Автор: Черняева Наталья Николаевна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: маоу лицей №12
Населённый пункт: город Екатеринбург
Наименование материала: методическая разработка
Тема: Метод координат.Задание№14.ЕГЭ.Математика.Профильный уровень.
Векторы в пространстве и метод координат.
Существует два способа решения задач по стереометрии.
Первый – классический, требующий отличного знания аксиом и
теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести
объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает
мозги и пространственное мышление.
Другой метод – применение векторов и координат. Это простые
формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до
экзамена мало, а решить задачу№14 хочется.
Перед решением стереометрических задач координатно-векторным
методом стоит запомнить следующие формулы:
1.
Нахождение расстояния между двумя точками, заданными своими
координатами.
d
=
√
(
x
2
−
x
1
)
2
+
(
y
2
−
y
1
)
2
+
(
z
2
−
z
1
)
2
, где
d
=
AB ,
A
(
x
1
; y
1
; z
1
)
, B
(
x
2
; y
2
; z
2
)
2.
Нахождение координаты середины
С
(
x ; y ; z
)
отрезка
AB
,
A
(
x
1
; y
1
; z
1
)
, B
(
x
2
; y
2
; z
2
)
x
=
x
1
+
x
2
2
y
=
y
1
+
y
2
2
z
=
z
1
+
z
2
2
3.
Нахождение косинуса а, следовательно, и самого угла, между двумя
векторами, заданными своими координатами.
cos
(
^
⃗
a ,
⃗
b
)
=
x
1
x
2
+
y
1
y
2
+
z
1
z
2
√
x
1
2
+
y
1
2
+
z
1
2
√
x
2
2
+
y
2
2
+
z
2
2
, где
⃗
а
{
x
1
; y
1
; z
1
}
,
⃗
b
{
x
2
; y
2
; z
2
}
.
4.
Координаты
x , y , z
точки М, которая делит отрезок
M
1
M
2
ограниченный
точками
M
1
(
x
1
; y
1
; z
1
)
, M
2
(
x
2
; y
2
; z
2
)
, в отношении
λ
, определяется по
формулам
x
=
x
1
+
λ x
2
1
+
λ
y
=
y
1
+
λ y
2
1
+
λ
z
=
z
1
+
λ z
2
1
+
λ
.
Нахождение угла между скрещивающимися прямыми.
Угол между скрещивающимися прямыми называется угол между
двумя прямыми, параллельными им и проходящими через произвольную
точку. Градусная мера угла располагается в диапазоне от 0
°
до 90
° .
Данный угол между двумя прямыми равен углу между их
направляющими векторами. Таким образом, если нам удастся найти
координаты направляющих векторов
⃗
а
(
x
1
; y
1
; z
1
¿
и
⃗
b
(
x
2
; y
2
; z
2
)
,
то сможем
найти угол. Точнее, косинус угла по формуле:
_________________________________________________________________
_
cos
(
φ
)
=
|
⃗
a ·
⃗
b
|
|
⃗
a
|
·
|
⃗
b
|
=
|
x
1
· x
2
+
y
1
· y
2
+
z
1
· z
2
|
√
x
1
2
+
y
1
2
+
z
1
2
·
√
x
2
2
+
y
2
2
+
z
2
2
_________________________________________________________________
_
Алгоритм решения задач на нахождение угла между скрещивающимися
прямыми:
1.
На рисунке изображаем указанные в задаче прямые (которым придаём
направление, т.е. вектора)
2.
Вписываем фигуру в систему координат
3.
Находим координаты концов векторов
4.
Находим координаты векторов
5.
Подставляем в формулу «косинус угла между векторами»
6.
После чего (если требуется в задаче), зная косинус, находим значение
самого угла.
Для того чтобы лучше понять алгоритм решения данных типов задач,
рассмотрим решение одной из них.
Задача.
В кубе ABCD
A
1
B
1
C
1
D
1
точки Е и К - середины рёбер соответственно
A
1
B
1
и B
1
C
1
.
Найдите косинус угла между прямыми АЕ и ВК.
Решение:
Прямые АЕ и ВК –
скрещиваются. Найдём угол между
векторами
⃗
AE
и
⃗
BK
. Для этого
нужны их координаты.
А (0; 0; 0)
B (1; 0; 0)
E (
1
2
; 0; 1)
K (1;
1
2
; 1)
Запишем координаты
векторов:
⃗
AE
(
1
2
; 0; 1)
⃗
BK
(0;
1
2
; 1)
и найдём косинус угла
между векторами
⃗
АЕ
и
⃗
ВК :
cos
(
φ
)
=
|
⃗
AE ·
⃗
BK
|
|
⃗
AE
|
·
|
⃗
BK
|
=
|
1
2
· 0
+
0 ·
1
2
+
1· 1
|
√
(
1
2
)
2
+
0
2
+
1
2
·
√
0
2
+(
1
2
)
2
+
1
2
=
2
√
5
Ответ
:
2
√
5
.
Плоскость в пространстве задаётся уравнением:
Ах+Вy+Сz+D=0
Здесь числа А, В и С – координаты вектора, перпендикулярного этой
плоскости. Его называют нормалью к плоскости.
Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не
лежащие на одной прямой, поэтому для того, чтобы написать уравнение
плоскости, берём координаты трёх принадлежащих ей точки. Подставляем
их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную cистему.
Решение:
Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки М (1; 0; 1), N
(2; -2; 0) и К (4; 1; 2)
Уравнение плоскости выглядит так:
Ах + Вy + Сz + D = 0
Подставим в него по очереди координаты точек М, N и К.
Для точки М:
А
·
1 + В
·
0 + С
·
1 + D = 0. То
есть А + С + D = 0
Для точки N:
А
·
2 + В
·
(−
2
)
+ С
·
0 + D = 0.
2 А - 2 В + D = 0
Аналогично для точки К:
4 А + В + 2 С + D = 0
Получим систему из трёх уравнений:
{
A
+
C
+
D
=
0
2 А
−
2 B
+
D
=
0
4 A
+
B
+
2 С
+
D
=
0
В ней четыре неизвестных: А, В, С и
D .
Поэтому одну из них мы выберем
сами, а другие выразим через неё. Правило простое – вместо одной из
переменных можно взять любое число, не равное нулю.
Пусть, например,
D
=−
2. Тогда :
{
А
+
С
−
2
=
0
2 А
−
2 В
−
2
=
0
4 А
+
В
+
2 С
−
2
=
0
{
А
+
С
=
2
2 А
−
2 В
=
2
4 А
+
В
+
2 С
=
2
Выразим С и В через А и подставим в третье уравнение:
{
С
=
2
−
А
В
=
А
−
1
4 А
+
А
−
1
+
4
−
2 А
=
2
Решив систему, получим:
А
=
−¿
1
3
,
В =
−¿
4
3
,
D
=
7
3
Уравнение
плоскости МNК имеет
вид:
−¿
1
3
x
−¿
4
3
y
+
7
3
z
−
2
=
0
.
Умножим обе части
уравнения на – 3. Тогда
коэффициенты
станут целыми:
x
+ ¿
4 y
−
7 z
+
6
=
0
.
Вектор
⃗
n
{1; 4;
−¿
7} – это нормаль к плоскости МNК.
Ответ:
x
+ ¿
4 y
−
7 z
+
6
=
0
уравнение плоскости ,проходящей через три точки.
Угол между плоскостями.
Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим
плоскостям:
cos φ
=
|
⃗
n
1
∙
⃗
n
2
|
|
⃗
n
1
|
∙
|
⃗
n
2
|
Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется
четыре угла.
.
Мы берём меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль
скалярного произведения – чтобы косинус угла был неотрицателен.
Задача.
В кубе ABCD
A
1
B
1
C
1
D
1
точки Е и F – середины рёбер соответственно
A
1
B
1
и
А
1
D
1
.
Найдите косинус угла между плоскостями АЕF и ВD
D
1
.
Решение:
Отметим координаты нужных нам точек и найдём угол между
нормалями к плоскостям АЕF и ВD
D
1
.
Сначала – нормаль к плоскости ВD
D
1
. Конечно, мы можем подставить
координаты точек В, D
и D
1
в уравнение плоскости и найти коэффициенты,
которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее
– увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость ВD
D
1
– это
диагональное сечение куба. Вектор
⃗
AC
перпендикулярен плоскости (ВD
D
1
¿
.
⃗
n
1
=
⃗
AC
{1; 1; 0}
Напишем уравнение плоскости АЕF.
А(0; 0; 0) , E(
1
2
; 0; 1), F(0;
1
2
; 1)
Берём уравнение плоскости Ах + Вy + Сz + D = 0 и по очереди
подставляем в него, вместо x, y, и z, соответствующие координаты
точек А, Е и F.
А
0
·
А + 0
·
B + 0
·
C + D = 0
E
1
2
·
А + 0
·
B + 1
·
C + D = 0
F
0
·
А +
1
2
·
B + 1
·
C + D = 0
Упростим систему:
{
D
=
0
1
2
А
+
C
=
0
1
2
B
+
C
=
0
Пусть С =
−¿
1. Тогда А = В =2.
Уравнение
плоскости АЕF: 2х +
2y
−¿
z = 0.
Нормаль к плоскости АЕF:
⃗
n
{2; 2;
−¿
1}.
Найдём угол между плоскостями:
cos φ
=¿
2
+
2
∨
¿
√
2∙
√
9
¿
=
4
√
2 ∙ 3
=
2
√
2
3
.
Ответ:
cos φ
=¿
2
+
2
∨
¿
√
2∙
√
9
¿
=
4
√
2 ∙ 3
=
2
√
2
3
.
Нахождение угла между прямой и плоскостью.
Прежде чем переходить к алгоритму решения данного типа заданий
вспомним, что же является углом между прямой и плоскостью.
Углом между плоскостью и не перпендикулярной к ней прямой
называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную
плоскость.
Итак, для того чтобы найти угол между прямой и плоскостью
методом координат понадобиться формула:
__________________________________________________________________
_
sin φ
=
|
⃗
n ∙
⃗
a
|
|
⃗
n
|
∙
|
⃗
a
|
или
sin φ
=
|
x
1
· x
2
+
y
1
· y
2
+
z
1
· z
2
|
√
x
1
2
+
y
1
2
+
z
1
2
·
√
x
2
2
+
y
2
2
+
z
2
2
где
⃗
n
{
x
1
; y
1
; z
1
}
– вектор нормали к плоскости α,
⃗
p
{
x
2
; y
2
; z
2
}
– направляющий вектор прямой l.
__________________________________________________________
Алгоритм решения задач на нахождения угла между прямой и
плоскостью:
1.
На рисунке изображаем указанные в задаче прямую и плоскость
(прямой придаем направление, т.е. вектор);
2.
Вписываем фигуру в систему координат;
3.
Находим координаты концов направляющего вектора;
4.
Находим координаты вектора (рассмотрено ранее);
5.
Находим координаты вектора нормали к плоскости (рассмотрено
ранее);
6.
Подставляем в формулу «синус угла между прямой и плоскостью»;
7.
После чего (если требуется в задаче), зная синус, находим значение
самого угла.
8.
Задача:
В кубе ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
точка Е – середина ребра
A
1
B
1
.
Найдите синус угла
между прямой АЕ и плоскостью
BD D
1
.
Решение
: Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат.
A (1; 0; 0), Е(1;
1
2
; 1
¿
.
Находим координаты вектора
⃗
AE
{
0 ; 0,5 ;1
}
.
Нужно ли нам уравнение плоскости
BD D
1
?
В общем-то без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является
диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор,
ей перпендикулярный. Например вектор
⃗
AC
{
1;
−
1 ; 0
}
.
Найдем угол между прямой и плоскостью:
sin φ
=
|
⃗
AC ∙
⃗
AE
|
|
⃗
AC
|
∙
|
⃗
AE
|
=
2
2 ∙
√
2∙
√
5
=
1
√
10
Ответ:
1
√
10
.
Нахождение расстояния от точки до плоскости.
Расстоянием от точки до плоскости, не содержащей точку, есть длина
отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
Итак,
для
того,
чтобы
найти
расстояние от точки до плоскости нам
необходимо найти координаты точки, и
координаты нормали данной плоскости.
После чего воспользоваться следующей
формулой:
______________________________________________________________
p
(
M , α
)
=
|
А x
0
+
В y
0
+
С z
0
+
D
|
√
a
2
+
b
2
+
c
2
где
M
¿
;
y
0
; z
0
¿
, плоскость
α
задана уравнением
А x
+
Вy
+
С z
+
D
=
0.
__________________________________________________________
Алгоритм решения задач на нахождение расстояния от точки
до плоскости:
1.
На рисунке изображаем указанные в задаче прямые ( которым
придаем направление, т.е. вектора).
2.
Вписываем фигуру в систему координат.
3.
Находим координаты точек (данной и трех точек плоскости).
4.
Составляем уравнение плоскости.
5.
Находим координаты вектора нормали.
6.
Подставляем в формулу «расстояние от точки до плоскости».
7.
Задача.
В основании прямоугольного параллелепипеда
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB =
√
10
, AD =
3
√
10
. Высота параллелепипеда AA
1
=
6
√
5
. Найдите
расстояние от точки A до плоскости A
1
DB.
Решение: Построим чертеж и выпишем координаты точек:
A (0; 0; 0), A
1
(0; 0;
6
√
5
), B (
√
10
; 0; 0), D (0;
3
√
10
; 0).
Запишем уравнение плоскости A
1
DB.
Вы помните, как это делается – по очереди подставляем координаты
точек A
1
, D, и B в уравнение
Ax + By + Cz + D=0.
A
1
6
√
5
С + D = 0
D
√
10
A+D = 0
B
3
√
10
B + D = 0.
{
6
√
5
С
+
Д
=
0
√
10 А
+
Д
=
0
3
√
10 В
+
Д
=
0
Решим эту систему.
Выберем D =
−
6
√
10
. Тогда С =
5
√
2
, A = 6, B = 2.
Уравнение плоскости A
1
DB имеет вид:
6x + 2y +
5
√
2
z
−
6
√
10
=0.
Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A
1
DB:
p
(
A ; A
1
DB
)
=
|
A x
0
+
B y
0
+
C z
0
+
D
|
√
A
2
+
B
2
+
C
2
=
6
√
10
√
50
+
36
+
4
=
6
√
10
√
90
=
2.
В некоторых задачах №14(ЕГЭ) требуется найти расстояние от
прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую
точку, принадлежащую данной прямой.
Ответ:
p
(
A ; A
1
DB
)
=
2
Нахождение
расстояния
между
скрещивающимися
прямыми.
Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в
одной плоскости.
Признак
скрещивающихся
прямых.
Если
одна
из
скрещивающихся прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая
пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти
прямые скрещивающиеся.
Задача
: В единичном кубе ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
найдите расстояние между
прямыми AB
1
и BC
1
.
Решение: 1) Координаты
A (0; 0; 0), B
1
(1; 0;
1
), B (
1
; 0; 0), C
1
(1; 1; 1).
2) Точка К лежит на BC
1
,
⃗
BC
1
(
0 ; 1; 1
)
Если отрезок, концами которого служат точки
A
(
x
1
; y
1
; z
1
)
, B
(
x
2
; y
2
; z
2
)
разделен точкой K
(
x ; y ; z
)
,
в отношении
λ
, то
координаты точки K определяется по формулам:
x
=
x
1
+
λ x
2
1
+
λ
; y
=
y
1
+
λ y
2
1
+
λ
; z
=
z
1
+
λ z
2
1
+
λ
.
x
=
1
+
λ
1
+
λ
; y
=
0
+
λ
1
+
λ
; z
=
0
+
λ
1
+
λ
,
значит K
(
1
+
λ
1
+
λ
;
λ
1
+
λ
;
λ
1
+
λ
¿
;
пусть q
=
λ
1
+
λ
,
значит K
(
1 ; q ; q
¿
.
3)
A (0; 0; 0), B
1
(1; 0;
1
).
Точка М
лежит на
AB
1
,
⃗
A B
1
(
1; 0 ; 1
)
Если отрезок, концами которого служат точки
A
(
x
1
; y
1
; z
1
)
, B
(
x
2
; y
2
; z
2
)
разделен точкой M
(
x ; y ; z
)
,
в отношении
μ
, то координаты точки M
определяется по формула:
x
=
x
1
+
μ x
2
1
+
μ
; y
=
y
1
+
μ y
2
1
+
μ
; z
=
z
1
+
μ z
2
1
+
μ
.
x
=
0
+
μ
1
+
μ
; y
=
0
+
0∙ μ
1
+
μ
; z
=
0
+
μ
1
+
μ
,
значит M
(
μ
1
+
μ
; 0 ;
μ
1
+
μ
¿
; пусть p
=
μ
1
+
μ
,
значит M
(
p; 0; p
¿
.
Имеем вектор
⃗
KM
{
p
−
1 ;0
−
q ; p
−
q
}
.Так как вектор
⃗
KM
перпендикулярен
векторам
⃗
A B
1
и
⃗
BC
1
,то скалярное произведение равно нулю.
4)
⃗
A B
1
∙
⃗
KM
=
0
;
⃗
BC
1
∙
⃗
KM
=
0
;
{
−
q
+
p
−
q
=
0 ,
p
−
1
+
p
−
q
=
0 ,
Решив систему, имеем
p
=
2
3
; q
=
1
3
.
|
⃗
KM
|
=
√
1
9
+
1
9
+
1
9
=
√
3
9
=
√
3
3
.
Ответ:
√
3
3
.
Уравнение плоскости.
Чтобы научиться решать задачи с помощью координатного метода
умения находить координаты вершин недостаточно. Давайте научимся
писать уравнения плоскостей, заданных различными способами, которые
чаще всего встречаются в задачах.
1.Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на
одной прямой.
Дано: М(0;2;4), К(3;0;-1),Р(0;1;0).
Найти: общее уравнение плоскости МКР.
Решение:
М(0;2;4),К(3;0;-1),Р(0;1;0)
{
0
∗
А
+
2 В
+
4 С
+
D
=
0
3 А
+
0
∗
В
−
1 С
+
D
=
0
0
∗
А
+
1 В
+
0
∗
С
+
D
=
0
{
2 В
+
4 С
+
D
=
0
3 А
−
1 С
+
D
=
0
1 В
+
D
=
0
В+D=0
2В+4С+D=0 3А-С+D=0
В=-D -2Д+4С+D=0 3А-0,25D+D=0
4С=D 3А=-0,75D
С=0,25D А=-0,25D
Уравнение плоскости: -0,25Dх-Dу+0,25Dz+D=0/:D
-0,25х-у+0,25z+1=0/*(-4)
Ответ: х+4у- z-4=0
2.Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно
ненулевому вектору.
Дано: М(-1;2;4);
⃗
КР
(-6;3;1)
Найти: общее уравнение плоскости β.
Решение:
уравнение плоскости: Ах+Ву+Сz+D=0
Вектор нормали имеет координаты
⃗
n
{
А ;В ;С
}
,т.к.
⃗
КР
перпендикулярен
плоскости β,то он является вектором нормали к плоскости β.
Уравнение плоскости будет иметь вид: -6х+3у+ z+D=0, но т.к. точка М
принадлежит плоскости β,то
можно подставить в уравнение плоскости координаты точки.
-6*(-1)+3*2+4+D=0
D=-16.
Уравнение плоскости: -6х+3у+ z-16=0.
Ответ: -6х+3у+ z-16=0.
3.Уравнение плоскости, проходящей через две точки, параллельно
ненулевому вектору.
Дано:М(-3;0;1); Н(2;0;0);
⃗
КР
(0;3;-1).
Найти: общее уравнение плоскости β,проходящей через две точки М и Н,
параллельно вектору
⃗
КР
.
Решение: общее уравнение плоскости : Ах+Ву+Сz+D=0.
1.подставим в уравнение плоскости координаты точек М иН,получим
следующие урвнения:
-3А+0*В+1С+D=0
-3А+С+D=0 (1)
2А+0*В+0*С+D=0
2А+D=0 (2)
2.так как вектор
⃗
КР
параллелен плоскости β, значит он перпендикулярен
вектору нор
мали
⃗
n
{А;В;С;} к плоскости β.Скалярное произведение этих
векторов равно нулю.
Получаем третье уравнение: 0*А+3В-1С=0 ,3В-С=0(3)
3.В итоге получаем систему уравнений:
{
2 А
+
D
=
0
−
3 А
+
С
+
D
=
0
3 В
−
С
=
0
2А+D=0 -3А+С+D=0 3В-С=0
А=-0,5D 1,5Д+С+D=0 3В=-2,5D
С=-2,5D В=
−
5
6
D
4.Подставим в общее уравнение плоскости:
-0,5Dх-
5
6
Dу-2,5Dz+D=0/ *(-6)
3х+5у+15z-6=0
Ответ: 3х+5у+15z-6=0
4.Уравнение плоскости, проходящей через точку, параллельно двум
ненулевым векторам.
Дано: М(2;0;0);
⃗
КР
(0;3;-1);
⃗
TN
(-3;0;1)
Найти: общее уравнение плоскости β, проходящей через две точку М ,
параллельно двум ненулевым векторам
⃗
КР
и
⃗
TN
.
Решение: общее уравнение плоскости : Ах+Ву+Сz+D=0.
1.Так как точка М принадлежит плоскости β, значит координаты точки
М удовлетворяют общему уравнению плоскости:
2А+0*В+0*С+D=0
2А+D=0 (1)
2.Так как векторы параллельны плоскости ,значит они перпендикулярны
вектору нормали
⃗
n
{А;В;С} плоскости β .
.
⃗
КР
*
⃗
n
=0 , 0*А+3В-1С=0, 3В-С=0 (2).
⃗
TN
*
⃗
n
=0 ,-3А+0*В+1С=0, -3А+С=0 (3).
3.Получаем систему уравнений:
{
2 А
+
D
=
0
−
3 А
+
С
=
0
3 В
−
С
=
0
3В-С=0 -3А+С=0 2А+D=0
В=
С
3
А=
С
3
2 С
3
+D=0
D=-
2 С
3
4. Подставим в общее уравнение плоскости:
С
3
х+
С
3
у+Сz-
2 С
3
=0 /*
3
С
х+у+3z-2=0
Ответ: х+у+3z-2=0
Задание 14 № 517563
Основанием
прямой
треугольной
призмы
ABCA
1
B
1
C
1
является
прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Грань ACC
1
A
1
является
квадратом.
а) Докажите, что прямые CA
1
и AB
1
перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми CA
1
и AB
1
, если AC = 4, BC = 7.
Рис.1 Рис.2
Решение: а).
1) Координаты:
A (
; 0; 0),
а
А
1
(
; 0;
а
а
),
В
1
(0;
;
).
в а
(
С
0
; 0; 0).
⃗
А В
1
{-а;в;а} ,
⃗
С А
1
{
а ; 0 ; а
}
2) найдём косинус угла между векторами
⃗
А В
1
и
⃗
С А
1
cos
(
φ
)
=
|
⃗
A В
1
·
⃗
С А
1
|
|
⃗
A В
1
|
·
|
⃗
С А
1
|
=
|
−
a
2
+
0
+
a
2
|
|
⃗
A В
1
|
·
|
⃗
С А
1
|
=
0
|
⃗
A В
1
|
·
|
⃗
С А
1
|
=0,
значит прямые CA
1
и AB
1
перпендикулярны.
б).Первый способ решения.(рис.1)
1). Точка К лежит на АB
1
,
⃗
А В
1
{-4;7;4}
Если отрезок, концами которого служат точки
A
(
x
1
; y
1
; z
1
)
, B
(
x
2
; y
2
; z
2
)
разделен точкой K
(
x ; y ; z
)
,
в отношении
λ
, то
координаты точки K определяется по формулам:
x
=
x
1
+
λ x
2
1
+
λ
; y
=
y
1
+
λ y
2
1
+
λ
; z
=
z
1
+
λ z
2
1
+
λ
.
x
=
4
1
+
λ
; y
=
7 λ
1
+
λ
; z
=
4 λ
1
+
λ
,
значит K
(
4
1
+
λ
;
7 λ
1
+
λ
;
4 λ
1
+
λ
¿
;
пусть q
=
1
1
+
λ
,
значит K
(
4 q ; 7
−
7 q ; 4
−
4 q
¿
.
2)
Точка М
лежит на
СА
1
,
⃗
С А
1
{
4 ; 0; 4
}
Если отрезок, концами которого служат точки
A
(
x
1
; y
1
; z
1
)
, B
(
x
2
; y
2
; z
2
)
разделен точкой M
(
x ; y ; z
)
,
в отношении
μ
, то координаты точки M
определяется по формула:
x
=
x
1
+
μ x
2
1
+
μ
; y
=
y
1
+
μ y
2
1
+
μ
; z
=
z
1
+
μ z
2
1
+
μ
.
x
=
4
1
+
μ
; y
=
0
+
0 ∙ μ
1
+
μ
; z
=
4
1
+
μ
,
значит M
(
4 μ
1
+
μ
; 0 ;
4 μ
1
+
μ
¿
; пусть p
=
1
1
+
μ
,
значит M (
4
−
4 p ; 0 ; 4
−
4 p
¿
.
Имеем вектор
⃗
M К
{
4 q
−
4
+
4 p ; 7
−
7 q ; 4 p
−
4 q
}
.Так как вектор
⃗
MK
перпендикулярен векторам
⃗
A B
1
и
⃗
C A
1
,то скалярное произведение равно нулю.
4)
⃗
A B
1
∙
⃗
MK
=
0
;
⃗
C A
1
∙
⃗
MK
=
0
;
{
65
−
81 q
=
0 ,
32 р
−
16
=
0 ,
Решив систему, имеем
q
=
65
81
; p
=
1
2
,
⃗
M К
{
98
81
;
112
81
;
−
98
81
}
|
⃗
MK
|
=
√
31752
6561
=
14
√
2
9
.
Ответ: MK=
14
√
2
9
.
б).Второй способ решения.(рис.2)
1).Построим плоскость параллельную прямой
СА
1
,так как
СА
1
параллельна прямой ВС
2
,то прямая
СА
1
параллельна плоскости А
В
1
С
2
(
)
α
,
.
Составим уравнение плоскости проходящей через три точки
(4;0;0),
А
В
1
(0;7;4),
С
2
(-4;7;0)
Получим систему из трёх уравнений
:
{
4 A
+
D
=
0
7 B
+
4 С
+
D
=
0
−
4 A
+
7 B
+
D
=
0
А=-
D
4
, В=
−
2 D
7
, С=
D
4
.
Уравнение плоскости: -
D
4
х
−
2 D
7
у
+
D
4
z
+
D
=
0
/*(-28)
7х+8у-7z-28=0(α)
2). Найдём координаты точки М(2;0;2),которая является точкой
пересечения диагоналей квадрата АА1С1С.
Найдем расстояние от точки М до плоскости α ,это будет расстояние
между скрещивающимися прямыми:
p
(
M , α
)
=
|
А x
0
+
В y
0
+
С z
0
+
D
|
√
a
2
+
b
2
+
c
2
где
M
¿
;
y
0
; z
0
¿
, плоскость
α
задана уравнением
А x
+
Вy
+
С z
+
D
=
0.
p
(
M ,α
)
=
|
7
∗
2
+
8
∗
0
−
7
∗
2
−
28
|
√
49
+
64
+
49
p
(
M ,α
)
=
14
√
2
9
.
Ответ:
14
√
2
9