Занятие математического кружка

Для учащихся 7-8 классов.

Тема: «Решение уравнений с параметрами»

Подготовил учитель математики Калинин А.В.

Решение уравнений с параметрами у учащихся всегда вызывают затруднения.

Наша задача показать, что эти уравнения может решить практически любой

ученик.

Параметр-это величина, которая в процессе решения уравнения (задачи)

считают фиксированной и относительно которой проводится анализ

полученного решения.



Решить уравнение с параметром

- это значит для каждого значения

параметра найти значение неизвестной переменной, удовлетворяющее

этому уравнению.

.

Основное, что нужно усвоить при первом «знакомстве» с параметром, это

необходимость осторожного обращения с фиксированным, но неизвестным

числом. Необходимость аккуратного обращения с параметром хорошо видна в

примерах, где замена параметра числом делает задачу банальной. К таким

задачам, например, относятся задачи, в которых требуется сравнить два числа.

Пример №1

Сравнить числа: а) а и 5а;

б) -а и 5а.

Решение:

а) естественно рассмотреть три случая:

если а < 0, то а > 5а; если а = 0, то а = 5а; если а > 0, то а < 5а;

б) естественно рассмотреть три случая:

если а < 0, то -а > 5а; если а = 0, то -а = 5а; если а > 0, то -а < 5а.

Пример №2. При каком значении параметра а х=2,5 является корнем

уравнения х+2=а+7?

Решение.

Т.к. х= 2,5 – корень уравнения х+2=а+7, то при подстановке х= 2,5 в уравнение

получим верное равенство 2,5+2=а+7, откуда находим а =-2,5.

Ответ: при а=-2,5.

Пример №3.

Имеет ли уравнение 3х+5 = 3х+а решение при а=1. Подберите

значение а, при котором уравнение будет иметь корни.

Пример №4. Найдите множество корней уравнения ах = 4х+5

а) при а=4; б) при а≠4.

На простых примерах надо показать, что приемы, используемые для решения

уравнений с параметрами, такие же, как и при решении уравнений, содержащих

помимо неизвестной только числа.

Пример №5. Решить уравнение ах=1.

Решение. На первый взгляд представляется возможным сразу дать ответ:

Однако, при а=0 данное уравнение решений не имеет и

верный ответ записывается так:

если а=0, то нет решений; если а≠0, то

Пример №6. Найти все натуральные значения а, при которых корень

уравнения (а-1)х=12 является

a) натуральным числом; б) неправильной дробью.

Решение:

а≠1, то так как иначе уравнение не имеет решений;

а) если а≠1, то

Перебором находим:

при а=13, х=1;при а=7, х=2;при а=5, х=3;при а=4, х=4;при а=3,

х=6;при а=2, х=12.

Ответ: а є {13, 7, 5, 4, 3, 2}.

б) если а≠1, то

Перебором находим, что а є {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}.

Пример №7. Решить уравнение |х|=|а|.

Пример №8. Решить уравнение ах+8=а.

Решение. Запишем уравнение в стандартном виде ах=а-8.

Основа правильного решения задач с параметрами состоит в грамотном

разбиении области изменения параметра, к этому надо приучать путем

подробного описания хода решения.

Итак, коэффициент при х равен а. Возникают два возможных случая:

1.

коэффициент при х равен нулю и уравнение примет вид 0х=-8, полученное

уравнение не имеет корней;

2.

коэффициент при х не равен нулю, и мы имеем право разделить обе части

уравнения на этот коэффициент: а≠0,

ах=а-8,

Ответ: при а=0, нет корней;

при а≠0,

Важно зафиксировать внимание учащихся на случае, когда коэффициент

при х равен нулю, и рассматривать этот случай всегда первым, чтобы помочь

учащимся избежать наиболее распространенной ошибки, когда этот случай

теряют. Полезно обратить внимание учащихся на конструкцию записи ответа. В

различных пособиях по математике встречаются две конструкции:

1.

при а …, х …;

2.

если а …, то х … .

Предложите учащимся решить самостоятельно (с последующей проверкой на

доске) уравнение (а+2)х+2=а, где а – параметр.

Ответ: при а=-2, нет корней; при а≠-2,

Таким образом любое линейное уравнение с параметрами элементарными

преобразованиями может быть приведено к виду Ах=В, где А и В – некоторые

выражения, хотя бы одно из которых содержит параметр и исследуется по

схеме: