот Т.Г. Который способствует подготовке учащихся 5-6 классов к успешному усвоению систематического курса геометрии средней школы, где формирует целостное представление курса на конструктивном уровне, производит ознакомление со всеми геометрическими фигурами, встречающимися в 75
школьном курсе. Посредству практических действий развивает навыки изображения фигур. Ведёт ознакомление с взаимным расположением фигур на плоскости и в пространстве, где на наглядном уровне обсуждаются вопросы, связанные с расстоянием, параллельностью, координатами. Отдельно рассматриваются движения и элементы симметрии фигур, знания которых затем применяются к конструированию. В результате поделанной работы делает ударение на важность развития математической речи. 2.2.
Методические рекомендации к взаимосвязанному обучению

планиметрии и стереометрии в 7-9класах.

2.2.1. Пространственные фигуры и модели при изучении

планиметрического материала
Перейдем теперь к вопросам пропедевтики изучения курса стереометрии на уроках математики в основной школе. Выше мы пришли к выводу о том, что графическая подготовка школьников не должна прерываться или замедляться при изучении курсов планиметрии и алгебры основной школы. Для этого – если говорить о геометрии – важной познавательной задачей курса планиметрии должно стать изучение свойств плоских графических изображений пространственных фигур, их связей с реальными объектами окружающего нас мира. Использование чертежа как средства графической иллюстрации должно быть дополнено его специальным изучением учащимися. В содержательном плане это и определяет педагогически целесообразные установления взаимосвязей в изучении планиметрического и стереометрического материала, пропедевтику стереометрии на уроках геометрии 7-9 классах. Существенным здесь представляется лишь одно возможное возражение. Указанное изучение свойств плоских изображений пространственных фигур 76
возможно лишь на эмпирическом уровне. Соответствующее известным формально-логическим канонам строгости доказательства этих свойств может быть дано от части при изучении стереометрии, а в полном объеме только в курсе начертательной геометрии (изучаемой на факультативных занятиях или даже в высших учебных заведениях). Однако эмпирический уровень здесь не может служить помехой. Он фактически уже имеет место на первых ступенях обучения – при плоском изображении пространственных фигур, характерном не только для 5-6, но и для начальных классов. Осторожно осуществляемая учителем на этом этапе обучения математике, пусть в начале не строгое, эмпирическое осознание и установление этих свойств, очевидно, вполне оправдано ранним переходом к активной структуре учебного процесса, к более высокому уровню его воспитывающих, развивающих, обучающих воздействий. Создав необходимую почву в 5-6 классах, было бы неразумно отказываться от педагогических преимуществ эмпирического подхода и в 7-9- х классах. Надо учесть к тому же, что в соответствии с выше изложенной пропедевтикой стереометрии в основной школе – один из наиболее реальных путей улучшения обучения геометрии и графической подготовки школьников. Разумное привлечение пространственных фигур, начиная с изучения первой же темы систематического курса геометрии основной школы («Основные понятия геометрии»), оправдано интересами непосредственного отражения свойств реального мира изучаемых геометрических объектах. Их использование не только не затемняет планиметрической линии курса, но, наоборот, помогает учащимся осознать ее познавательную самостоятельность. Конечно, этот вывод нуждается в реализации, прежде всего в учебнике геометрии 7-9 классов. Однако думается, что опытный учитель, добивающийся высокого качества обучения математики, уже сейчас может позволить себе – в интересах обучения математики! - выход за пределы учебника. Для этого внимание учащихся обращается на то, что все графические изображения, имеющиеся в книгах, на картах, схемах и т.п., появляющиеся на 77
доске и в тетрадях, плоские. Поэтому изучение свойств изучения плоских фигур в курсе так называемой планиметрии имеет особо важное теоретическое и практическое значение. Дополнительно к этому разъяснению учитель напоминает, что плоскими графическими изображениями мы вынуждены представлять и пространственные предметы: учащиеся знакомы из курса математики 5-6-х классов с плоскими изображениями куба, параллелепипеда и др. Обращая внимание на деревянный куб, его каркасную модель и чертеж куба, учащиеся самостоятельно делают заключение, какие свойства пространственной фигуры чертеж передает точно и какие в измененном виде. Уместно здесь учителю указать на то, что в этом отношении пространственная модель «удобнее» чертежа. «Поэтому, - предупреждает учитель, - на уроках геометрии в 7-м классе мы очень часто будем пользоваться такими моделями». На этом же первом уроке геометрии в 7-м классе целесообразно показать учащимся модели всех пространственных фигур, которые будут изучаться в курсе математики (куб, параллелепипед, призма, пирамида, усеченная пирамида, шар, цилиндр, конус, усеченный конус). Называя эти модели, предварительно полезно убедиться, какие термины уже известны учащимся. Наблюдая модели, учащиеся при помощи учителя выделяют в них плоскостные элементы. Учитель также сообщает о том, что плоскими фигурами являются сечения пространственных фигур плоскостью. Удобны для наблюдения за формой сечений стеклянные стереометрические модели, внутрь которых наливается вода. Простейшей «моделью» такого рода, которая всегда под руками, может служить стакан цилиндрической формы. Сечение шара можно показать наглядно, разрезав яблоко ножом. Любопытно убедиться, что любое сечение шара имеет форму круга. Налив в стакан, цилиндрической формы воду и постепенно наклоняя его, наблюдаем вначале круговое сечение, а затем сечение, имеющее эллиптическую форму. Учитель обращает внимание учащихся, что именно эту фигуру – эллипс – мы чертим, изображая на плоскости чертежа основание цилиндра или конуса. 78
Дело в том, что если круг наблюдать под разными углами зрения (показывает), то он меняет свою форму от «круглой» до «приплюснутой». Со способом построения эллипса можно познакомить учащихся решая с ними задачу: «На координатной плоскости задана окружность. Каждой точке Р (х;у) окружности поставлена в соответствие точка Р / (х;0,5у). Постройте образ данной окружности при этом отображении». Изучение свойств моделей легко сделать предметом коллективного исследования, стеклянная модель с водой, скажем конуса, дается в руки ученика, вызванного к доске. Ему и всем ученикам предлагается ответить на вопрос, можно ли здесь получить в сечении не только кривые линии, но и ломанные. Стереометрические модели могут быть сделаны предметом разнообразных самостоятельных работ учащихся, начиная с первых же уроков геометрии в 7- м классе. Предположим, изучается тема «Основные свойства расстояний». После рассмотрения трех основных свойств расстояний от одной точки до другой учитель предлагает взять данные точки в вершинах модели куба и проиллюстрировать на этом частном случае содержание этих свойств: 1) расстояние от одной вершины куба до другой больше нуля (точки различны); 2) расстояние от вершины А до вершины В равно расстоянию от В до А, то есть длину ребра можно измерять в любом направлении от А к В или от В к А; 3) для вершин А, В, С расстояние |АС|, то есть длина диагонали грани АВС D, не больше суммы расстояний |АВ| и |ВС|, то есть не больше суммы длин ребер АВ и ВС. Аксиома «через любые две точки проходит одна и только одна прямая» означает, что через две вершины куба проходит одно и только одно ребро (диагональ). «Запомните поэтому, - говорит учитель, - что при построении чертежа куба (а также пирамиды, призмы и др.) важно определить положения вершин; ребра можно построить потом. В частности, легко скопировать 79
чертеж, наложив лист с чертежом на листок тетради и отметив положение вершин при помощи иголки». Теорема «Две прямые имеют не более одной общей точки» также может быть проиллюстрирована на модели любого многогранника. При этом надо учесть, что на модели заданы лишь отрезки прямых, положение которых мы можем представить себе мысленно (а на чертеже можно провести эти прямые по линейке). Так на модели куба представлены прямые, имеющие одну общую точку (например, АВ и ВС), а также прямые, не имеющие общей точки (например, АВ и С D). Из курса 6 класса ученики знают, что такие прямые называются параллельными. Изучив свойство плоскости о том, что прямая, проходящая через любые две точки плоскости, содержится в этой плоскости, ученики проверяют линейкой (одна из её сторон служит моделью прямой), какие грани перечисленных выше фигур являются плоскими, а какие нет. Познакомившись с понятиями плоской и пространственной фигур, намечаем мелом на моделях геометрических тел различные фигуры (на кубе, цилиндре, шаре и др.). Учащиеся определяют, какие из них плоские, какие пространственные. Рассматриваются также различные ломаные линии. Учащиеся определяют, какие из них плоские, а какие пространственные фигуры. При изучении в 8 классе разделы «Четырехугольники» демонстрируются объемные наглядные пособия, на которых ученики наблюдают изучаемые фигуры (параллелограмм, ромб и др.). После проведения наблюдений и измерений формируется «на языке планиметрии», чем куб отличается от прямоугольного параллелепипеда, а этот последний – от прямого и наклонного параллелепипеда и т.п. Понятие «трапеция» можно иллюстрировать на модели усеченной пирамиды, а также на модели пирамиды, рассматривая трапециевидные её сечения. Вопрос о том, как доказать, что какое-то сечение пирамиды (или 80
грань усеченной пирамиды) имеет форму трапеции, приводит учеников к осознанию необходимости установить признак трапеции. Модель пирамиды с сечением, параллельным ее основанию, - прекрасное наглядное пособие для изучения пропорциональных отрезков и подобных многоугольников. Тригонометрические функции острого угла, метрические соотношения в треугольнике, изучаемые в 9-м классе, можно рассматривать не только для прямоугольных треугольников начерченных на доске, но и являющихся гранями или сечениями трехмерных фигур. Вообще не следует забывать, что стереометрические модели являются незаменимым средством рациональной организации многих практических работ по курсу геометрии основной школы (особенно при формировании умений и навыков измерения отрезков, углов, площадей). Учителю следует создать большой фонд таких моделей для организации коллективной и индивидуальной работы учащихся. Любому ученику под силу изготовление таких самоделок. Поэтому нельзя согласиться с учителями, которые наказывают учащихся эти модели лишь при изучении завершающего стереометрического раздела курса геометрии основной школы. Стереометрические модели представляют собой эффективное средство наглядного обучения. Поэтому вполне естественно использовать их не эпизодически, а всякий раз, когда с их помощью возможно иллюстрировать изучаемое планиметрическое понятие. Понятие «многоугольник» хорошо иллюстрируется на многогранниках. Например, рассматривая пирамиды различных видов, ученики делают вывод, что их основанием может быть: треугольник, четырехугольник, пятиугольник и т.д. (Учитель попутно сообщает, что многоугольник, лежащий в основании, определяет и название этих пирамид: соответственно получаем треугольную, четырехугольную, пятиугольную и т. п. пирамиды). Зато боковые грани пирамид всегда имеют форму треугольников. 81
Познакомившись с понятием угла, рассматриваем различные углы на пространственных моделях, подсчитываем, сколько углов сходится в их вершинах, распознаем на моделях тупые, прямые и острые углы. Указанное использование стереометрических моделей помогает учителю формировать динамичные представления учащихся об изучаемых планиметрических понятиях, поскольку соответствующие графические образы (плоские фигуры) изучаются в самых различных положениях в трехмерном пространстве. Распознавание плоских элементов стереометрических моделей, определение их формы и размеров одновременно определяет и многие свойства пространственных фигур (пусть эмпирическим путем). Вторая задача ближе первой к непосредственной практике, учащиеся решают ее с повышенным интересом. Поэтому повышается попутно и эффективность решения 1-й (и основной для планиметрии) задачи. Т.о., весьма полезной оказывается следующая рекомендация: делать свойства пространственных фигур предметом специального изучения учащимися в тех случаях, когда все частные задачи этого изучения решаются с помощью полученных ими на уроках планиметрии знаний, умений, навыков. Вот один из возможных примеров такой учебно-познавательной работы для семиклассников. (При желании легко составить «укороченные» варианты этой работы). Классу показывается две группы самых различных моделей пирамид. «В этой группе так называемые правильные, в другой – неправильные пирамиды, - говорит учитель. – рассмотрите свойства этих фигур, если нужно, проведите необходимые измерения и попробуйте найти, какими геометрическими свойствами правильные пирамиды отличаются от неправильных». Перед проведением индивидуальных измерений (каждый получает свою модель) полезно коллективно обсудить несколько общих вопросов, которые ставит учитель: 82
- Может ли быть таким свойством число сторон или углов многоугольника, лежащего в основании пирамиды? (Нет, поскольку и в той и в другой группе есть одноименные пирамиды – треугольные, четырехугольные и т. п.) - Могут ли повлиять на это размеры (габариты) моделей пирамид? (Нет, т. к. среди правильных пирамид есть маленькие и большие модели). - А форма боковых граней? (Нет, у любой пирамиды боковые грани – треугольники). - Вот эти свойства одинаковы как для правильных, так и для неправильных пирамид, - резюмирует учитель. – Но, очевидно, есть между ними существенные различия. Что, на пример, бросается в глаза, когда смотришь на группу правильных пирамид? («Ровненькие»). На группу неправильных пирамид? («Кособокие»; «перекошенные», «вершина пирамиды то в одном месте, то в другом»). Давайте разделимся на две группы (например, левые и правые ряды): одна будет измерять стороны и углы граней различных правильных пирамид, другая – неправильных пирамид. Внутри каждой группы выделим две подгруппы: одна из них пусть изучает основания, другая – боковые грани пирамид. Результаты измерений учащиеся записывают в своих тетрадях. Опрашивая каждую из подгрупп, учитель формулирует с их помощью следующие общие выводы: 1) у правильной пирамиды: боковые ребра равны по длине, конгруэнтны углы граней при вершине, т.е. грани, являются конгруэнтными равнобедренными треугольниками; 2) у неправильной пирамиды: боковые ребра могут быть неравными по длине; углы граней соответственно могут быть не конгруэнтными; 3) у правильной пирамиды в основании лежит многоугольник с конгруэнтными сторонами и углами (правильный многоугольник); 83
4) у неправильной пирамиды в основании лежит произвольный многоугольник (он может иметь как конгруэнтные, так и не конгруэнтные стороны и углы). - Итак, - резюмирует учитель, – у правильных пирамид: 1) боковые грани – конгруэнтные (равные) треугольники; 2) в основании лежит многоугольник с конгруэнтными сторонами и углами. У неправильных пирамид хотя бы одно из этих условий не выполняется (могут не выполняться и оба условия). Хотя вы и упирались на результаты измерений (а они всегда приближены и исследовали далеко не все возможные пирамиды), догадки вы высказали правильные. Пирамиды вы будете изучать еще не скоро, но, забегая вперед, могу сказать, что правильной пирамидой действительно называется такая пирамида, у которой: 1) в основании лежит правильный многоугольник; 2) вершина пирамиды проектируется в центр этого многоугольника. (Несложно доказать, что эти условия равносильны полученному вами условию: в гранях правильной пирамиды лежат равные равнобедренные треугольники). Эта задача хотя и стереометрическая, но ее решение сводится к рассмотрению ряда плоских фигур: вначале треугольников, составленных высотой и боковыми ребрами пирамиды, затем треугольников, лежащих в боковых гранях». Важно заметить, что описанная работа целесообразна в профилактических целях предупреждения ошибок, допускаемых некоторыми старшеклассниками, которые, к примеру, чертят изображение правильной пирамиды (или пирамиды, у которой вершина проектируется на основание), когда в задаче говорится о произвольной пирамиде. Истоки этой парадоксальной – на уровне логического развития ученика 10 или 11 класса ошибки – и в несовершенной структуре системы упражнений (все задачи на правильную пирамиду решаются подряд на нескольких уроках), и в неполных наборах стереометрических тел в кабинетах математики (часто отсутствуют модели неправильных пирамид, вершины которых проектируются не на основание), а также в определенной недоработке на уроках геометрии в 7-9-х 84
классах, в недостаточной графической подготовке школьников (на что влияет изолированное изучение планиметрических и стереометрических вопросов курса). Для «выхода в пространство» при изучении планиметрического материала возможен и обратный ход мысли: создание пространственной ситуации после рассмотрения планиметрической задачи. Например, после решения задачи. В треугольнике ADC D С    (рис.1),      90 ABC ABD . Что можно доказать? – выясняется, что конгруэнтность сторон AC и AD, а также отрезков CB и BD можно доказать и в случае, если АВС и ABD лежат в разных плоскостях (треугольник ACD сгибаем по линии АВ). – И наоборот, вращая некоторые грани пространственные модели можно превратить пространственную задачу в плоскую. (рис.2), изображающий два треугольника ABC и ACD причем |АВ| = 7 см, АС  ВС, , , 30 CAD ADC ACD АВС         мог быть получен из двух граней пирамиды ABCD путем вращения боковой грани АВС вокруг ребра АС. Другие две грани, не участвующие в задаче, можно на чертеже не показывать. Рис.2 В заключение еще об одной возможности. Во многих школах занятия по изготовлению стереометрических моделей ведутся в основном со старшеклассниками (если не считать нескольких моделей, которые склеят ученики 5-6 классов). Так как в старших классах эти модели нужны главным образом как объемные «чертежи» к задачам, то их изготовление почти не связано с интеллектуальными усилиями и представляет своего рода трудовой практикум. 85 B A D С Рис.1
Другое дело, изготовление моделей силами учащихся 7-9 классов. Для них построение разверток моделей представляет собой применение знаний и умений решать задачи на построение (плоскости), что несомненно будет содействовать формированию и закреплению этого умения. Решение задач на моделирование, в которых ставится цель сконструировать стереометрическую модель (но не произвольной формы и размеров, а имеющую некоторые наперед заданные характеристики), нетолько активизирует мыслительную деятельность школьников, но и раскрывает перед ними математическую сущность их практической деятельности. В жизне при решении практической задачи связанной с изготовлением какого-то предмета определенной формы, приходится самому определять целесообразные размеры, самому чертить чертеж с учетом тех ограничений, которые накладывают на этот предмет условия его использования и т.д. Скажем, приходится изготавливать не какой-то произвольный цилиндр, а цилиндр, имеющий определенную емкость. Рассмотрим примеры из школьной практике. Предположим, восьмиклассникам поручается изготовить демонстрационную модель треугольной пирамиды (тетраэдр). Её размеры должны обеспечить хорошую видимость модели с любой точки класса, когда она находится в руках учителя; но пусть они ограничены также, к примеру, высотой полки шкафа, где хранятся наглядные пособия. Возникает задача: построить модель стеклянного тетраэдра высота составляет 26см, в которой математическая фаза работы, предшествующая изготовлению развертки, выходит на первый план. Учащиеся сами найдут ограничения для размеров основания (с учетом ширины полки). Изготовление разверток целесообразно начать с перехода к ним от готовы моделей (например, разрезая бумажную модель и показывая её в «плоском виде»). На первых порах можно готовить развертки для изготовления произвольных пирамид, призм и др. тел. Постепенно накладываются ограничения: изготовить правильную пирамиду; изготовить параллелепипед, у которого в основании лежит квадрат со стороной 2 дм и т.д. Построение 86
разверток начинает превращаться в своеобразные задачи на построение. Разница в том, что то или иное требование к построению разверток не навязано учебником, а диктуется практическими потребностями обучения. Например, для проведения эксперимента по сравнению объемом пирамиды и призмы в 10-м классе (то есть для опытного подтверждения формул их объемов), необходимо изготовить много различных треугольных пирамид и призм с одинаковыми высотами и равновеликими основаниями. Любопытно, что некоторая неопределенность данного задания (задача имеет множество решений) вынуждает рассмотреть ряд содержательных математических вопросов в самой общей форме: каковы условия равновеликости треугольников; как построить развертку пирамиды, если даны её основания, высота и указана точка, являющаяся основанием высоты. Содержателен в математическом отношении и сам опыт сравнения объемов полученных пирамид: он говорит о том, что объем пирамиды, наверное, зависит только от высоты и площади основания. Сравнение объема пирамиды с объемом соответствующей призмы двигает мысль школьников к следующей догадке, которая может стать исходным пунктом в осознании идеи дедуктивного доказательства. Результаты эксперимента помогут повысить активность учащихся при изучении этого вопроса в курсе стереометрии. Изготовление стереометрических моделей дает возможность поставить перед учащимися вопросы рационального раскроя материала при построении разверток. Например, ученикам показываются возможные развертки прямоугольного параллелепипеда с ребрами 1 см, 1 см и 3 см. Предлагается посчитать площадь прямоугольных кусков бумаги, из которых делаются выкройки, и сравнить их. Здесь мы неприводим других задач на построение разверток, так как они легко могут быть составлены самим учителем. Следует только иметь в виду, что такое построение должно быть связано с изучаемой темой курса, с текущим решением планиметрических задач на построение. Для установления такой связи полезны рекомендации: 1) применять усвоенные способы для 87
проведения построения на самих гранях пространственных тел (к примеру, дается задание провести высоты боковых граней пирамиды); 2) трактовать некоторые задачи на построение (типа: построить треугольник, ромб по определенным данным) как задания на построение соответствующих граней изготавливаемых стереометрических моделей.
2.2.2. Изучение особенностей чертежей пространственных фигур на

уроках планиметрии
Выше была описана подготовительная работа с семиклассниками, в процессе которой достигается осознание ими познавательных потребностей геометрического изучения особенностей чертежей пространственных фигур. Так, при введении понятия отображения до изучения текста учебника рассматривается отображение пространственной фигуры на плоскую фигуру (получение «тени»). Рассказывается о различных способах проектирования. В том числе о способе параллельного проектирования, с помощью которого в математике в основном и получаются на плоскости чертежи всех пространственных фигур. Выясняется, что плоский чертеж-обрз не может без изменений передать все особенности оригинала (т.е. его форму и размеры). Для того чтобы начать изучать особенности чертежей пространственных фигур, учащиеся должны хорошо осознать, что существенными геометрическими характеристиками самих этих фигур являются: взаимное расположение вершин, ребер, граней; значения длин ребер и величин углов граней (в каких-либо условных единицах); форма граней и т.п. Поэтому не следует торопиться с проведением следующей беседы, вплоть до первых уроков в 8-м классе. Изучение планиметрических понятий и зависимостей на стереометрических моделях в 7-м, а за тем в 8-м классах приводит к тому, что учащиеся без всякой перегрузки хорошо усваивают и многие важнейшие геометрические характеристики этих моделей (и соответствующих пространственных фигур). 88
Например, наблюдая с учащимися стереометрические модели при изучении темы «Измерение углов» в 7-м классе, еще раз подтверждаем известное предложение о том, что углы граней куба и прямоугольного параллелепипеда прямые; прямыми являются также все углы их диагональных сечений. Отсюда следовало заключение о взаимной перпендикулярности ребер сходящихся в одной вершине, а также ребер и диагоналей, сходящихся в одной вершине. На предыдущих уроках выяснялось, что все ребра куба и соответствующие четверки ребер прямоугольного параллелепипеда служат иллюстрацией понятия «равные отрезки». Еще раньше при изучении темы «Многоугольник» убеждались в том, что любая грань куба – квадрат, диагональное сечение - прямоугольник, что грани и диагональные сечения прямоугольного параллелепипеда также прямоугольники. Отсюда ясно, какие пары ребер являются параллельными отрезками. Следующую специальную беседу об изучении чертежей пространственных фигур надо проводить на первом же уроке геометрии в 8-м классе (в связи с началом изучения учащимися черчения). Учитель, рассматривая конкретный пример получения чертежа, убеждает учащихся в том, что его особенности зависят не только от способа проектирования, но и от взаимного расположения данной фигуры, плоскости проектирования и проектирующих лучей. В математике мы предпочитаем такое их расположение, чтобы, например, для куба передняя и задняя его грани изображались бы без изменений (учащиеся наблюдают чертеж куба), а любая другая грань (также являющаяся квадратом) изображалась бы в виде параллелограмма с углами 45º и 135º с уменьшением длин одной пары сторон ровно в два раза. (Получили чертеж, который в черчении назовут фронтальной диметрической проекцией.) Учитель обращает внимание учащихся, что изменения формы и размеров соответствующих граней куба (прямоугольного параллелепипеда) на чертеже непроизвольны и не меняются от случая к случаю. Даже при искажении формы граней сохраняются некоторые важные их геометрические свойства: прямая линия имеет своим образом также прямую линию; параллельные 89
отрезки данной фигуры изображаются на чертеже также параллельными отрезками; наконец, отношение длин проекции двух параллельных отрезков сохраняется равным отношению дин проектируемых отрезков. Учитель говорит, что эти свойства можно наблюдать на любых конкретных примерах, они являются логическим следствием способа параллельного проектирования, но в общем виде они будут изучаться позднее лишь в 10-м классе на уроках стереометрии. Можно сообщить также , что если мы будем рассматривать способ параллельного проектирования на плоскости, отображая одну прямую на другую, то отношение длин любых отрезков первой прямой будет равно отношению длин проекций этих отрезков на другой прямой. Эта планиметрическая зависимость, соответствующая третьему общему свойству параллельного проектирования, будет доказана уже в курсе геометрии 8-го класса в виде так называемой теоремы Фалеса. Описанную выше беседу удобно провести именно на первом же уроке геометрии в 8-м классе, который учителя обычно посвящают повторению курса 7-го класса. С повторением пройденного тено связано и содержание следующих бесед и практических заданий, посвященных изучению чертежей пространственных фигур. Следовательно, эту работу также целесообразно провести с 8-ми классниками в начале учебного года на последующих уроках геометрии. Одна из таких бесед может быть начата с наблюдения чертежа пирамиды и установления того факта, что этот чертеж зачастую совпадает с чертежом плоского четырехугольника с проведенными в нем диагоналями. Лишь в том случае, когда одно из боковых ребер пирамиды заслонено от глаза наблюдателя её передней гранью, мы по штриховому изображению невидимых линий можем догадаться о том, что это чертеж пространственной фигуры. - Итак, чертеж может «обмануть» не только в отношении формы и размеров реального предмета, но и в отношении того, пересекаются ли в действительности данные отрезки, лежат ли рассматриваемые точки, отрезки 90
на данной плоскости или нет, - предупреждает учитель. (В процессе коллективного наблюдении модели и её чертежа учащиеся убеждаются, что это действительно так.) Изучение чертежей учащимися будет эффективным, если учитель сможет организовать самостоятельную работу каждого из них по сопоставлению свойств пространственной фигуры и особенностей её чертежа. Для этой цели оказываются удобными дидактические печатные материалы с заданными чертежами, вопросами к ним и наборами возможных ответов (требуется указать лишь номера верных ответов). Такая форма обеспечивает интенсивную самостоятельную работу учащихся на уроках и быстрое коллективное обсуждение правильности полученных ответов. Приведем несколько таких текстов: 91
92
В основу построения системы последовательного изучения учащимися чертежей различных пространственных фигур в курсе геометрии 7-9 классов может быть положено уже знакомая рекомендация о систематическом использовании стереометрических моделей этих фигур, то есть всякий раз, когда с их помощью можно использовать изучаемые планиметрические понятия и зависимости. В этих случаях оправданным для учащихся является 93
рассмотрение наряду с пространственными моделями и их чертежей на плоскости. Например, специальное изучение особенностей чертежей куба и прямоугольного параллелепипеда целесообразно совместить с изучением раздела «Параллельные прямые» (8-ой класс), чертежей пирамиды – с изучением раздела «Треугольники» (8-ой класс). Чертежи прямого и наклонного параллелепипеда рассматриваются при изучении тем «Параллелограмм», «Прямоугольник» (8-ой класс); чертежи усеченной пирамиды – при изучении темы «Трапеция» и раздела «Подобные многоугольники» (8-ой класс); чертежи правильной призмы – при изучении темы «Правильные многоугольники» и раздела «Длина окружности и площадь круга» (9-й класс); чертежи шара, цилиндра, конуса, усеченного конуса – при изучении раздела «Длина окружности и площадь круга». В 7-м классе эта работа может не проводится. Исключение могут составить лишь чертежи круглых тел, поскольку при изучении темы «Отображение фигур» (7-ой класс) можно познакомить учащихся с тем фактом, что при параллельном проектировании окружность отображается в эллипс. При решении задач учащиеся знакомятся с практическим приемом построения эллипсов. Поэтому при изучении заключительных разделов курса 7-го класса «Симметрия фигур» и «Окружность» можно показать учащимся чертежи круглых тел и установить их особенности. Так, для чертежа (прямого) цилиндра учащиеся устанавливают: 1) основания его изображаются в форме эллипсов; 2) одно из сечений, проходящих через диаметры верхнего и нижнего оснований, передается без искажений; 3) другие такие же сечения, являющиеся прямоугольниками, изображаются на чертеже параллелограммами; одна пара сторон этих сечений (образующие цилиндра) не меняет своих размеров на чертеже; равные друг другу радиусы и диаметры оснований изображаются отрезками различной длины; 4) также, в зависимости от положения, по-разному изображаются прямые углы, сторонами которых являются диаметры и образующие цилиндра и т.п. Для 94
получения такого рода обобщающих выводов учителю полезно составить для каждого случая специальные наборы познавательных вопросах об особенностях тех или иных чертежей. При изучении завершающего стереометрического раздела курса геометрии 9 класса все эти особенности полезно повторить, зафиксировав наиболее важные выводы на демонстрационных таблицах и стендах кабинета математики. Не касаясь методики изучения этого раздела, мы ограничимся лишь рекомендацией строить рассмотрение всех трех первых его тем «Расположение плоскостей в пространстве», «Параллельные прямые в пространстве», «Перпендикулярность прямой и плоскости» на моделях всех известных учащимся пространственных фигур (на моделях многогранников в особенности). Это не исключает использования отдельных традиционных чертежей, изображающих взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Однако педагогические преимущества остаются на стороне использования стереометрических моделей (как разнообразнейшего материала для практических наблюдений и иллюстрирования изучаемых свойств) и уже знакомых ученикам чертежей этих моделей на плоскости.
2.2.3. Применение аналогии при решении планиметрических и

стереометрических задач.
На внеклассных занятия со старшеклассниками и занятиях по методике всячески практикуют «выходы в пространство», использующие аналогию геометрических понятий. Школьники получают большое удовольствие, обнаруживая невидимые ранее связи. Причем не ограничиваются обсуждением доказательств теорем, но часто разбираются подобные теоремы, переформулируя их как задачи на построение. В действующем школьном курсе геометрии абсолютное большинство стереометрических фактов излагается без установления внутри предметных 95
связей с аналогичными планиметрическими фактами. Примером тому может служить изолированное изложение таких тем, как «Треугольник и его свойства» и «Тетраэдр и его свойства»; «Окружность, круг и их свойства» и «Сфера, шар и их свойства» и т.д. Все это есть следствие линейного построения курса геометрии. Целесообразно же на основе линейно – концентрической организации курса увязать эти плоскостные и пространственные темы. Развернем отмеченное положение несколько шире в начале в теоретическом, а затем и в практическом аспекте. Различные формы уровней и профильной дифференциации могут быть реализованы на практике в полной мере лишь в том случае, если будут подготовлены соответствующие учебники, в том числе и по геометрии. Эти учебники должны не только быть разными по содержанию и по форме изложения, но и иметь существенно различную логико-структурную организацию. Сейчас школьные учебники геометрии ориентированы в основном на аксиоматическое и силлогистическое изложение. Чрезмерное же акцентирование в обучении дедуктивного характера математики создает серьезную опасность для математического образования. В обучении математике в целом, равно как и в обучении геометрии, необходимо сочетание логики и интуиции, дедукции и индукции, конкретизации и обобщения, анализа и синтеза. Целесообразно трансформация линейного построения содержания школьного курса геометрии в линейно-концентрическое, что даст возможность проводить глубокие сравнения, широкое обобщение, выдвигать гипотезы и предложения, переносить знания, умения и навыки в новую ситуацию, переосмысливать с новых, более общих позиций уже изученный ранее материал. Большую роль при этом будут играть аналогии, интуитивные рассуждения, позволяющие приобщить учащихся к исследовательской деятельности. Курс школьной геометрии должен быть таким, чтобы он прежде всего побуждал учащихся к постановке вопросов, выдвижению гипотез, создавал бы 96
условия для эффективных поисков. Реализация идей уровневой и профильной дифференциации предполагает одновременное существование как учебников геометрии, построенных на глобальной аксиоматической организации теории, так и учебников, построенных на идеях локальной аксиоматизации и локальной дедукции. Здесь на лицо создание таких учебников геометрии, в котором бы разумнее дозировались логический и интуитивный компоненты; школьный курс геометрии есть «химическое соединение интуиции и логики». Глобальная аксиоматизация должна завершать, а не начинать длительный процесс развития теории; локальная индукция позволяет сделать главным в обучении геометрии не развитие теории из готовой аксиоматики, а процесс создания аксиоматики. Такой подход в большей степени, чем традиционный, обеспечивает взаимодействие наглядно-образного и словесно-логического мышления. На примерах покажем, что многие пространственные факты являются обобщениями плоскостных аналогов. Приведенный ниже материал может служить подспорьем в организации исследовательской работы учащихся. Пример 1. Плоскостная изопериметрическая теорема – пространственная изопериметрическая теорема. Часто можно слышать расхожую фразу: «Круг и шар – наиболее совершенные фигуры». Какой смысл вкладывается в это высказывание? Рассуждения, приведенные ниже, прольют свет на поставленный вопрос. В планиметрии известна такая теорема: «Из всех изопериметрических плоских фигур наибольшую площадь имеет круг». Другими словами эту теорему можно сформулировать иначе: «Из всех плоских фигур равного периметра наибольшую площадь имеет круг». Пусть S – площадь фигуры, L – длина периметра данной фигуры. Допустим, что данная фигура и круг с радиусом r являются изопериметрическими: L=2  r, тогда S   r 2 . Подставляя вместо r его выражения через L (r=L/2  ), преобразуем неравенство: 4  S/L 2  1. 97
Частное 4  S/L 2 зависит только от формы фигуры и не зависит от его размеров. Действительно, если мы, не изменяя формы, увеличим линейные размеры фигуры в отношении ½, то периметр станет, равен 2L, а площадь – 4S, но частное S/L 2 , как и частное 4  S/L 2 , остается неизменным. Эта закономерность справедлива при увеличении линейных размеров в любом отношении. Плоскостная изопериметрическая теорема может быть сформулирована и в таком виде: «Из всех плоских фигур равной площади наименьший периметр имеет круг». Аналогом, стереометрии этой последней формулировке теоремы будет такая теорема: «Из всех тел равного объема наименьшую поверхность имеет шар». Изопериметрическое неравенство для объемных тел будет записано в следующем виде: 36  V 2 /S 3  1, где V – объем тела, S – площадь полной поверхности тела. Заметим, что эта стереометрическая изопериметрическая теорема позволяет ответить на вопрос: «Почему заварной чайник круглой формы остывает медленнее, чем чайник такого же объема, но другой формы?» Пример 2. Рассмотрим пример аналога из [1 ]. 98
99
100
Аналогия в теоремах о прямой Эйлера, окружности и сферы. В данном пункте будет приведен пример совместного рассмотрения известных теорем Эйлера, как на плоскости, так и в пространстве а их доказательство можно прочитать, например, в книгах И.Ф. Шарыгина «Задачи по геометрии» или В.В. Прасулова «Задачи по планиметрии». Будут использованы следующие определения: ортоцентр – точка пересечения высот (если она существует). Ортоцентрический тетраэдр – тетраэдр, все высоты которого пересекаются в одной точке.(Далее все рассматриваемые тетраэдры будут только такими и термин ортоцентрический будет опущен.) Центр масс (центроид) системы точек А 1 , А 2 , …., А n – такая точка О, что ОА 1 + …+ ОА n = 0. Для большей наглядности приведем основные используемые понятия в виде таблицы 1. Для наглядной демонстрации подобной работы вновь следует обратиться к приведенным выше прямым и окружностям Эйлера. В качестве наиболее простой задачи предлагается рассмотреть равнобедренный прямоугольный треугольник и перенести полученные результаты на равнобедренный прямоугольный тетраэдр. Чтобы облегчить оформление рисунков и формулировку получаемых утверждений при обобщении обеих теорем Эйлера на пространство, рекомендуем выполнить рядом два рисунка, ввести аналогичные обозначения и постоянно сравнивать плоские и пространственные результаты. Причем, обнаружив и доказав какой- либо утверждение для плоского случая необходимо тут же стремиться отыскать его аналог для пространства. (Таблица 2.) 101
102
аблица 1. 103
Таблица 2. 104
Чтобы школьники могли лучше усвоить прием решения задач, целесообразно время от времени предлагать им задачи, при решении которых метод аналогии оказывается полезны. При этом по началу полезно предлагать учащимся не одну, а две (или более) взаимосвязанные по содержанию задачи, формулируя условие каждой из них одновременно. 105

Заключение
Проблема взаимосвязи обучения планиметрии и стереометрии в основной школе – одна из интереснейших и важных проблем современной школы. В математической, научно – популярной литературе опубликовано множество статей по решению данной проблемы, причем авторами является как «сильные» мира математики, так и просто учителя. Это дает возможность использовать данный материал в работе с учащимися. При написании творческой работы были проведены следующие исследования: 1. Рассмотрены исторические моменты проблемы взаимосвязи планиметрии и стереометрии. 2. Познакомились с проблемой с точки зрения психологии (с проблемой формирования пространственного мышления школьников, актуальностью задачи формирования пространственных представлений и пространственного воображения школьников); педагогики; методики преподавания планиметрии и стереометрии и т.д. 3. Рассмотрели некоторые пути решения проблемы взаимосвязи на основе закрепления и развития общепознавательных знаний и умений, усвоенных учащимися при изучении планиметрии, на уроках стереометрии. 4. Привели примеры практического использования результатов решения проблемы (аналогов). Экспериментальное и теоретическое изучение проблемы взаимосвязи обучения планиметрии и стереометрии в основной школе находится не на последнем месте в науке, т.к. помогает понять, как важна взаимосвязь планиметрии и стереометрии. 106

Литература
1. Абасов Р.З. Поищем аналог// Математика в школе, 2003 г., №5. 2. Атанасян Л.С. и др. Геометрия 7-9. – М.: Просвещение, 2005 г. 3. Атанасян Л.С. и др. Геометрия 10-11. - М.: Просвещение,2003 г. 4. Атанасян Л.С. и др. Изучение геометри 7-11. – М.: Просвещение, 2004 г. 5. Бескин Н.М. Методика геометрии. - М-Л.: Учпедгиз, 1947 г. 6. Глейзер Г.И. История математики в школе IX-X классы. – М.: Просвещение, 1983 г. 7. Гусев В.А. Преподавание геометрии в 6-8 классах. - М.: Просвещение, 1979 г. 8. Истомина Н.Б. Методика обучения математики в начальных классах,. - М.: Академия, 2001 г. 9. Колягин Ю.М., Тарасова О.В. Наглядная геометрия и ее роль, и место, история возникновения// Начальная школа, 2000 г., №4. 10. Кузнецова Г.М., Миндюк Н.Г. Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев – математика 5-11 классы. - М.: Дрофа, 2001 г. 11.Пойа Д. Математическое открытие. - М., 1976 г. 12. Полякова Т.С. Методика обучения геометрии в основной школе. - Ростов-на-Дону, 2000 г. 13. Прохоров Ю. В. Математический энциклопедический словарь. – М.: Современная энциклопедия, 1988 г. 14. Пчелко А.С. Основы методики начального обучения математики. - М.: Просвещение, 1965 г. 15. Рогов Е. И. Общая психология. – М.: Владос, 1995 г. 16. Скопец З.А.., Хабиб Р.А.. Преподавание геометрии в 9-10 классах. - М.: Просвещение, 1983 г. 17. Смирнов С. А. Педагогика: педагогическая теория, системы, технологии. – М.: Академ, 1998 г. 107
18. Темербекова А. А. Методика преподавания математики. – М.: Владос, 2003 г. 19. Ходот Т. Г. и др. Геометрия 6 класс. – СПб.: Иван Федоров, 2002г. 20. Ходот Т. Г. и др. Геометрия 5 класс. – СПб.: Иван Федоров, 2002г. 21. Ходот Т. Г. и др. Книга для учителя 5-6 класс. – СПб.: Иван Федоров, 2002г. 22. Четверухин И. Ф. Проблема изложения пространственных фигур в условиях педагогического процесса// Математика в школе, 1998 г., № 4. 23. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. – М.: Мирокс, КПЦ «Марта», 1992 г. 108