"Векторы в геометрии"

Автор: Иванова Светлана Анатольевна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МБОУ "СОШ №5"
Населённый пункт: город Ангарск, Иркутская область
Наименование материала: методическая разработка
Тема: "Векторы в геометрии"
Дата публикации: 25.11.2015







Вернуться назад       Перейти в раздел





Текстовая часть публикации

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №5» Г. АНГАРСК ИРКУТСКОЙ ОБЛАСТИ Векторы в школьном курсе планиметрии учитель математики II категории Иванова С.А.
г. Ангарск


Векторы в школьном курсе планиметрии.

Оглавление.
Введение. с. 2 - 3 Глава 1. Введение понятия вектор. с. 3 - 6 Глава 2. Операции над векторами: с.6 - 11 п.1. Сложение и вычитание векторов; с. 6 - 8 п.2. Умножение вектора на число; с. 8 - 9 п.3. Коллинеарные вектора; с. 9 - 11 п.4. Скалярное произведение двух векторов. с. 11 Глава 3. Приложение векторов к доказательству теорем и решению задач. с.11 - 23 п.5. Применение векторного аппарата для доказательства теорем. с. 11 - 13 п.6. Применение векторов для решения задач: с. 13 - 14

п.6.1. Аффинные задачи. с. 14 - 18 п.6.2. Метрические задачи. с. 18 - 19 п.6.3. Таблица переводов условий задач на векторный язык с.19 - 20 п.6.4. Этапы работы с чертежом при поиске решения задач векторным методом. с. 20 п.6.5. Примеры решений некоторых задач. с. 20 - 23 Глава 4. Заключение. с. 23 - 24 п.7. Цели изучения векторного метода в средней школе. с. 23 - 24 Список литературы с.24
Введение.
В соответствии с концепцией Российского образования и, в частности, математического одной из задач обучения, развития и воспитания учащихся в средней школе является достижение следующих двух главных целей образования: воспитать личность, способную адаптироваться в быстро меняющихся условиях жизни и способную одновременно изменять эти условия. Соответственно, усилия школы должны быть сосредоточены в двух направлениях: создание условий для развития интеллекта и формирование творческих качеств личности обучающихся. Одной из приоритетных целей математического образования в рамках выделенных направлений является «формирование представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики». Векторный метод является одним из методов геометрии. С его помощью можно эффективно решить ряд аффинных и метрических задач планиметрии и стереометрии, ряд прикладных задач физики и астрономии. Так же изучение векторного метода представляет собой самостоятельный познавательный интерес, т.к. на его основе имеется возможность корректно ввести метод координат на плоскости и в пространстве. В любом школьном учебнике изложение темы «Векторы» состоит из двух этапов: изучение векторов и векторного метода 1) в планиметрии; 2) в стереометрии. Изучением темы «Векторы. Векторный метод решения задач» в разные периоды времени занимались многие ученые-физики, математики и методисты (К. Вессель, Р. Декарт, Ж. Арган, З.А. Скопец, А.Н. Колмогоров, А.Д. Александров, В.А Гусев, Ю.М Калягин, Т.А. Иванова). В настоящее время существует несколько подходов к определению понятию вектора, определены операции с векторами, очерчен круг задач, решаемых векторным методом, выделены умения, входящие в состав 2
векторного метода. Разработаны частные методики по обучению учащихся векторам и, в частности, векторному методу. Все они основаны на идее основного назначения векторов - использование алгебраического аппарата для решения геометрических задач.
Глава 1. Введение понятия вектор.
В соответствии с требованиями программы по математике понятие вектора является одним из ведущих понятий школьного курса математики. Понятие вектора находит достаточно широкие приложения при рассмотрении различных вопросов школьного курса математики и физики. Уже на уроках физики в 8 классе изложение материала ведётся с широким применением векторного аппарата. Понятно, что это заставляет задуматься, прежде всего, над тем, как наиболее естественно ввести в школьный курс математики понятие вектора; как эффективнее его применять при изложении, доказательстве теорем и решении задач; как рассматривать основные действия над векторами. Обратимся к трактовке определения понятия вектор в различных словарях: 1. Толковый словарь Ожегова: «Изображаемая отрезком прямой математическая величина, характеризующаяся численным значением и направлением»; 2. Словарь иностранных слов: «Прямолинейный отрезок, имеющий начальную и конечную точки и характеризующийся числовым значением и направлением»; 3. В словаре Кольера: « В физике и математике вектор - это величина, которая характеризуется своим численным значением и направлением»; 4. В Большом российском энциклопедическом словаре: «вектор (от лат. vector - несущий), отрезок определенной длины и направления». Известно, что существует несколько подходов к введению понятия вектора. Рассмотрим некоторые из них. В физике при помощи вектора изображаются различные направленные величины: сила, скорость, ускорение и т.п., в силу чего вектор определяется здесь как направленный отрезок. При этом частично такая направленная величина оказывается существенно связанной с определённой точкой (точкой её приложения) или прямой. В математике обычно имеют дело с так называемым свободным вектором (вектором, не связанным ни с какой прямой и ни с какой фиксированной точкой). В традиционных математических курсах вектор так же определяется как направленный отрезок. При этом два вектора считаются равными, если они имеют одну и ту же длину и направление. Однако такое определение векторов не вполне корректно, так как тем самым отождествляется два хотя и родственные, но различные понятия: равенство и эквивалентность. Между тем равенство математических объектов трактуется как их совпадение, наложение, а эквивалентность – как любое отношение, обладающее свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. Это различие реализовано сейчас, например, в понятиях равенства и конгруэнтности фигур. Далее равные сонаправленные отрезки принимались за представителей одного так называемого свободного вектора «… свободный вектор
– это
множество одинаковых направленных отрезков ». Каждая точка плоскости при этой трактовке представляет собой начало некоторого отрезка из семейства отрезков на плоскости. Эти отрезки потом разбиваются на подмножества, в каждое из которых попадают лишь те, которые одинаково направлены и равны по длине. Тем самым осуществляется идея разбиения всех направленных отрезков плоскости на классы эквивалентности, 3
при этом направленный отрезок является полноправным представителем своего класса. Направленные отрезки одного класса рассматриваются как представители одного и того же свободного вектора. Наконец, понятие вектора может быть принято за основное неопределяемое понятие.
Рис.1
Анализируя понятие вектора нетрудно обнаружить, что с геометрической точки зрения вектор – это объект, характеризуемый направлением (т.е. некоторыми множеством сонаправленных лучей) и длиной. Однако тем же самыми признаками характеризуется параллельный перенос. Поэтому становится наиболее естественным всякий параллельный перенос называть вектором. Такой подход к введению понятия вектора не только логически безупречен, но и обладает целым рядом достоинств методического характера. Согласно прежнему определению вектора два направленных отрезка (
см. рис.1
), считались равными векторами.
Рис.2
Однако мы не можем в этом случае говорить о равенстве этих отрезков, т.е. речь идет о разных множествах точек. Не устроил бы нас и термин «конгруэнтность», т.к. в этом случае оказались бы конгруэнтными не только те два отрезка, которые нам нужны, но такие как отрезки на
рис.2.
Таким образом, возникают трудности: разные множества (с теоретико-множественной точки зрения) представляют один и тот же вектор. Новое понятие вектора не связано с понятием направленного отрезка. Под вектором понимают либо множество упорядоченных пар точек, задающих некоторый параллельный перенос, либо сам этот перенос. В школьном курсе геометрии параллельным переносом (вектором) называется отображение плоскости на себя, при котором, все точки плоскости отображаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Такой подход к определению вектора как параллельного переноса позволяет устранить противоречия с теоретико-множественной точки зрения на понятие равенства, которые возникли при традиционном определении вектора как направленного отрезка. Известно, что параллельный перенос задается парой точек (в школьном курсе геометрии различают термины «две точки» и «пара точек»; в случае пары точек одна – первая, а другая – вторая; мы не пользуемся словами «упорядоченная пара»). Рассмотрим множество всех пар точек плоскости. Для элементов рассматриваемого множества введём следующие отношения: пары (А,В) и (С,D) будем называть эквивалентными и обозначать (А,В) ~ (С,D), если [А,В) ↑↑ [С,D) и │ АВ│= │СD│ (
см. рис.3
) 4

Рис.3
Это те пары точек, которые задают один и тот же параллельный перенос. Эквивалентными будем считать и пары, у которых первая точка совпадает со второй. Легко проверить, что такое отношение есть отношение эквивалентности, т.к. обладает следующими свойствами: 1. Рефлексивность: (А,В) ~ (В,А); 2. Симметричность: если (А,В) ~ (С,D), то (С,D) ~ (А,В); 3. Транзитивность: если (А,В) ~ (С, D) и (С, D) ~ (К,М), то (А,В) ~ (К,М) С помощью рассмотренного отношения эквивалентности производится разбиение множества пар точек плоскости на пересекающиеся подмножества (классы), элементами которых являются эквивалентные пары. Каждое из таких подмножеств можно назвать вектором, следовательно один и тот же параллельный перенос Т (вектор) можно задать при помощи бесконечного множества эквивалентных между собой пар точек (А,В)~(А 1 , В 1 )~(А 2 , В 2 )… (
см. рис.4
), т.е. Т = Т(А,В)=Т(А 1 , В 1 )=…
Рис.4
Поэтому естественно говорить, что направленные отрезки АВ, А 1 В 1 , А 2 В 2 … изображают один и тот же вектор ⃗ а = ⃗ АВ = ⃗ А 1 В 1 = ⃗ А 2 В 2 = … . Т.к. всякий класс (подмножество) эквивалентных пар определяется его представителем – любой его парой, то тем самым всякая пара точек плоскости задает (определяет) некоторый вектор на плоскости. При этом пары определяют один и тот же вектор, а неэквивалентные пары – различные вектора. Если вектор задается парой (А,В), где А и В несовпадающие точки, то его обозначают ⃗ АВ . Направление определяемое лучом АВ, называют направлением вектора ⃗ АВ , а расстояние │ АВ│- его длиной. Вектор, длина которого равна единицы, называют единичным. Пусть теперь вектор задается парой (В,В), такой вектор ⃗ ВВ называют нулевым и обозначают ⃗ ВВ = ⃗ 0 , │ ⃗ ВВ │= │ ⃗ 0 │= 0, а направление не определено. Итак любой вектор ⃗ а плоскости полностью определяется заданием одной пары точек А и В, где В = ⃗ а (А). Заметим, что направленный отрезок АВ выступает при такой трактовке 5 B A1 B1 A2 B2 A A B C D
вектора лишь как удобное наглядное изображение вектора. Любой вектор ⃗ а , не равный ⃗ 0 имеет бесконечное множество изображений в виде направленных отрезков. Мы рассмотрели возможность введения понятия вектора как множества пар точек, задающих один и тот же параллельный перенос, т.е. множество всех пар ( X,Y), для которых Y = T(X) есть вектор. Это множество пар ( X,Y) иногда называют графиком параллельного переноса. В данной трактовке принято отождествлять график с самим отображением. Всё сказанное и привело к отождествлению в школьном курсе математики параллельного переноса и вектора как синонимы, обозначающие одно и то же понятие. Понятие вектора как параллельный перенос, включается в систему тех понятий, с которыми обучающиеся знакомятся в курсе геометрии 8-9 класса, а затем оно получает дальнейшее развитие в курсе геометрии 10-11 классов. Так в учебном пособии по геометрии для 9 класса под редакцией З.А. Скопеца «… параллельным переносом, определенным парой (А,В) несовпадающих точек, называется преобразованием плоскости, при котором каждая точка М отображается на такую точку М 1 , что луч ММ 1 сонаправлен с лучом АВ и расстояние │ ММ 1 │= │ АВ │». Таким образом вектор определяется как множество пар точек, задающих один и тот же перенос(т.е. так же по существу понятие вектора и параллельного переноса отождествляется). В учебном пособии по геометрии для 9 класса К.С. Барыбина понятие вектора трактуется аналогично и говорится: «… пары точек, задающих один и тот же перенос, изображают один и тот же вектор». Такая трактовка вектора значительно упрощает логическую схему изложения курса геометрии. Так, например, операция сложения векторов задаем как композиция параллельных переносов. Кроме того, эта трактовка понятия вектора дает возможность, определив само понятие вектора и операции над ними на плоскости, распространить эти определения и на случай пространства. Токам образом в курсе геометрии 7-9 классов параллельный перенос (вектор) рассматривают уже как отображение всей плоскости на себя. Вектор обозначается латинскими буквами со стрелкой вверху. Например, ⃗ а , ⃗ с или ⃗ АВ , ⃗ МК .
Глава 2. Операции над векторами.

п.1. Сложение и вычитание векторов.
В теме «Векторы» рассматривается последовательнее выполнение двух параллельных переносов. Для доказательства такого факта, что композицией параллельных переносов, является так же параллельный перенос, доказывается теоремы: 1. Для того чтобы перемещение F было вектором, необходимо и достаточно, чтобы оно любой луч отображало на сонаправленный луч. 2. Композиция параллельных переносов (векторов), есть параллельный перенос (вектор). 6
Определение. Суммой двух векторов ⃗ a и ⃗ b называется отображение плоскости на себя, являющееся результатом последовательно выполнения отображений ⃗ a и ⃗ b , т.е. композиция ⃗ a и ⃗ b. Сумма векторов может обозначаться так ⃗ a + ⃗ b или ( ⃗ a + ⃗ b ¿ ( х ) =¿ ⃗ b ( ⃗ a ( х ) ) . Отметим, что в методической литературе имеет место упрощение терминологии. Например, говорится: «Построить вектор ⃗ АВ = ⃗ CD + ⃗ EF », что означает: построить направленный отрезок изображающий вектор ⃗ АВ , который является суммой двух данных векторов ⃗ CD и ⃗ EF .
Рис.5
В современных учебных пособии «Геометрия 7-9» А.В. Погорелов «…суммой векторов ⃗ a и ⃗ b с координатами a 1 , a 2 и b 1 , b 2 называется вектор ⃗ с с координатами a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , т.е. ⃗ a (a 1 , a 2 ) + ⃗ b (b 1 , b 2 ) = ⃗ с (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 ). Предварительно задав понятие координаты вектора, как числа a 1 = x 2 – x 1, a 2 = y 2 -y 1 (
см.

рис.5
).
Рис.6
А учебное пособие «Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян трактует сумму векторов как результат построения: «Пусть ⃗ a и ⃗ b - два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки вектор ⃗ АВ , равный вектору ⃗ a . Затем от точки В отложим вектор ⃗ ВС , равный вектору ⃗ b . 7 О
x

y

x1

x2

y1

y2
A C
B

Вектор ⃗ АС называется суммой векторов ⃗ a и ⃗ b. Правилосложениявекторов называется правилом треугольника (
см. рис.6
) Данное правило треугольника, вытекающее из определения суммы векторов, позволяет геометрически найти сумму векторов (
см. рис.6
).
Рис.7
Интересен случай изображен
на рис.7
. Здесь сумма векторов оказалась равна ⃗ 0 . Этот случай ярко иллюстрирует отличие смысла математического термина «перемещение» от его житейского толкования (путь). Если ситуацию, изображенную на рисунке 7, истолковать как поведение путешественника в незнакомом городе, который долго бродил по городу и вернулся в гостиницу (им проделан огромный путь), то перемещение (результат пути) выражается нулевым вектором. Путешественник отобразился в исходную точку.
Рис.8.

Задача.
Лодка движется от одного берега к другому со скоростью v 1 , при этом скорость течения реки v 2 . Какова истинная скорость движения лодки? Решение: Изобразим условие задачи с помощью векторов (
см. рис.8
). Тогда решение задачи будет равенство: ⃗ v ист = ⃗ v 1 + ⃗ v 2 .
Рис.9
Так как любое перемещение F обратимо, то F -1 так же является перемещением. Если F = ⃗ a , тогда по определению F -1 = - ⃗ a есть противоположный ему вектор, значит ⃗ a + (- ⃗ a ¿= ⃗ 0 . Нетрудно установить, что 8 v1 v2 vис т A B C
из равенства ⃗ с = ⃗ a + (- ⃗ b ), следует ⃗ b + ⃗ с = ⃗ a . В самом деле: ⃗ b + [ ⃗ a + (- ⃗ b )] = ⃗ b + [(- ⃗ b ) + ⃗ a ¿ = ( ⃗ b +(- ⃗ b )) + ⃗ a = ⃗ 0 + ⃗ a = ⃗ a . Отсюда естественным образом получается определение разности векторов ⃗ a – ⃗ b как вектор ⃗ с , такого, что ⃗ b + ⃗ с = ⃗ a . Геометрическое построение разности векторов представлено на
рис.9
.
Рис.10
Отметим что разность и сумма векторов могут изображаться направленными диагоналями одного и того же параллелограмма (
см. рис.10
). В современных учебных пособиях разность векторов задается либо через координаты («Геометрия 7-9» А.В. Погорелов, А.Ф. Смирнова), либо как результат построения суммы вектора ⃗ a с противоположным вектором - ⃗ b («Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян, «Геометрия 7-9» И.Ф. Шарыгин).
п.2. Умножение вектора на число.
Умножение вектора на число можно определить так:
1.
0 • ⃗ a = ⃗ 0 ;
2.
k • ⃗ 0 = 0; 9

3.
если k > 0, ⃗ a ≠ ⃗ 0 , то k • ⃗ a есть вектор сонаправленный с вектором ⃗ a , длины k •│ ⃗ a │;
4.
если k< 0, ⃗ a ≠ ⃗ 0 , то k • ⃗ a есть вектор направления противоположного направлению вектора ⃗ a , длины │k│ •│ ⃗ a │.
Рис.11
Умножение вектора на число можно определить так:
1.
0 • ⃗ a = ⃗ 0 ;
2.
k • ⃗ 0 = 0;
3.
если k > 0, ⃗ a ≠ ⃗ 0 , то k • ⃗ a есть вектор сонаправленный с вектором ⃗ a , длины k •│ ⃗ a │;
4.
если k< 0, ⃗ a ≠ ⃗ 0 , то k • ⃗ a есть вектор направления противоположного направлению вектора ⃗ a , длины │k│ •│ ⃗ a │(
см.рис.11
). Произведение вектора на число можно определить и так: «Произведение вектора ( ⃗ a 1 ; a 2 ) на число l называется вектор ( ⃗ l a 1 ; l a 2 ), т.е. ( ⃗ a 1 ; a 2 ) • l = ( ⃗ l a 1 ; l a 2 )» («Геометрия 7-9» А.В. Погорелов, А.Ф. Смирнова). 10
Произведение ненулевого вектора ⃗ a на число k называется такой вектор ⃗ b , длина которого равна произведению │ k│ •│ ⃗ a │, причем векторы ⃗ a и ⃗ b сонаправлены при k ≥ 0 и противоположно направлены при k< 0. Произведение нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор («Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян). Произведение вектора ⃗ a на число х, называется вектор, имеющий при ⃗ a ≠ ⃗ 0 , направление вектора ⃗ a , если х > 0, и противоположное направление, если х < 0. Длина этого вектора равна произведению длины вектора ⃗ a на модуль числа х. Заметим, что оговорка, сделанная в данном определении относительно ⃗ a ( ⃗ a ≠ ⃗ 0 ), необходима для указания направления вектора х • ⃗ a (в этом случае необходимо оговаривать, что х ≠ 0). После особо нужно рассматривать случаи умножения вектора на число 0 и умножения нулевого вектора на любое число х. Из определения следует, что │ х • ⃗ a │= │х│•│ ⃗ a │: а) пусть │ х│= 0, тогда правая часть равенства есть нуль, следовательно, │ х • ⃗ a │= ⃗ 0 , т.е. 0 • ⃗ a = ⃗ 0 для любого ⃗ a . б) пусть ⃗ a = ⃗ 0 , тогда │ ⃗ a │= │ ⃗ 0 │= 0, т.е. правая часть равенства равна нулю для любого х, следовательно, │ х • ⃗ a │= 0, т.е. х • ⃗ 0 = 0 (закон поглощения нулевого вектора).
п.3. Коллинеарные вектора.
Пусть точка О - любая точка плоскости. Каждый вектор ⃗ a ≠ ⃗ 0 имеет, как известно бесконечное множество изображений в виде направленных отрезков. Заметим, что легко осуществить 11
операцию по построению направленного отрезка ОК, для которого ⃗ ОК = ⃗ a . Действительно с этой целью, достаточно через точку О провести луч с началом в точке О, имеющий то же направление, что и вектор ⃗ a , а затем на этом же луче отложить отрезок ОК длины │ ⃗ a │. Операцию построения направленного отрезка ОК, для которого ⃗ ОК = ⃗ a , называют откладыванием вектора ⃗ a от точки О. Пусть на плоскости заданы сонаправленные или противоположно направленные вектора ⃗ a , ⃗ b , ⃗ с (
см. рис.12
).
Рис.12
Каждый из этих векторов отложим от одной и той же точки О. Мы видим, что они изображаются направленными отрезками одной и той же прямой. Вектора, которые могут быть изображены направленными отрезками одной и той же прямой, называются коллинеарными векторами. Таким образом, вектора ⃗ a , ⃗ b , ⃗ с – коллинеарные. Можно так же сказать, что ненулевые вектора коллинеарные, если их направления совпадают или противоположны. В учебнике «Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян определение коллинеарности дается так: «Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых; нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору». Аналогичное определение коллинеарных векторов есть в учебнике «Геометрия 7-9» А.В. Погорелов. «Два ненулевых вектора называют коллинеарными, если изображающие их направленные отрезки параллельны некоторой прямой…» учебное пособие И.Ф. Шарыгина. Трактовка в учебнике для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов: «Если прямые АВ и CD параллельны или совпадают, то вектора ⃗ a и ⃗ b , лежащие на этих прямых коллинеарные». В ряде случаев удобно рассматривать векторы в некоторой системе координат. Учебник «Геометрия 7-9» А.В. Погорелов раздел «Векторы» ведется как продолжение раздела «Декартовые координаты на плоскости, а в учебнике «Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян раздел «Координатный метод» является продолжением раздела «Векторы». 12 O C A B

Рис.13
Рассмотрим прямоугольную систему координат хО y. Отложив на прямоугольных лучах Ох и О y отрезки единичной длинны ОЕ х и ОЕ y , получим два вектора, которые принято обозначать: ⃗ О Е х = ⃗ i , ⃗ ОЕ y = ⃗ j . Векторы ⃗ i и ⃗ j - взаимноперпендикулярны и имеют одинаковую длину. [ Вектора ⃗ a = ⃗ ОА и ⃗ b = ⃗ ОВ перпендикулярны, если угол АОВ равен 90 0 ; ⃗ 0 перпендикулярен любому вектору] (
см. рис 13
). ⃗ a → ⃗ ОА → А → (х; y), следовательно ⃗ a → (х;y), тогда ⃗ a = ⃗ ОА = х• ⃗ i + y• ⃗ j единственным образом.
Рис.14
В векторном исчислении и его приложениях большое значение имеет представление (разложение) вектора в виде суммы нескольких векторов называемых составляющими данного вектора. Разложить вектор ⃗ с по двум неколлинеарным векторам ⃗ a и ⃗ b - это значит представить его в виде суммы двух векторов, которые будут коллинеарными данным векторам ⃗ a и ⃗ b . Пусть заданы три неколлинеарных вектора ⃗ a , ⃗ b , ⃗ с . Разложим вектор ⃗ с по векторам ⃗ a , ⃗ b . Для этого нужно от точки О отложить векторы ⃗ a , ⃗ b , ⃗ с . (
см. рис.14
). 13 О Е х Еy
x
1
y
x y A O A A1 C B B1


Через точку С проведем прямые параллельные отрезкам ОА и ОВ, получим параллелограмм ОА 1 СВ 1 , в котором отрезок ОС диагональ. В этом параллелограмме ⃗ ОС = ⃗ О А 1 + ⃗ О В 1 , причем ⃗ О А 1 коллинеарен ⃗ ОА = ⃗ a и ⃗ О В 1 коллинеарен ⃗ ОВ = ⃗ b . Значит можно найти такие числа х и y, что ⃗ О А 1 = х ⃗ a и ⃗ ОВ = y ⃗ b , тогда ⃗ с = х ⃗ a + y ⃗ b , т.е. мы представили вектор ⃗ с в виде суммы двух векторов х ⃗ a и y ⃗ b , соответственно коллинеарных ⃗ a и ⃗ b . Докажем теперь единственность разложения (метод от противного). Допустим, что существует два способа разложения вектора ⃗ с : ⃗ с = х ⃗ a + y ⃗ b и ⃗ с = х 1 ⃗ a + y 1 ⃗ b , где х ≠ х 1 и y ≠ y 1 . Так как ⃗ с один и тот же вектор, то применяя свойства сложения векторов и умножения вектора на число, имеем: х ⃗ a + y ⃗ b = х 1 ⃗ a + y 1 ⃗ b ; х 1 ⃗ a - х ⃗ a = y ⃗ b – y 1 ⃗ b ; (х 1 – х) ⃗ a = (y – y 1 ) ⃗ b ; ⃗ a = y − y 1 х 1 − х ⃗ b ; Следовательно, вектор ⃗ a коллинеарен вектору ⃗ b , получили противоречие с условием, значит х = х 1 и y = y 1 . В общем случае, когда ⃗ a и ⃗ b произвольные неколлинеарные 14
вектора, заданные в определенном порядке: ⃗ a первый, ⃗ b второйвекторы базиса , а ⃗ с = х ⃗ a + y ⃗ b , то числа х и y называются координатами вектора ⃗ с относительно базиса ( ⃗ a , ⃗ b ). Разложение вектора ⃗ с , по двум перпендикулярным векторам (по направлению координатных осей декартовой системы координат хО y) заданных в плоскости, является частным случаем рассмотренного выше разложения, т.е. ⃗ ОС = х ⃗ i + y ⃗ j , ⃗ i и ⃗ j базисные вектора. Другими словами вектор ⃗ с разложен по базисным векторам ⃗ i и ⃗ j , а х и y – декартовые координаты вектора ⃗ с . Обозначать можно так: ⃗ с = ⃗ ( х ; y ) или ⃗ с (х;y). В учебнике «Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян раздел «Разложение вектора по двум векторам» - это первый пункт в главе «Метод координат». Рассмотрение начинается с доказательства леммы: «Если векторы ⃗ a и ⃗ b коллинеарны и ⃗ a ≠ ⃗ 0 , то существует такое число k, что ⃗ b = k ⃗ a . После чего вводится следующее определение: «Если вектор ⃗ p представлен в виде ⃗ p = х ⃗ a + y ⃗ b , где х и y – некоторые числа, то говорят, что вектор ⃗ p разложен по векторам ⃗ a и ⃗ b . Числа х и y называются коэффициентами разложения». Впоследствии идет доказательство теоремы о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам. В учебнике «Геометрия 7-9» А.В. Погорелов раздел «Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам» состоит из доказательства утверждения: «Пусть ⃗ a и ⃗ b - отличные от нуля коллинеарные векторы. Докажем, что существует число
l
такое, что ⃗ b =
l
⃗ a ».
п.4. Скалярное произведение двух векторов.
Скалярное произведение векторов вводится в
двух вариантах
: 15
1. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению числовых значений длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е. ⃗ a • ⃗ b = │ ⃗ a │•│ ⃗ b │• cos( ^ ⃗ a; ⃗ b ). Если из двух векторов хотя бы один нулевой, то скалярное произведение равно 0. Свойства скалярного произведения.
1)
⃗ a • ⃗ b = ⃗ b • ⃗ a ;
2)
⃗ a ¿ + ⃗ b ) • ⃗ с = ⃗ a • ⃗ с + ⃗ b • ⃗ с ;
3)
m ⃗ a + n ⃗ b = (m•n) ⃗ a • ⃗ b ;
4)
Если вектор ⃗ a перпендикулярен вектору ⃗ b , то ⃗ a • ⃗ b = 0;
5)
⃗ a • ⃗ a = ⃗ a 2 скалярный квадрат вектора ⃗ a , причем ⃗ a 2 = │ ⃗ a │ 2 = a 2 ;
6)
cos( ^ ⃗ a; ⃗ b ) = ⃗ a ∙ ⃗ b | ⃗ a | ∙ | ⃗ b | . 2. Скалярным произведением векторов ¿ ⃗ a ¿ a 1 ; a 2 ) и ⃗ b (b 1 ; b 2 ) называется число a 1 b 1 + a 2 b 2 . Оба варианта описаны в соответствующих разделах всех учебных пособиях школьного курса геометрии.
Глава 3. Приложение векторов к доказательству теорем и решению задач.
Понятие вектора, которое нашло широкое распространение в прикладных науках, явилось плодотворным и в геометрии. Аппарат векторной алгебры позволил упростить изложение нескольких сложных геометрических понятий, доказательство теорем школьного курса геометрии, позволил создать метод решения различных геометрических задач.
п.5. Применение векторного аппарата для доказательства теорем.
В учебных пособиях по геометрии начиная с 8 класса, уже используется векторный аппарат при доказательстве некоторых теорем. Например:
Т.1. Средняя линия треугольника параллельна его основанию и равна его половине.
16

Рис.15
Доказательство. Пусть дан треугольник АВС, у которого ⃗ АВ = ⃗ с , ⃗ ВС = ⃗ a и ⃗ АС = ⃗ b , ⃗ MN – средняя линия ∆ АВС (
см. рис.15
) Докажем, что ⃗ MN ││ ⃗ АС и ⃗ MN = 1 2 ⃗ АС . По определению суммы векторов ⃗ b = ⃗ с + ⃗ a и с учетом того, что точки M и N середины сторон АВ и ВС ∆ АВС, тогда ⃗ MN = ⃗ МВ + ⃗ ВN = 1 2 ⃗ АВ + 1 2 ⃗ ВС = ⃗ c 2 + ⃗ a 2 = 1 2 ( ⃗ с + ⃗ a ) = 1 2 ⃗ b . Т.к. ⃗ АС = ⃗ b и ⃗ MN = 1 2 ⃗ b , то ⃗ MN = 1 2 ⃗ АС . Тк. ⃗ MN = 1 2 ⃗ АС , по определению коллинеарности с учетом того, что ⃗ MN ↑↑ ⃗ АС , значит отрезки МN и АС изображающие данные вектора, параллельные. Т.к. ⃗ MN = 1 2 ⃗ АС , то │ ⃗ MN │= 1 2 │ ⃗ АС │. Что и привело к доказательству данной теоремы.
Т.2. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.
17 A B C M N

Рис.16
Доказательство. Пусть АВСD данный параллелограмм. 1. Положим ⃗ АВ = ⃗ a , ⃗ AD = ⃗ b (
см.рис.16
). Учтем определение и свойства параллелограмма и определение равенства векторов, получим | ⃗ АВ | = | ⃗ DC | = ⃗ a , | ⃗ AD | = | ⃗ BC | = ⃗ b ; 2. По определению суммы и разности векторов ⃗ АС = ⃗ a + ⃗ b и ⃗ DB = ⃗ a - ⃗ b ; 3. Используя свойство скалярного квадрата, получим ⃗ АС 2 + ⃗ DB 2 = ( ⃗ a + ⃗ b ¿ 2 + ( ⃗ a - ⃗ b ) 2 = ⃗ a 2 + 2 ⃗ a ⃗ b + ⃗ b 2 + ⃗ a 2 - 2 ⃗ a ⃗ b + ⃗ b 2 = 2 ⃗ a 2 + 2 ⃗ b 2 , т.е. | AC | 2 + | DB | 2 = | AB | 2 + | BC | 2 + | CD | 2 + | AD | 2 , т.к. ⃗ АС 2 = | AC | 2 и ⃗ DB 2 = | DB | 2 . Теорема доказана
Т.3. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Рис.17.
18 A B C D А В D С
Доказательство. Пусть АВС D данный ромб. Докажем, что диагонали АС и DB взаимно перпендикулярны. 1. Введём обозначения: ⃗ АВ = ⃗ a , ⃗ ВС = ⃗ b (
см.рис.17
). Из определения ромба и равенства векторов получим ⃗ АВ = ⃗ DC = ⃗ a , ⃗ AD = ⃗ ВС = ⃗ b ; 2. По определению суммы и разности векторов имеем ⃗ АС = ⃗ a + ⃗ b и ⃗ DB = ⃗ a - ⃗ b ; 3. Найдем скалярное произведение векторов ⃗ АС • ⃗ DB = ( ⃗ a + ⃗ b ¿ • ( ⃗ a - ⃗ b ) = ⃗ a 2 - ⃗ b 2 = a 2 – b 2 (учитываем свойство скалярного квадрата); 4. Т.к. стороны ромба равны, то a = b и ⃗ АС • ⃗ DB = a 2 – b 2 = 0, значит ⃗ АС и ⃗ DB взаимно перпендикулярны, а отрезки АС и DB изображающие данные вектора, взаимно перпендикулярны. Теорема доказана.
Т.4. Диагонали прямоугольника равны.

Рис.18
Доказательство. Пусть АВС D данный прямоугольник. Докажем, что диагонали АС и DB равны. 1. Введём обозначения: ⃗ АВ = ⃗ a , ⃗ ВС = ⃗ b . (
см.рис.18
). С учетом введённых обозначений и определению суммы и разности векторов получим ⃗ АС = ⃗ a + ⃗ b и ⃗ DB = ⃗ a - ⃗ b ; 19 A B D C ⃗ b
Рис. 17
С

2.
Найдем квадраты диагоналей, используя свойства скалярного произведения: ⃗ АС 2 = | AC | 2 = ( ⃗ a + ⃗ b ¿ 2 = ⃗ a 2 + 2 ⃗ a ⃗ b + ⃗ b 2 = a 2 + b 2 , т.к. ⃗ a • ⃗ b = 0, ибо в прямоугольнике стороны взаимно перпендикулярны, то и ⃗ a и ⃗ b так же взаимноперпендикулярны. Итак, | AC | 2 = a 2 + b 2 (1); 3. Далее по аналогии найдем ⃗ DB 2 = | DB | 2 = ( ⃗ a - ⃗ b ) 2 = ⃗ a 2 - 2 ⃗ a ⃗ b + ⃗ b 2 = a 2 + b 2 , т.к. ⃗ a • ⃗ b = 0, ибо в прямоугольнике стороны взаимно перпендикулярны, то и ⃗ a и ⃗ b так же взаимноперпендикулярны. Итак, | DB | 2 = a 2 + b 2 (2); 4. Из равенства (1) и (2) получаем | AC | 2 = | DB | 2 = a 2 + b 2 , т.е. диагонали АС и DB ромба равны. Теорема доказана.
п.6. Применение векторов при решении задач.
Введение в школьный курс геометрии векторного аппарата вооружает обучающихся ещё одним методом решения задач - векторным. С учетом введения ФГОС ООО второго поколения, где вопреоли встает вопрос о формировании УУД, а векторный аппарат дает возможность обучающимся расширить круг учебных действий и задач, которые можно решить и добиться успехов в обучении. Возможности этого метода довольно широки, поскольку он охватывает многочисленные аффинные задачи, а после введения скалярного произведения векторов и метрические задачи. [
аффинный
, ая, ое [лат. affinis смежный, соседний; пограничный]. мат. В сочетаниях: аффинные преобразования — преобразования (плоскости или пространства), при которых прямые переходят в прямые и сохраняется их параллельность; аффинная геометрия — раздел математики, изучающий величины и геометрические объекты, остающиеся неизменными при аффинных преобразованиях.]

[
Аффинные задачи.
Аффинными называются свойства плоских фигур, которые сохраняются при параллельном проектировании на плоскость. К ним относятся: принадлежность точек одной прямой, параллельность прямых, отношение отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, отношение площадей. Например, хорошо известная из школьного курса геометрии теорема о средней линии трапеции носит аффинный характер . ] 20
[
Метрические задачи
- это такие задачи, в которых приходится определять значения измеряемых величин - измерять величину угла между двумя прямыми и расстояния между точками. К ним относятся также задачи на построение угла и отрезка, с наперед заданным значением соответственно градусной и линейной величины.]
п.6.1. Аффинные задачи.
Выделим несколько видов задач, которые целесообразно решать с применением векторов. При этом обратим внимание на задачи, в тексте которых не содержатся ни каких понятий векторной алгебры, т.у. чисто геометрические. Рассмотрим три вида задач, которые приходится решать ученикам средней школы.
6.1.1. К первому виду
отнесем задачи, связанные с доказательством параллельности нескольких отрезков и прямых. В задачах этого вида для решения нужно показать коллинеарность векторов, т.е. доказать, что ⃗ b = k ⃗ a , где k некоторое число.


Задача 1 .

В плоскости даны четырёхугольник АВС D и точка М. Докажите, что точки,

симметричные точке М относительно середин сторон этого четырёхугольника являются

вершинами параллелограмма
.
Решение.
Пусть
АВСD
четырёхугольник, N, P, Q, R – точки симметричные точке М, относительно середин отрезков АВ, ВС, СD и DА. Согласно «правилу параллелограмма» имеем: ⃗ MN = ⃗ MA + ⃗ MB , ⃗ MP = ⃗ MB + ⃗ MC , ⃗ MQ = ⃗ MC + ⃗ MD , ⃗ MR = ⃗ MD + ⃗ MA
(1)(см.рис.19)

Рис.19
По определению разности векторов и применяя равенства
(1)
: ⃗ NR = ⃗ MR - ⃗ MN и ⃗ PQ = ⃗ MQ - ⃗ MP , т.к. ⃗ NR - ⃗ PQ = ( ⃗ MR - ⃗ MN ¿−¿ ( ⃗ MQ - ⃗ MP ) = ( ⃗ MD 21 M N B D C A R Q P
+ ⃗ MA - ⃗ MA - ⃗ MB ) – ( ⃗ MC + ⃗ MD - ⃗ MB - ⃗ MC ) = ⃗ MD - ⃗ MB - ⃗ MD + ⃗ MB = 0, т.е. ⃗ NR = ⃗ PQ . Аналогично доказывается, что ⃗ NP = ⃗ RQ . В итоге получили, что ⃗ NR = ⃗ PQ и ⃗ NP = ⃗ RQ , а это значит, что четырёхугольник
NPQR параллелограмм.
Задача решена
.



Задача 2. Дан четырёхугольник АВС D. Прямая, проведенная через вершину А параллельно ВС,

пересекает ВD в точке М, а прямая проведенная через вершину В параллельно А D, пересекает АС

в точке N. Доказать, что отрезки М N и DС параллельные (см. рис.20).

Решение.

Рис.20
Для решения задачи достаточно доказать коллинеарность векторов, т.е. надо доказать, что ⃗ DC = k ⃗ MN , где k некоторое число. Но вектор ⃗ DC и ⃗ MN непосредственно один через другой не выражаются, т.у. их коллинеарность видна не сразу. Выразим каждый из них через другие векторы. Заметим, что: вектор ⃗ DC легко выражается через векторы 22 A B C D M N O
⃗ OC и ⃗ OD , а ⃗ MN через векторы ⃗ OM и ⃗ ON , где точка О - точка пересечения АС и ВD. А векторы ⃗ OC и ⃗ ON можно выразить через ⃗ АО и ⃗ OD , ⃗ OM через ⃗ ВО . Отношение длин отрезков диагоналей можно принять равным отношению чисел | АО | ÷ | ОС | = p ÷ q и | BO | ÷ | OD | = m ÷ n (1). Тогда можно выразить вектор ⃗ DC через ⃗ АО и ⃗ ВО последовательными заменами: ⃗ DC = ⃗ OC - ⃗ OD = q p ⃗ АО - n m ⃗ ВО = 1 mp (mq ⃗ АО - np ⃗ ВО ) C другой стороны из параллельности отрезков ВЕ и А D вытекает | АО | ÷ | ON | = | DO | ÷ | OB | = n ÷ m (2). Тогда из равенства (2) и по чертежу следует ⃗ OM = m n ⃗ АО . Аналогично из параллельности отрезков АМ и ВС, следует | ВО | ÷ | ОМ | = | СО | ÷ | АО | = q ÷ p, а значит ⃗ OM = p q ⃗ ВО . Тогда можно выразить вектор ⃗ MN через ⃗ АО и ⃗ ВО последовательными заменами: ⃗ MN = ⃗ ON - ⃗ OM = - p q ⃗ ВО + m n ⃗ АО = 1 nq •(-np ⃗ ВО + mq ⃗ АО ) = 1 nq •( mq ⃗ АО - np ⃗ ВО ) 23
В итоге ⃗ DC = 1 mp (mq ⃗ АО - np ⃗ ВО ) и ⃗ MN = 1 nq •( mq ⃗ АО - np ⃗ ВО ), значит ⃗ DC = k ⃗ MN , что и означает в переводе на геометрический язык параллельность отрезков М N и DС.
6.1.2. Ко второму виду
относятся задачи, в которых доказывается, что некоторая точка делит отрезок в некотором отношении или в частности является его серединой. Для доказательства того, что точка С делит отрезок АВ в некотором отношении | АС | ÷ | СВ | = m ÷ n, достаточно доказать равенство ⃗ АС = m n ⃗ СВ .


Задача 3 . В произвольном четырёхугольнике отрезок, соединяющий середины диагоналей,

проходит через точку пересечения средних линий. Доказать, что отрезок делится ею пополам.

Решение.

Рис.21
Тот факт, что точка О является серединой отрезка EF, можно доказать разными способами, наиболее естественным из них является: 1) Доказать, что ⃗ EP = ⃗ QF , это означает, что EPFQ параллелограмм, и так как EF является его диагональю, то она проходит через точку О и делится ею пополам; 2) Доказать, что ⃗ ЕО = ⃗ OF ; 3) Доказать, что ⃗ QO = 1 2 ( ⃗ ЕО + ⃗ QF ¿ или ⃗ NO = 1 2 ( ⃗ NE + ⃗ NF ); 4) Доказать, что ⃗ CO = 1 2 ( ⃗ CE + ⃗ CF ) или ⃗ DO = 1 2 ( ⃗ DE + ⃗ DF ). Рассмотрим первый способ решения (
см. рис.21
), который в данном случае является и самым простым. В ∆ АВС отрезок EP является средней линией 24 A M B P C N D D F E O
треугольника, а значит ⃗ EP = 1 2 ⃗ АВ . В ∆ АВD отрезок QF средняя линия треугольника, а значит ⃗ QF = 1 2 ⃗ АВ . Приходим к тому, что ⃗ EP = 1 2 ⃗ АВ и ⃗ QF = 1 2 ⃗ АВ , т.е. ⃗ EP = ⃗ QF , это означает, что EPFQ параллелограмм, и так как EF является его диагональю, то она проходит через точку О и делится ею пополам и задача решена.
Задача 4. В параллелограмме АВС Dсторона АD разделена на n равных частей и первая точка

деления соединена с вершиной В. На какие части делит полученная прямая диагональ АС?

Решение.

Рис.22
Пусть ⃗ DC = ⃗ b , ⃗ DA = ⃗ a и ⃗ AP = α ⃗ AC (
см. рис.22
). Выразим ⃗ AP двумя способами через вектора ⃗ a и ⃗ b : 1) ⃗ AP = α ⃗ AC = α ( ⃗ b - ⃗ a ) = α ⃗ b - α ⃗ a ; 2) ⃗ AP = ⃗ AK + ⃗ KP = - 1 n ⃗ a + α ⃗ KB = - 1 n ⃗ a + α ( 1 n ⃗ a + ⃗ b ) = α − 1 n ⃗ a + α ⃗ b . С учетом ⃗ KP = α ⃗ KB , т.т. ∆ APR ∆ BPC . 25 A B C D K P
Получили ⃗ AP = α ⃗ b - α ⃗ a и ⃗ AP = α − 1 n ⃗ a + α ⃗ b . Тогда по теореме о единственности представления вектора через два неколлинеарных вектора имеем: α − 1 n = - α , выразим α из полученного равенства, получим α = 1 n + 1 . Это значит, что отрезок AP составляет (n+1) часть отрезка АС.
6.1.3. К задачам третьего вида
отнесем те, в которых требуется доказать принадлежность трёх точек одной прямой. Эти задачи можно было бы рассматривать как частные случаи задач предыдущего второго вида. Но они имеют некоторую специфику решения в связи с использованием условия коллинеарности для трёх точек.


Задача5. На стороне АВ

АВС дана точка P через которую проведены параллельные

прямые его медианам АМ

1

и ВМ

2

и пересекающие соответственные стороны треугольника в

точках А

1

и В

1

. Доказать , что середина отрезка А

1

В

1

точка Е, а так же и точка P и точка G –

точка пересечения медиан лежат на одной прямой.
Изменим заключение задачи таким образом, чтобы можно было применить векторный метод решения задачи. Для некоторой точки Q установить, что ⃗ QE = k ⃗ QP + (1- k) ⃗ QG – условие принадлежности трёх точек одной прямой. [Выведем условие принадлежности трёх точек одной прямой: Для того чтобы точки А, В и С принадлежали одной прямой необходимо и достаточно, чтобы для полюса Q выполнялось равенство: ⃗ QC = p ⃗ QA + q ⃗ QB , где p + q = 1
.
Доказательство: пусть точки А, В и С принадлежат одной прямой, тогда | АС | ÷ | СВ | = m ÷ n , ⇒ | АС | ÷ | СВ | = m ÷n ⇔ ⃗ QC = m m + n ⃗ QA + n m + n ⃗ QB ⇔ { ⃗ QC = p ⃗ QA + q ⃗ QB , p + q = 1 } . Что и требовалось доказать.]
Решение.
26

Рис.23
Пусть точка Q совпадает с точкой С (
см. рис.23
), тогда векторы ⃗ CP , ⃗ CE , ⃗ CG легко выражаются через вектора ⃗ CA и ⃗ CB . Действительно пусть | AP | ÷ | PB | = m ÷n (
1
), тогда | А В 1 | ÷ | В 1 С | =¿ m ÷ ( m + n + m) = m ÷ (2n + m) (
2
). Т.к точка М 2 середина отрезка АС и | В А 1 | ÷ | A 1 C | = n÷ ( m + m + n ) = n÷ ( 2m + n ) (
3
), т.к. М 1 середина отрезка ВС. Из свойства центра тяжести вытекает: ⃗ CG = 2 3 • 1 2 ( ⃗ CA + ⃗ CB ) = 1 3 ( ⃗ CA + ⃗ CB )
(4)
Из (2) и (3), ⇒ ⃗ С В 1 = 2 n + m 2 ( m + n ) ⃗ СА и ⃗ С А 1 = 2m + n 2 ( m + n ) ⃗ СВ . Т.к. точка Е середина отрезка А 1 В 1 , ⇒ ⃗ CE = 1 2 ( ⃗ С В 1 + ⃗ С А 1 ) = 1 2 ( 2n + m 2 ( m + n ) ⃗ СА + 2m + n 2 ( m + n ) ⃗ СВ ) = 1 4 ( 2 n + m ( m + n ) ⃗ СА + 2 m + n ( m + n ) ⃗ СВ ), т.е. ⃗ CE = 1 4 ( 2 n + m ( m + n ) ⃗ СА + 2 m + n ( m + n ) ⃗ СВ )
(5).
По теореме о делении отрезка в данном отношении имеем: ⃗ CP = n m + n ⃗ СА + m m + n ⃗ СВ
(6).
Чтобы связать ⃗ CP , ⃗ CE , ⃗ CG преобразуем вектор ⃗ CE : 27 A1 P E B1 C G A M1 M2
⃗ CE = 1 4 ( 2 n + m ( m + n ) ⃗ СА + 2 m + n ( m + n ) ⃗ СВ ) = ( m + n ) + n ( m + n ) ⃗ СА 1 4 ¿ + ( m + n ) + m ( m + n ) ⃗ СВ ) = 1 4 ( ⃗ СА + n m + n ⃗ СА + ⃗ СВ + m m + n ⃗ СВ ¿ = 1 4 ( ⃗ СА + ⃗ СВ + n m + n ⃗ СА + m m + n ⃗ СВ ¿= { применяя равенства ( 4 ) и ( 6 ) , получаем } = 1 4 (3 ⃗ CG + ⃗ CP ¿ = 3 4 ⃗ CG + 1 4 ⃗ CP , т.е. ⃗ CE = 3 4 ⃗ CG + 1 4 ⃗ CP , а т.к. 3 4 + 1 4 = 1, то точки E, P, G принадлежат одной прямой и | EG | ÷ | PE | = 1÷ 3 .
Задача решена.
Рассмотренные выше виды аффинных задач на плоскости далеко не исчерпывают всего многообразия задач, но они образуют самые многочисленные группы задач, что оправдывает их специальное рассмотрение.
6.2. Метрические задачи.
При решении метрических задач используют скалярное произведение векторов. Приведем примеры.
Задача 6. Докажите, что высоты произвольного треугольника пересекаются в одной точке.

Решение.

Рис.24

1)
Пусть AP, BQ высоты треугольника ∆ ABC , т.е. AP │ BC и BQ │ СА, и точка О – точка пересечения высот AP, BQ;
2)
⃗ ОА = ⃗ a , ⃗ ОВ = ⃗ b , ⃗ ОС = ⃗ c и точка L – точка пересечения ОС и АВ. (
см. рис.24
)
3)
Поопределению разности векторов: ⃗ АВ = ⃗ b - ⃗ a , ⃗ BC = ⃗ c - ⃗ b , ⃗ СА = ⃗ a - ⃗ c . 28 A B C P L Q O

4)
Т . к . ⃗ ОА │ ⃗ BC , ⇒ ⃗ a • ( ⃗ c - ⃗ b ) = 0, ⃗ a ⃗ c - ⃗ a ⃗ b = 0, т.е. ⃗ a ⃗ c = ⃗ a ⃗ b (1)
5)
Т.к. ⃗ ОВ │ ⃗ СА , ⇒ ⃗ b • ( ⃗ a - ⃗ c ) = 0, ⃗ b ⃗ a - ⃗ b ⃗ c = 0, т.е. ⃗ b ⃗ a = ⃗ b ⃗ c (2)
6)
Учитывая переместительное свойство скалярного произведения векторов и равенства (1) и (2), получим ⃗ a ⃗ c = ⃗ b ⃗ c или ⃗ b ⃗ c = ⃗ a ⃗ c , т.е. ⃗ c • ( ⃗ b - ⃗ a ¿ = 0, ⇒ ⃗ ОС │ ⃗ АВ .
7)
Итак, учитывая, что ОС часть отрезка LС, делаем заключение, что LС высота треугольника ∆ ABC и все высоты произвольного треугольника пересекаются в одной точке.
Задача 7 . Пользуясь определением скалярного произведения вывести формулу косинуса разности

двух углов.

Решение.

Рис.25
В плоскости хО y возьмём два единичных вектора ⃗ a 0 и ⃗ b 0 . Обозначим через α и β числовые значения углов, образуемые вектором ⃗ е 1 с векторами ⃗ a 0 и ⃗ b 0 , тогда φ = ( ^ ⃗ a 0 , ⃗ b 0 ) = α – β (
см. рис. 25
). Векторы ⃗ a 0 и ⃗ b 0 имеют 29
x

y

O

координаты: ⃗ a 0 ( cosα ; sinα ) и ⃗ b 0 ( cosβ ; sinβ ) . Составим скалярное произведение векторов ⃗ a 0 и ⃗ b 0 , т . е . ⃗ a 0 • ⃗ b 0 = | ⃗ a 0 | • | ⃗ b 0 | cos ( ^ ⃗ a 0 , ⃗ b 0 ) = 1 • 1 • cosφ = cos ( α – β ¿
(1).
С другой стороны скалярное произведение этих векторов равно: ⃗ a 0 • ⃗ b 0 = cosα cosβ + sinα sinβ
(2)
. Из
(1)
и
(2)
, ⇒ cos
(
α

β ¿
=
cosα cosβ
+
sinα sinβ
.

Задача 8. Велосипедист едет со скоростью v = 15 км/ч в северном направлении и ему кажется,

что ветер, скорость которого v

1

= 9км/ч, дует откуда то с северо-востока направлен почти

навстречу ему под углом
α
= 15

0

к линии его движения. Требуется определить истинное

направление ветра.

Решение.

Рис.26
Велосипедиста обувает два потока воздуха: встречный, движущийся со скорость его движения v = 15 км/ч, и косой со скоростью v 1 = 9км/ч. При движении велосипедист ощущает суммарный результат движения этих двух потоков, т.е. v 2 = v + v 1 (
см. рис.26
). Ему кажется, что ветер дует под углом α = 15 0 , поэтому угол между v 2 и v равен α = 15 0 , истинное же направление ветра к направлению велосипедиста составляет угол φ = α + β . Из ∆OAB , применяя свойство параллелограмма о равенстве противолежащих сторон и ∆OCB по теореме синусов найдем угол β : v 1 sinα = v sinβ , ⇒ sinβ = v v 1 sinα = 9 15 sin 15 0 30 O A B C
= 0,431, ⇒ угол β = 25 0 30 / , значит угол φ = α + β = 15 0 + 25 0 30 / = 40 0 30 / .
Ответ:
φ
= 40

0

30

/

.

Рассмотренные примеры задач показывают
, что векторный метод является весьма мощным средством решения не только геометрических задач, но и многих физических и технических. Для применения данного метода обучающим необходимо: 1) Заинтересовать обучающих, показать им эффективность его использования на специально подобранных задачах и теоремах. 2) Обучить обучающих некоторым алгоритмам (системе определённых правил, помогающих найти ключ к решению задачи), которые помогают сформировать учебные действия. 3) Обучать этому методу на достаточно простых по геометрическому содержанию задачах, чтобы не отвлекать внимание на трудности чисто геометрического содержания. В частности полезно использовать его для решения планиметрических задач. Следует иметь в виду, что векторный метод не является универсальным и к решению некоторых задач он может быть неприемлем или малоэффективным.
6.3. Таблица переводов условий задач на векторный язык:
Что требуется доказать на геометрическом языке Что достаточно доказать на векторном языке Параллельность a││b ⃗ AB = k ⃗ CD , где отрезок [ AB ] ⊂ a, отрезок [ CD ] ⊂ b, k = число; в зависимости от выбора [ AB ] и [ CD ] возникают различные векторные соотношения, среди которых выбираются подходящие. A , B , C ∈ а (принадлежность трёх точек одной прямой) а) установить справедливость одного из условий ⃗ AB = k ⃗ BC , ⃗ AC = k ⃗ BC , ⃗ AC = k ⃗ AB ; б) доказать равенство ⃗ QC = p ⃗ QA + q ⃗ QB , p + q = 1 , Q произвольная точка; 31
в) доказать равенство α ⃗ QA + β ⃗ QB + γ ⃗ QC = 0, α + β + γ = 0, Q произвольная точка. C ∈ [ AB ] , | АС | ÷ | СВ | = m ÷n деление отрезка в данном отношении а) ⃗ АС = m n ⃗ СВ ; б) ⃗ QC = n m + n ⃗ QA + m m + n ⃗ QB , где Q произвольная точка. a│b (перпендикулярность) ⃗ А B • ⃗ С D = 0, где A ∈ а, B ∈ а, C ∈ b, D ∈ b Вычислить длину отрезка а) выбрать два неколлинеарных базисных вектора, у которых известны длины и величина угла между ними; б) разложить по ним вектор, длина которого вычисляется; в) найти скалярный квадрат этого вектора, используя равенство ⃗ a 2 = │ ⃗ a │ 2 = a 2 . Вычислить величину угла а) выбрать два неколлинеарных базисных вектора, у которых известны длины и величина угла между ними; б) выбрать векторы задающий искомый и разложить их по базисным векторам; в) вычислить cos( ^ ⃗ a; ⃗ b ) = ⃗ a ∙ ⃗ b | ⃗ a | ∙ | ⃗ b | .
6.4. Этапы работы с чертежом при поиске решения задач векторным методом
. При поиске решения полезно выполнить чертеж, хотя не всегда это необходимо. Всё зависит от задачи и её условия. Для поиска верных векторных соотношений, посредством которых можно решить задачу, часто оказывается полезным на чертеже: а) выделить замкнутую ломаную (многоугольник) выразив при этом один вектор через сумму нескольких векторов (для треугольника удобнее через разность двух векторов); б) выявить параллельные прямые; в) выявить перпендикулярные прямые; г) установить наличие конгруэнтных отрезков, для чего достаточно отыскать переменные, переводящие один отрезок в другой; д) установить наличие отрезков, длины которых находятся в известном отношении, для чего достаточно отыскать композицию перемещения и гомотетии, переводящую один отрезок в другой. 32

п.6.5. Примеры решений некоторых задач.



Задача 9. В треугольнике ABC точка М – точка пересечения медиан. Выразите вектор AM

через вектора АВ и АС ( см.рис. 27).

Решение.

Рис.27

1 способ
: Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, поэтому ⃗ АМ = 2 3 ⃗ АК = ( ⃗ АВ + ⃗ ВК ) = 2 3 ( ⃗ АВ + 1 2 ⃗ ВС ) = 2 3 ( ⃗ АВ + 1 2 ( − ⃗ АВ + ⃗ АС ) ) = 1 3 ⃗ АВ + 1 3 ⃗ АС = 1 3 ( ⃗ АВ + ⃗ АС ).
2 способ:
Достроим треугольник ∆ ABC до параллелограмма ABDC, тогда ⃗ AM = 2 3 ⃗ АК , но ⃗ АК = 1 2 ⃗ AD = 1 2 ( ⃗ АВ + ⃗ АС ). Получаем, что ⃗ AM = 1 3 ( ⃗ АВ + ⃗ АС ).
Ответ:
⃗ AM
=
1 3
(
⃗ АВ + ⃗ АС
).

Задача 10. В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точке F.

Известно, что AF = CF = 2, BF = 1, DF = 4, угол BFC =
π
/3. Найти косинус угла между

векторами
⃗ АВ
и
⃗ DC
(см. рис. 28).

Решение.
33

Рис.28
Пусть φ – искомый угол между векторами ⃗ АВ и ⃗ DC , тогда cos φ = ⃗ АВ • ⃗ DC | ⃗ АВ | • | ⃗ DC | Пользуясь свойствами скалярного произведения векторов и условиями задачи, вычислим | ⃗ АВ | , | ⃗ DC | и ⃗ АВ • ⃗ DC . Так как ⃗ АВ = ⃗ AF + ⃗ FB и ⃗ DC = ⃗ DF + ⃗ FC , тогда ⃗ АВ • ⃗ DC = ( ⃗ AF + ⃗ FB ) • ( ⃗ DF + ⃗ FC ) = ⃗ AF • ⃗ DF + ⃗ AF • ⃗ FC + ⃗ FB • ⃗ DF + ⃗ FB • ⃗ FC = | ⃗ AF | • | ⃗ DF | cos BFC { учитываем, что угол BFC = углу AFD − каквертикальные } + | ⃗ AF | • | ⃗ FC | cos 0 0 + | ⃗ FB | • | ⃗ DF | cos0 0 + | ⃗ FB | • | ⃗ FC | cos BFC = 2 • 4 • 1 2 + 2 • 2 •1 + 1 • 4 • 1 + 1 • 2 • 1 2 = 13, значит ⃗ АВ • ⃗ DC = 13. По теореме косинусов из треугольника А FB получим АВ 2 = AF 2 + FB 2 - 2 AF• FB cos ^ ( AF ; FB ) , но cos ^ ( AF; FB ) = cos AFB = cos ( 180 0 − угол BFC ) = - cos BFC = - cos ( π /3) = - 1 2 , тогда получаем АВ 2 = 2 2 + 1 2 – 2 • 2 • 1 • ( − 1 2 ) = 7. В итоге АВ 2 , а значит АВ = √ 7 По теореме косинусов из треугольника DFC получим DC 2 = DF 2 + FC 2 – 2 DF • FC cos DFC , но cos DFC = cos ( 180 0 − угол BFC ) = - cos BFC = - cos ( π /3) = - 1 2 , тогда получим DC 2 = 4 2 + 2 2 – 2 • 4 • 2 • ( − 1 2 ) = 28. В итоге DC 2 = 28, а значит DC = √ 28 = √ 4 • 7 = 2 √ 7 . Теперь получаем, что cos φ = ⃗ АВ • ⃗ DC | ⃗ АВ | • | ⃗ DC | = 13 √ 7 • 2 √ 7 = 13 14 .
Ответ:
cos φ = 13 14
.
34



Задача 11 . Дана прямоугольная трапеция с основаниями

a и

b. Найдите расстояние между

серединами ее диагоналей.

Решение.

Рис.29
1. Введем систему координат как указано на
рисунке 29
. Тогда вершины трапеции будут иметь координаты: A(0,0), B(0,y), C(b,y) и D(a,0). (Здесь y – высота трапеции). 2. Найдем координаты середин диагоналей, используя формулу нахождения середины отрезка через координаты его концов и учитывая, что середина делит отрезок в отношении � =1. Для точки О: 00 ; 2222 OO bbyy xy ++ ==== , т.е. О( x 0 ; y 0 ¿ =O ( b 2 ; y 2 ) . Для точки О 1 : 11 00 ; 2222 OO aayy xy ++ ==== , т.е. O 1 ( x 0 1 ; y 0 1 ¿=¿ О 1 ( a 2 ; y 2 ) . 3. По формуле расстояние между точками найдем искомое расстояние между точками О и О 1 : 22 1 22222 abyyab OO - æöæö =-+-= ç÷ç÷ èøèø .
Ответ:
1 2 ab OO - =
.

Замечание
. Мы вводили в рассмотрение неизвестную нам высоту трапеции y. Но на этапе вычислений она сократилась.


Задача 12. Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 160 см, а

основание треугольника равно 80 см. Найдите две другие медианы этого треугольника.

Решение.

Рис.30
1. Введем прямоугольную систему координат так, как показано на
рисунке 30
. В этой системе вершины треугольника будут иметь координаты: А(-40,0), В(0, 160), С(40,0), а точка М 2 (0,0). Используя, формулы найдем координаты середин двух других сторон. Для М 3 получим: 33 0(40)1600 20;80 22 MM xy +-+ ==-== , т.е. М 3 (-20;80) Для М 1 аналогично находим: 11 0401600 20;80 22 MM xy ++ ==== т.е. М 1 (20;80) 35 A B C D O O1 b a
x

y

2. Вычислим длины отрезков АМ 1 и СМ 3 , используя формулу расстояния между точками: Для АМ 1 получим: 22 1 (20(40))(800)100() AMсм =--+-= . Для СМ 3 получим: | С М 3 | = √ ( − 20 − 40 ) 2 + ( 80 − 0 ) 2 = 100 (см).
Ответ:
13 100() AMCM см ==
.



Задача 13. В прямоугольном равнобедренном треугольнике проведены медианы острых углов.

Вычислите косинус угла между ними.

Решение.

Рис.31.

1.
Введем систему координат так, как показано на
рисунке 31
. В этом случае вершины треугольника АВС будут иметь координаты: С(0,0), А( а,0), В(0,а), а середины катетов: В 1 ( a 2 ; 0 ) и А 1 ( 0 ; a 2 ) (Здесь а – длина катета.)
2.
По формуле вычислим координаты векторов ⃗ A A 1 , ⃗ B B 1 : ⃗ A A 1 ( 0 − a ; a 2 − 0 ) = ( − a ; a 2 ) , ⃗ B B 1 ( a 2 − 0 ; 0 − a ) = ( a 2 ; − a )
3.
Теперь используем формулу для вычисления косинуса угла между векторами через координаты векторов получим: cos ( ^ ⃗ А А 1 ; ⃗ В В 1 ) = ( − a ) • a 2 + a 2 • ( − a ) √ ( − a ) 2 + ( a 2 ) 2 √ ( a 2 ) 2 + ( − a ) 2 = - 4 5 . (Этот угол совпадает с углом между медианами
). Ответ: -
4 5
.

Глава 4. Заключение.

п.7. Цели изучения векторного метода в средней школе:
 Дать эффективный метод решения различных геометрических задач (как аффинных, так и метрических) и доказательства теорем;  Показать широкое применение векторного аппарата в других областях знаний: технике, физике, химии, лингвистике – и на базе этого форматировать у учащихся диалектико- материалистическое мировоззрение;  Использовать векторный метод при решении задач с целью форматирования у учащихся выполнять обобщение и конкретизацию;  Формировать у учащихся такие качества мышления, как гибкость (нешаблонность), целенаправленность, рациональность, критичность и др. 36
y
C B B1 A 1
x
A
И вот, наконец, то, мы добрались до самого главного вопроса, который возникает при изучении геометрии:
как решать задачи на ЕГЭ и ОГЭ?
Как правило, задание заключается в поиске углов между прямыми, плоскостями, или между прямой и плоскостью. Или поиск синуса, косинуса или тангенса этого угла. Часто в этом задании просят найти расстояние между точками, прямыми, или прямой и плоскостью. Существует три основных метода решения задач C2 из ЕГЭ по математике. Условно назовем их «методом построений», «векторным методом» и «методом объемов». Каждый из них удобен в том или ином случае, поэтому лучше знать и уметь использовать все три. Мы рассмотрели только малую часть тех задач, для которых можно применить решение векторным методом, но даже эта работа уже дает представление о возможностях этого метода и применение его не только в планиметрии, а так же и в стереометрии. Вы готовы продолжить осваивать векторный метод при решении стереометрических задач? Всё в ваших руках. Желаю успеха!
Список литературы.
1. В.Г. Болтянский, И.М. Яглом «Векторы в школьном курсе геометрии». Пособие для учителей 1962г; 2. Энциклопедия элементарной математики том4 Геометрия М.,1963 3. Методика преподавания геометрии в старших классах средней школы под редакцией А.И.Фетисова. Пособие для учителей М., Просвещение. 1997г 4. В.М. Майоров, З.А. Скопец «Векторное решение геометрических задач». Для студентов- заочников физмат пед.институтов. М.: Просвещение, 1967г 5. А.А. Столяр «Педагогика математики» М.: Просвещение,1988г 6. Методика преподавания математики в средней школе под редакцией В.И. Мишина, М.:Просвещение,1987г 7. Лабораторные и практические работы по геометрии под редакцией Е.И.Лященко, М.: Просвещение,1988г 8. В.А. Гусев «Векторы в школьном курсе геометрии» М., Просвещение 1999г 9. Н.Н. Никитин «Сборник задач по геометрии для 6-8 классов», М.: Просвещение, 1971г 10. К.С. Барыбин «Геометрия 9-11 класс» М., Просвещение, 1973г 11. Толковый словарь Ожегова; Словарь иностранных слов; словарь Кольера; Большой российский энциклопедический словарь. 12. «Геометрия 7-9» А.В. Погорелов М., Просвещение 2008г 13. «Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян, М., Просвещение 2010г 14. «Геометрия 7-9» А.Ф. Смирнова, 2-е изд., испр.-М.:2007 15. «Геометрия 7-9» И.Ф. Шарыгин, М., Просвещение 2012г 16. Е.М. Савченко «Уроки геометрии с применением информационных технологий 7-9 класс» М., Планета 2015. 17. А.А. Хасанов, Р.П. Ушаков «Планиметрия». Поддержка обучения через интернет, ООО «Физикон» 2001г 18. А.Н. Чудовский, Л.А. Сомова «Проверь свои знания по геометрии» М., Просвещение.1987г 37
19. Л.М. Лоповок «Факультативные занятия по геометрии 7-11 класс» Киев, «Радянська школа» 1990 38