Практическая работа на тему: «Нахождение предела функции»

Цель: обобщить понятия предела функции в точке, непрерывность

функции и предел функции на бесконечности; выработать практический

навык вычислений различных пределов; закрепление умения определять

типы разрывов функции.

Ход занятия

Пример 1. Вычислить предел:

lim

x →3

x

2

−

4

x

2

−

3 x

+

2

.

Решение:

Используем теоремы о пределе отношения и пределе суммы, а затем

подставим

x

=

3

в формулу дроби.

lim

x →3

x

2

−

4

x

2

−

3 x

+

2

=

lim

x → 3

(

x

2

−

4

)

lim

x →3

(

x

2

−

3 x

+

2

)

=

lim

x →3

x

2

−

lim

x → 3

4

lim

x →3

x

2

−

3 lim

x → 3

x

+

lim

x → 3

2

=

9

−

4

9

−

9

+

2

=

2,5

.

Часто встречаются случаи, когда непосредственно нельзя применить

теорему о пределе частного. Это так называемые неопределенности вида

0

0

или

∞

∞

.

В ситуации, когда числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю,

говорят, что имеет место неопределенность вида

0

0

. Для раскрытия

неопределенности такого вида надо числитель и знаменатель дроби

разложить на множители.

Если числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают при

x→∞

, то имеет место неопределенность вида

∞

∞

. Для ее раскрытия надо

разделить числитель и знаменатель дроби на х в старшей степени.

Пример 2. Вычислить предел:

lim

x →1

x

3

−

x

2

−

x

+

1

x

3

+

x

2

−

x

−

1

.

Решение:

Здесь имеет место неопределенность вида

0

0

. Это можно видеть,

подставив

x

=

1

. Для решения разложим на множители числитель и

знаменатель дроби, сократим общий множитель, после чего уже подставим

предельное значение

x

=

1

:

lim

x →1

x

3

−

x

2

−

x

+

1

x

3

+

x

2

−

x

−

1

=

lim

x →1

x

2

(

x

−

1

)

−(

x

−

1

)

x

2

(

x

+

1

)

−(

x

+

1

)

=¿

lim

x → 1

(

x

−

1

)

(

x

2

−

1

)

(

x

+

1

)

(

x

2

−

1

)

=

lim

x →1

x

−

1

x

+

1

=

0

2

=

0

¿

.

Пример 3. Вычислить предел:

lim

x→ ∞

x

3

+

2 x

2

+

3 x

+

4

4 x

3

+

3 x

2

+

2 x

+

1

.

Решение:

Это неопределенность вида

∞

∞

. Разделим числитель и знаменатель на

старшую степень x (на

x

3

).

lim

x→ ∞

1

+

2

x

+

3

x

2

+

4

x

3

4

+

3

x

+

2

x

2

+

1

x

3

=

1

4

.

Пример 4.

Исследовать

функцию

на

непрерывность.

Определить

характер разрывов функции, если они существуют.

Решение:

1) Точка

единственная, в которой функция не определена.

2)

Вычислим

односторонние

пределы:

Односторонние пределы конечны и равны.

Таким образом, в точке

функция терпит устранимый разрыв.

Ответ: функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точки

, в

которой она терпит устранимый разрыв.

Пример 5

Исследовать

функцию

на

непрерывность

и

построить

график

функции

.

Решение: очевидно, что все три части функции

непрерывны на соответствующих интервалах,

поэтому осталось проверить только две точки

«стыка»

между

кусками.

В

силу

неравенства

значение

принадлежит

прямой

, и в силу неравенства

значение

принадлежит

параболе

:

Для каждой из двух «стыковых» точек стандартно проверяем 3 условия

непрерывности:

I) Исследуем на непрерывность точку

1)

– функция определена в данной точке.

2) Найдём односторонние пределы:

Односторонние пределы конечны и различны, значит, функция

терпит

разрыв 1-го рода со скачком в точке

.

Вычислим скачок разрыва как разность правого и левого пределов:

, то есть, график рванул на одну единицу вверх.

II) Исследуем на непрерывность точку

1)

– функция определена в данной точке.

2)

Найдём

односторонние

пределы:

– односторонние пределы конечны и равны, значит,

существует общий предел.

3)

– предел функции в точке равен значению данной

функции в данной точке.

Таким

образом,

функция

непрерывна

в

точке

по

определению непрерывности функции в точке.

Ответ: функция непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки

,

в которой она терпит разрыв первого рода со скачком.

Задания для решения:

1. Вычислите пределы:

а)

lim

x →1

x

2

+

4

x

−

2

;

б)

lim

x →1

x

2

−

1

x

2

−

5 x

+

4

;

в)

lim

x →3

x

2

−

9

x

−

3

;

г)

lim

x →2

x

−

1

x

2

−

2 x

+

1

;

д)

lim

x →1

x

2

−

5 x

+

4

x

2

−

7 x

+

6

;

е)

lim

x→ ∞

5 x

−

2

x

2

−

x

+

4

;

ж)

lim

x→ ∞

x

2

+

4 x

−

5

x

2

−

1

.

2. Найдите пределы функций, используя теоремы о двух замечательных

пределах:

а)

lim

x →0

sin 7 x

x

;

б)

lim

x →0

sin

2

x

x

2

;

в)

lim

x →0

sin 4 x

12 x

;

г)

lim

x →0

tg xcosx

x

;

д)

lim

x→ ∞

(

1

+

4 x

)

1

4 x

;

е)

lim

x→ ∞

(

2 x

2 x

−

3

)

3 x

;

ж)

lim

x→ ∞

(

1

+

1

2 x

)

x

3. Найдите точки разрыва функций и определите типы разрывов:

а)

y

=

x

x

+

2

; б)

y

=

1

x

2

−

3 x

+

2

.