Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение

Иркутской области «Заларинский агропромышленный техникум»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ОФОРМЛЕНИЮ

И ВЫПОЛНЕНИЮ ДОМАШНЕЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ:

ЕН.01 МАТЕМАТИКА

для студентов заочной формы обучения

специальности 35.02.07 Механизация сельского хозяйства

Залари, 2020

Данное

пособие

разработано

на

основе

Федерального

государственного

образовательного стандарта среднего профессионального образования по специальности

«Механизация сельского хозяйства» (базовая подготовка) и Рабочей программы учебной

дисциплины

ЕН.01

Математика

(заочное

отделение),

разработанной

ГАПОУ

ИО

«ЗАПТ».

Организация

разработчик:

Государственное

автономное

профессиональное

образовательное

учреждение

Иркутской

области

«Заларинский

агропромышленный

техникум»

Разработчик:

Шеметов Евгений Сергеевич, преподаватель математики

СОДЕРЖАНИЕ

1.

ВВЕДЕНИЕ

2.

ТРЕБОВАНИЯ ПО ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

3.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ ПО РАЗДЕЛАМ КОНТРОЛЬНОЙ

РАБОТЫ

∙

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

∙

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

∙

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

∙

ТЕОРИЯ

ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

СТАТИСТИКА

4.

ПЕРЕЧЕНЬ РЕКОМЕНТУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

5.

ПРИЛОЖЕНИЕ

1

(ВАРИАНТЫ

ЗАДАНИЙ

КОНТРОЛЬНОЙ

РАБОТЫ)

6.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2 (ТИТУЛЬНЫЙ ЛИСТ)

1.

ВВЕДЕНИЕ

В соответствии с рабочей программой учебной дисциплины ЕН.01

Математика (заочное отделение) а также действующим учебным планом

студенты

заочной формы обучения изучают курс

математики

в

течение

первого года и выполняют одну домашнюю контрольную работу.

Настоящее

пособие

является

руководством

по

выполнению

контрольной работы по курсу высшей математики для студентов - заочников.

Оно

содержит

вопросы

и

теоретические

сведения,

необходимые

для

выполнения контрольной работы по данным темам, примеры решения задач

и контрольные задания.

Вариант контрольной работы определяется по порядковому номеру в

списочном составе группы. Работа, выполненная не по своему варианту,

возвращается без проверки и оценки.

Контрольная работа содержит 10 заданий по 4 разделам курса:

1.

Математический анализ

2.

Линейная алгебра

3.

Дискретная математика

4.

Теория вероятностей и математическая статистика

Каждое задание оценивается в баллах:

1.

– 4 балла

2.

– 4 балла

3.

– 1 балл

4.

– 4 балла

5.

– 4 балла

6.

– 4 балла

7.

– 4 балла

8.

– 5 баллов

9.

– 5 баллов

10.

– 10 баллов

Работа оценивается по следующей шкале:

Количество баллов

Оценка уровня подготовки

отметка

вербальный аналог

41 - 45

5

отлично

36 - 40

4

хорошо

30 - 35

3

удовлетворительно

менее 30

2

неудовлетворительно

2.

ТРЕБОВАНИЯ ПО ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Контрольная

работа

выполняется

в

тетради

в

клетку.

Следует

оставить поля 3 см. для замечаний преподавателя.

На

обложке

тетради

должен

быть

приклеен

титульный

лист,

из

Приложения 2 к данному пособию. На нем необходимо указать номер

варианта, фамилию, имя и отчество.

Работа

должна

быть

выполнена

синими

чернилами,

аккуратно,

разборчиво.

Каждую задачу необходимо начинать с новой страницы.

Решение задач нужно располагать в порядке номеров, указанных в

задании. Номера задач следует указывать перед условием.

Условия всех задач необходимо записывать полностью.

Решения

задач

должны

сопровождаться

краткими,

но

достаточно

обоснованными пояснениями, используемые формулы нужно выписывать и

сопровождать всеми вычислениями.

В конце работы следует указать дату выполнения работы и поставить

подпись.

На

дифференцированный

зачет

студент

должен

явиться

с

уже

проверенной

преподавателем

работой

(если

в

работе

были

допущены

недочеты

и

ошибки,

то

студент

должен

выполнить

все

указания

преподавателя). Без

предъявления

преподавателю зачтенной контрольной

работы студент к дифференцированному зачету не допускается.

3.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

СВЕДЕНИЯ

ПО

РАЗДЕЛАМ

КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Определение: Число b называется пределом функции





x

f

в точке а,

если для всех значений х, достаточно близких к а и отличных от а, значение

функции





x

f

сколько угодно мало отличаются от числа b.

lim (

)

x

a

f

x

b





Вывод:

Чтобы

вычислить

предел

функции

в

точке

нужно

найти

значение функции в точке, к которой стремится

x

.

Например:

1.

3

5

2

4

)

5

4

(

lim

2













x

x

2.

17

7

3

7

4

1

3

2

7

4

1

2

lim

3





















x

x

x

Замечание:

Если

в

результате

вычисления

предела

получилась

недопустимая арифметическая операция, то предел равен



, т.е.





0

1

или

равен нулю, т.е.

1

∞

= 0

.

3.



















0

3

4

2

3

2

lim

2

x

x

x

Задания для самостоятельной работы

Найти пределы функций:

1.

2

2

1

2

2

lim

1

x

x

x

x









2.

2

3

0

3

lim

4

10

x

x

x

x

x









3.

0,1

5

4

lim

1

x

x

x







4.

3

2

2

4

5

lim

6

x

x

x

x









5.

1

(

3)(

2)

lim

2

x

x

x

x









6.

3

3

lim

2

6

x

x





7.

2

2

1

2

5

3

lim

4

13

3

x

x

x

x

x











8.

2

2

1

4

5

1

lim

2

1

x

x

x

x

x











Иногда при простой подстановке может получиться неопределенность

типа

0

0

или

∞

∞

.

Раскрытие неопределенности типа

𝟎

𝟎

.

Для

раскрытия

неопределенности

такого

вида

необходимо

предварительно сократить дробь (разложив на множители), а затем найти

предел.

Например:

1.

2

2

5

7

10

lim

9

20

x

x

x

x

x











=

2

2

5

7 5

10

5

9 5

20







 



=

25

35

10

25

45

20









=

0

0

=

5

(

5)(

2)

lim

(

5)(

4)

x

x

x

x

x











=

5

(

2)

lim

(

4)

x

x

x







=

5

2

3

3

5

4

1









Здесь

числитель

разложен

на

множители

по

формуле

разности

квадратов,

а

в

знаменателе вынесен общий множитель за скобки.

2.

2

2

2

2

3

3

3

9

3

9

0

(

3)(

3)

(

3)

3

3

6

lim

lim

lim

2

3

3

3 3

0

(

3)

3

3

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x x

x



































 



Здесь необходимо было решить квадратные уравнения для разложения квадратного

трехчлена

на

множители

в

числителе

и

знаменателе

дроби

по

формуле

2

1

2

(

)(

)

ax

bx

c

a x

x

x

x











.

3.

0

0

0

0

(

1

3

1)

lim

lim

0

1

3

1

1

3 0

1

(

1

3

1)(

1

3

1)

x

x

x

x

x

x

x

x

































=

0

(

1

3

1)

lim

1

3

1

x

x

x

x











=

=

0

0

(

1

3

1)

1

3

1

1

3 0

1

2

lim

lim

3

3

3

3

x

x

x

x

x

x













 









Здесь, для того, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, и числитель и

знаменатель

были

умножены

на

выражение,

сопряженное

знаменателю,

а

затем

знаменатель был свернут по формуле разности квадратов.

Задания для самостоятельной работы:

Найти пределы функций:

1.

3

0

3

lim

x

x

x

x





2.

2

2

3

9

lim

2

3

x

x

x

x









3.

0

1

1

lim

x

x

x







4.

2

2

4

lim

2

x

x

x







5.

3

3

3

lim

27

x

x

x







6.

2

2

3

3

11

6

lim

2

5

3

x

x

x

x

x











7.

5

5

lim

2

1

x

x

x









8.

4

2

5

25

lim

5

x

x

x







9.

2

3

3

lim

9

x

x

x







10.

2

2

5

8

15

lim

25

x

x

x

x









11.

2

2

2

3

8

4

lim

5

14

8

x

x

x

x

x











12.

6

6

lim

3

3

x

x

x









Раскрытие неопределенности типа

∞

∞

.

Для раскрытия неопределенности такого вида необходимо числитель

и знаменатель разделить на

𝑥

с наибольшим показателем степени.

Например:

1.

4

2

4

2

4

4

4

2

4

3

3

3

4

4

4

4

2

1

2

1

2

1

lim

lim

lim

1

1

1

1

1

0

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x





























 















2.

3

4

3

4

6

6

3

2

5

6

5

6

6

6

1

1

0

lim

lim

lim

0

1

1

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

































3.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

10

6

1

6

10

10

6

10

lim

lim

lim

10

3

3

3

1

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x





























 











Задания для самостоятельной работы:

Найти пределы функций:

1.

3

3

2

2

6

lim

3

26

x

x

x

x

x











2.

2

4

3

lim

5

x

x

x

x









3.

2

3

2

5

lim

3

7

x

x

x

x

x











4.

3

3

2

3

4

8

lim

5

27

x

x

x

x

x

x











5.

4

2

4

3

10

8

3

lim

5

3

5

x

x

x

x

x











6.

3

2

2

5

4

1

lim

8

6

3

x

x

x

x

x











Иногда при подстановке в функцию предельного значения аргумента

получаются выражения, не имеющие конкретного смысла:

  

,

1



,

0



,

0

0

,

их

называют

«неопределенностями».

В

этих

случаях

для

нахождения

пределов необходимо предварительно выполнить некоторые преобразования

данного выражения.

!!!

Рассмотрите

приемы,

которыми

пользуются

при

таких

преобразованиях самостоятельно.

Первый замечательный предел.

Предел

отношения sin

бесконечно малой

величины к

самой

этой

величине равен 1.

0

sin

lim

1

x

x

x





или

0

lim

1

x

tgx

x





С его помощью нередко раскрываются неопределенности вида

0

0

и

0 ∙ ∞

, содержащие различные тригонометрические функции.

Например:

1.

0

sin

1 sin

1

1

lim

1

3

3

3

3

x

x

x

x

x













2.

0

sin 5

sin 5

lim

5

5 1

5

5

x

x

x

x

x













3.

0

0

0

0

0

0

sin 3

sin 3

sin 3

lim

3 lim

sin 3

3

3

lim

lim

sin 5

sin 5

sin 5

sin 5

5

lim

5 lim

5

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

























Второй замечательный предел.

Следующий предел называется вторым замечательным пределом.

1

0

lim(1

)

x

x

x

e







или

0

1

lim 1

x

x

e

x



















С помощью этих формул раскрываются неопределенности вида

1

∞

.

Например:

1.

3

3

3

0

0

3

3

lim 1

lim 1

x

x

x

x

e

x

x





















































2.

1

5

1

5

5

0

0

1

1

lim 1

lim 1

5

5

x

x

x

x

e

x

x





















































3.









3 4

12

3

1

5

5

5

4

0

0

lim 1

4

lim 1

4

x

x

x

x

x

x

e



























4.

1

1

2

2

2

0

0

1

1

lim

lim 1

x

x

x

x

x

e

x

x





















































Задания для самостоятельной работы:

Найти пределы функций:

1.

0

sin 2

lim

3

x

x

x



2.

0

sin 5

lim

3

x

x

x



3.

0

sin 4

lim

sin 7

x

x

x



4.

0

sin 6

lim

3

x

x

tg x



5.

2

5

lim 1

3

x

x

x

















6.

2

lim 1

3

x

x

x

















7.





5

0

lim 1

2

x

x

x





8.

5

1

lim 1

x

x

x

















ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

Производной функции у = f (x) называется предел отношения

приращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда

приращение аргумента стремиться к нулю:

x

x

f

x

x

f

x

x

y

x

x

f



























)

(

)

(

0

0

lim

lim

)

(

.

Если этот предел конечный, то производная существует и функция f (x)

называется дифференцируемой в точке x. Производная обозначается также

у'

(x)

или

.

dx

dy

Процесс

нахождения

производной

называется

дифференцированием функции.

Таблица производных элементарных функций

Пусть С



R — постоянная

1.

/

0

C



2.

/

1

x



3.





/

kx

b

k





4.





/

1

n

n

x

n x







5.

/

2

1

1

x

x





 









6.





/

1

2

x

x



7.





/

x

x

e

e



8.





/

ln

x

x

a

a

a





9.





/

sin

cos

x

x



10.





/

cos

sin

x

x

 

11.





/

2

1

cos

tgx

x



12.





/

2

1

sin

ctgx

x

 

13.





/

1

ln x

x



14.





/

1

log

ln

a

x

x

a





15.





/

2

1

arcsin

1

x

x





16.





/

2

1

arccos

1

x

x

 



17.





/

2

1

arc

1

tgx

x





18.





/

2

1

arc

1

ctgx

x

 



Правила дифференцирования функций

Пусть

(

)

u

u x



,

(

)

x







- функции, имеющие производные.

1.





/

/

С u

C u







2.





/

/

/

u

u











3.





/

/

/

u

u

u

















4.

/

/

/

2

u

u

u





























Например,

используя

правила

дифференцирования

и

таблицу

производных

элементарных

функций,

найти

производные

следующих

функций:

1.

2

4

3

7

3

5

y

x

x

x































/

/

/

1

1

/

/

/

/

/

/

/

2

2

3

2

3

4

4

4

4

4

3

7

3

5

3

5

7

3

5

7

y

x

x

x

x

x

x

x

x

x













































































1

4

4

4

4

4

4

1

3

21

3

5 2

7

3

10

4

4

x

x

x

x

x

x































2.

2

arcsin

y

x

x











/

/

/

2

2

2

2

1

arcsin

arcsin

2

arcsin

1

y

x

x

x

x

x

x

x

x























2

2

2 arcsin

1

x

x

x

x





3.

3

3

x

y

x





















/

/

3

3

2

3

3

2

3

3

2

/

2

2

2

2

3

3

3

(

3)

3

9

2

9

6

9

6

9

6

9

3

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

y

x

x

x

x

x

x

x















































Правило дифференцирования сложной функции

Если функция y = f (u) дифференцируема по и, а функция и = φ (x) —

по х , то сложная функция y = f (φ (x)) имеет производную y' =f ' (u) ∙ u' (x) .

Например, используя правило дифференцирования сложной функции,

найти производную функции

2

ln

3

y

tg

x















/

/

/

/

2

2

2

2

1

1

ln

3

3

2

3

3

3

3

y

tg

x

tg

x

tg x

tg x

tg

x

tg

x



















/

2

2

1

1

2

3

3

3

cos 3

tg x

x

tg

x

x







2

2

2

2

2

1

1

6

3

6

2

3

3

3

cos 3

3

cos 3

3

cos 3

tg x

tg x

tg

x

x

tg

x

x

tg x

x



















2

6

sin 3

cos 3

cos 3

x

x

x





6

sin 3

cos 3

x

x





Правило дифференцирования степенно – показательной функции

Степенно

–

показательная

функция

y

u





дифференцируется

как

степенная плюс как показательная:





/

1

/

/

ln

u

u

u

u

u

























.

Например,

используя

правило

дифференцирования

степенно

–

показательной функции, найти производную функции





cos

7

x

y

x































/

cos

cos

1

/

cos

/

/

7

cos

7

7

7

ln 7

cos

x

x

x

y

x

x

x

x

x

x

x























cos

1

7 cos

7

x

x

x













cos

7

ln 7

sin

x

x

x

x



Производные высших порядков

Производной

второго

порядка

(второй

производной)

от

функции

)

(x

f

y



называется производная от ее производной, т. е.

)

)

(

(

)

(











x

f

x

f

.

Вторую производную также обозначают

)

(x

y





или

2

2

dx

y

d

. Производная

от производной второго порядка называется производной третьего порядка и

т. д. Производную n-го порядка обозначают

)

(

)

(

x

y

n

или

n

n

dx

y

d

.

Например, найти

)

(x

y





для функции

5

4

1

3

y

x

x

x























/

/

1

3

/

/

/

/

/

5

5

1

4

2

4

4

4

1

1

3

3

15

4

y

x

x

x

x

x

x

x

x

x



































































/

/

/

3

3

3

/

/

/

/

/ /

4

2

4

2

4

2

4

4

4

1

1

1

15

15

15

4

4

4

y

x

x

x

x

x

x

x

x

x









































































7

3

3

3

4

3

7

4

1

3

2

3

15 4

2

60

4

4

16

x

x

x

x

x

x









































Задания для самостоятельной работы:

Найти производные функций. В задании 6 дополнительно найти

вторую производную

1.

sin

ln

y

x

x





2.

3

sin

x

y

x



3.

cos ln

y

x



4.

3

sin 5

cos 3

y

x

x





5.





4

sin

y

x

x





6.

2

sin

cos

x

y

x



Правило Лопиталя для вычисления предела функции

При

раскрытии

неопределенностей













0

0

,

















кроме

классических

методов

вычисления

пределов,

во

многих

случаях

можно

пользоваться

правилом Лопиталя:

Eсли

0

)

(

lim

)

(

lim









x

g

x

f

a

x

a

x

или











)

(

lim

)

(

lim

x

g

x

f

a

x

a

x

и

существует предел отношения их производных

)

(

)

(

lim

x

g

x

f

a

x







, то

)

(

)

(

)

(

)

(

lim

lim

x

g

x

f

a

x

x

g

x

f

a

x











.

Это правило справедливо и в случае





a

.

Например, применяя правило Лопиталя, найти пределы:

1.

x

e

x

x

sin

1

lim

0





2.

3

sin

lim

0

x

x

x

x





3.

x

x

x

ln

lim





1.

0

0

0

0

0

0

1

0

1

(

1)

1

1

lim

lim

lim

1

cos

cos0

sin

sin0

(sin )

x

x

x

e

e

e

e

e

x

x

x

x

x

x































2.





/

/

0

3

3

2

3

0

0

0

sin

0

0

sin

sin0 0

cos

1

lim

lim

lim

3

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x





































2

0

0

cos0 1

30













/

/

2

0

0

0

cos

1

1

1

1

1

6

6

6

sin

sin

lim

lim

lim

6

3

x

x

x

x

x

x

x

x

x



















 





















Здесь

дважды

применили

правило

Лопиталя

и

воспользовались

первым

замечательным пределом.

3.









/

/

1

ln

ln

1

1

lim

lim

lim

lim

0

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x



























Задания для самостоятельной работы:

Вычислить пределы, используя правило Лопиталя:

1.

0

ln cos 2

lim

sin 2

x

x

x



2.

0

2

3

lim

1

4

x

x

x

x







3.

0

sin

lim

x

x

x

x

tgx







4.

1

ln

lim

sin(

1)

x

x

x





5.

2

sin(

2)

lim

2

x

x

x







6.

2

0

1

lim

sin

x

x

e

x





ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Неопределенный интеграл

Функция F(x) называется первообразной для

функции

f(x), если

)

(

)

(

x

f

x

F





или

dx

x

f

x

dF

)

(

)

(



.

Любая

непрерывная

функция

f(x)

имеет

бесконечное

множество

первообразных, которые отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

Совокупность

F(x)+С

всех

первообразных

для

функции

f(x)

называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается:







C

x

F

dx

x

f

)

(

)

(

.

Основные свойства неопределенного интеграла:

1.









);

(x

f

dx

x

f







2.









C

x

f

dx

x

f

)

(

)

(

;

3.













;

dx

x

f

dx

x

f

d





4.











C

x

f

x

f

d

)

(

)

(

;

5.

























dx

x

g

dx

x

f

dx

x

g

x

f

)

(

)

(

; 6.







dx

x

f

k

dx

x

kf

)

(

)

(

.

Непосредственное интегрирование

Непосредственное

интегрирование

предполагает

использование

при

нахождении неопределенных интегралов таблицы интегралов

Таблица интегралов







C

x

dx











C

n

x

dx

x

n

n

1

1







C

x

x

dx

ln







C

a

a

dx

a

x

x

ln







C

e

dx

e

x

x









C

x

xdx

cos

sin







C

x

xdx

sin

cos







C

tgx

x

dx

2

cos









C

ctgx

x

dx

2

sin















C

a

x

a

x

a

a

x

dx

ln

2

1

2

2













C

a

x

x

a

x

dx

2

2

2

2

ln









C

a

x

x

a

dx

arcsin

2

2









C

a

x

arctg

a

a

x

dx

1

2

2

C

x

a

x

a

xdx















2

2

2

2

ln

2

1













C

x

a

x

a

xdx

2

2

2

2













C

b

ax

a

b

ax

dx

ln

1













C

a

k

a

dx

a

b

kx

b

kx

ln











C

a

e

dx

e

b

ax

b

ax













C

b

ax

a

dx

b

ax

)

cos(

1

)

sin(











C

b

ax

a

dx

b

ax

)

sin(

1

)

cos(

Рассмотрим нахождение интегралов непосредственным методом.

Пример 1: Найти неопределенный интеграл:

























dx

x

x

x

x

1

4

1

3

2

cos

5

2

2

.

Решение:

























dx

x

x

x

x

1

4

1

3

2

cos

5

2

2

=

=























dx

x

dx

x

dx

x

dx

xdx

1

4

1

3

2

cos

5

2

2

























1

4

3

2

cos

5

2

2

x

dx

x

dx

dx

x

dx

xdx

















C

arctgx

x

x

x

x

4

ln

3

3

2

sin

5

3

C

arctgx

x

x

x

x















4

ln

2

sin

5

3

.

Пример 2: Найти неопределенный интеграл:





dx

x

x

2

2

2

.

Решение:





dx

x

x

2

2

2

=



















dx

x

dx

dx

x

dx

x

x

2

2

2

2

2

2

С

x

x

С

x

x

















2

1

2

1

.

Пример 3: Найти неопределенный интеграл





1

2

2

x

dx

x

Решение:





1

2

2

x

dx

x

=

























1

1

)

1

(

1

)

1

1

(

2

2

2

2

2

x

dx

x

dx

x

x

dx

x

C

arctgx

x

C

arctgx

dx















Метод

подстановки

в

неопределенном

интеграле(метод

замены

переменной)

Этот метод заключается в том, что заменяют переменную х на

)

(t



,где

)

(t



- непрерывно дифференцируемая функция, полагают

dt

t

dx

)

(







и

получают















dt

t

t

f

dx

x

f

t

x

)

(

)

(

)

(

)

(







При

этом

получают

искомую

функцию,

выраженную

через

переменную t. Для возвращения к переменной х необходимо заменить t

значением

)

(x

t





, которое находится из соотношения

)

(t

x





.

Рассмотрим нахождение интегралов методом подстановки.

Пример 1: Найти неопределенный интеграл



x

x

dx

2

ln

Решение:



x

x

dx

2

ln

=







dx

x

dt

t

x

1

;

ln























C

t

dt

t

t

dt

1

2

1

2

2

2

C

t







1



C

x





ln

1

Пример 2: Найти неопределенный интеграл



сtgxdx

Решение:























C

t

t

dt

dx

dt

t

x

dx

x

x

ctgxdx

ln

cos

;

sin

sin

cos

=

C

x



sin

ln

Пример 3: Найти неопределенный интеграл



x

x

e

dx

e

2

cos

Решение:



x

x

e

dx

e

2

cos

=

















C

tge

C

tgt

t

dt

dx

e

dt

t

e

x

x

x

2

cos

Пример 4: Найти неопределенный интеграл





2

25

4

x

dx

Решение:





2

25

4

x

dx

=





















2

2

2

2

2

5

1

5

1

5

5

)

5

(

2

t

dt

dt

dx

dx

dt

t

x

x

dx

=

C

t

arctg





2

2

1

5

1

=

C

x

arctg



2

5

10

1

.

Определенный интеграл и его свойства

Пусть функция

)

(x

f

определена на отрезке





b

a,

. Разобьем отрезок на

n частей точками

b

x

x

x

x

a

n













...

2

1

0

, выберем на каждом элементарном

отрезке





k

k

x

x

,

1



произвольную

точку



k

и

обозначим

через

k

x



длину

каждого такого отрезка.

Интегральной суммой для функции

)

(x

f

на отрезке





b

a,

называется

сумма вида:

n

n

k

k

n

k

x

f

x

f

x

f

x

f





















)

(

...

)

(

)

(

)

(

2

2

1

1

1









Определенным

интегралом

от

функции

)

(x

f

на

отрезке





b

a,

называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего

из элементарных отрезков стремится к нулю:















b

a

n

k

k

k

x

x

f

dx

x

f

k

1

0

max

)

(

lim

)

(



Для

любой

функции

)

(x

f

,

непрерывной

на

отрезке





b

a,

,

всегда

существует определенный интеграл



b

a

dx

x

f

)

(

Простейшие свойства определенного интеграла

1)

Определенный

интеграл

от

алгебраической

суммы

конечного

числа

функций

равен

алгебраической

сумме

определенных

интегралов

от

слагаемых функций:



























b

a

b

a

b

a

dx

x

g

dx

x

f

dx

x

g

x

f

)

(

[

2) Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла











b

a

b

a

dx

x

f

A

dx

x

Af

)

(

3)

При

перестановке

пределов

интегрирования

определенный

интеграл

меняет знак на противоположный:









b

a

a

b

dx

x

f

dx

x

f

)

(

)

(

4)

Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:





a

a

dx

x

f

0

)

(

5)

Отрезок интегрирования можно разделить на части:











b

c

b

a

c

a

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

)

(

)

(

)

(

с-точка, лежащая между а и b.

6) Если

)

(

)

(

x

g

x

f



на отрезке





b

a,

, то







b

a

b

a

x

g

x

f

)

(

)

(

.

Для вычисления определенного интеграла от функции

)

(x

f

, в том случае ,

когда можно найти соответствующую первообразную

)

(x

F

, служит формула

Ньютона-Лейбница:

b

a

b

a

x

F

dx

x

f





)

(

)

(

=F(b)-F(a)

Рассмотрим нахождение простейших определенных интегралов.

Пример 1: Вычислить определенный интеграл



2

1

x

dx

.

Решение:



2

1

x

dx

=

2

ln

0

2

ln

1

ln

2

ln

ln

2

1











x

Пример 2: Вычислить определенный интеграл:





9

1

dx

x

1

x

.

Решение:





















































9

1

9

1

2

1

2

1

9

1

dx

x

x

dx

x

1

x

x

dx

x

1

x







































































1

2

1

1

3

2

9

2

9

9

3

2

x

2

x

x

3

2

x

2

x

3

2

9

1

9

1

2

1

2

3

3

1

13

3

4

12







.

Вычисление определенного интеграла методом замены переменной

При

вычислении

определенного

интеграла

методом

замены

переменной

(способом

подстановки)

определенный

интеграл



b

a

dx

x

f

)

(

преобразуется с помощью подстановки

)

x

(

t





или

)

t

(

x





в определенный

интеграл

относительно

новой

переменной

t.

При

этом

старые

пределы

интегрирования a и b заменяются соответственно новыми пределами t

1

и t

2

,

которые находятся из исходной подстановки.

Из первой подстановки новые пределы интегрирования вычисляются

непосредственно:

)

b

(

t

),

а

(

t

2

1









.

Из

второй

подстановки новые пределы интегрирования находятся

путем решения уравнений

)

t

(

b

),

t

(

a

2

1









.

Таким образом, имеем















b

a

t

t

2

1

dt

)

t

(

)

t

(

f

dx

)

x

(

f





Пример 1: Вычислить определенный интеграл методом замены переменной



2

0

2

xdx

cos

x

sin



Решение:



2

0

2

xdx

cos

x

sin



=





























0

1

0

1

3

2

2

1

3

t

dt

t

dt

xdx

sin

0

)

2

cos(

t

,

xdx

sin

dt

1

0

cos

t

,

x

cos

t



3

1

)

1

0

(

3

1

3

3











.

Пример 2: Вычислить определенный интеграл:





4

1

1

x

dx

.

Решение:



























2

1

2

1

2

4

1

1

t

tdt

2

2

4

t

1

1

t

tdt

2

dx

t

x

1

x

dx











































2

1

2

1

2

1

)

1

t

ln(

t

2

dt

1

t

1

1

2

dt

1

t

1

)

1

t

(

2

3

2

ln

2

2

)

2

ln

1

(

2

)

3

ln

2

(

2













.

РАЗДЕЛ 2. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТРИЦЫ

Матрицей

размером

𝑚

×

𝑛

называется

совокупность

∙

𝑚 𝑛

чисел,

расположенных в виде прямоугольной таблицы из

𝑚

строк и

𝑛

столбцов.

Числа m и n называются размерностями матрицы.

Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки. Для краткости

матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например

𝐴

или

𝐵

.

В общем виде матрицу размером

𝑚

×

𝑛

записывают так:

Числа,

составляющие

матрицу

называются

элементами

матрицы.

Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами

𝑎

𝑖𝑗

, где

номер

строки,

в

которой

стоит

данный

элемент,

номер

соответствующего

столбца.

Строка матрицы называется нулевой, если все ее элементы равны

нулю. Если хотя бы один элемент не равен нулю, то строка называется

ненулевой. Аналогичное определение и для нулевого и ненулевого столбцов

матрицы.

Главной диагональю матрицы называется диагональ, проведенная из

левого верхнего угла матрицы в правый нижний.

Побочной диагональю матрицы называется диагональ, проведенная

из левого нижнего угла матрицы в правый верхний.

1

1

2

2

2

2

3

3

1

A

























- элементы 1, 2 и -1 – образуют главную диагональ,

а элементы 3, 2 и 2 - побочную

Если

в

матрице

число

строк

равно

числу

столбцов,

то

матрица

называется квадратной. Число ее строк или столбцов называется порядком

матрицы. Например:

0

3

6

2

7

1, 2

6

4

4

A

























- квадратная матрица третьего порядка.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и

обычно обозначается заглавной латинской буквой О.

Матрица, состоящая из одной строки, называется вектор-строкой, а

матрица, состоящая из одного столбца – вектор-столбцом.































mn

m

m

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

...

...

...

...

...

...

...

2

1

2

22

21

1

12

11



i



j

Например:





1

3

7

A



- вектор-строка

1

3

7

10

A



























- вектор-столбец

Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов называется

прямоугольной.

Квадратная

матрица

D

называется

диагональной,

если

все

ее

элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.

Элементы,

стоящие

на

главной

диагонали

могут

также

равняться

нулю. Например:

1

0

0

0

0

0

0

0

3

D























.

Квадратная матрица называется симметричной относительно главной

диагонали, если

𝑎

𝑖𝑗

=

𝑎

𝑗𝑖

.

Скалярной

называется

диагональная

матрица

S,

у

которой

все

диагональные элементы равны между собой. Например:

3

0

0

0

3

0

0

0

3

S























.

Единичной матрицей E называется скалярная матрица, диагональные

элементы которой равны 1. Например:

1

0

0

0

1

0

0

0

1

S























.

Две матрицы

𝐴

и

𝐵

называются равными, если они имеют одинаковое

число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны

𝑎

𝑖𝑗

=

𝑏

𝑖𝑗

.

Матрица

называется

верхне-треугольной

матрицей,

если

все

ее

элементы ниже главной диагонали равны нулю. А матрица, все элементы

которой

выше

главной

диагонали

равны

нулю,

называется

нижне-

треугольной.

Диагональная

матрица

–

это

пример

матрицы,

которая

является одновременно верхне- и нижне-треугольной. Например:

2

5

4

1, 7

3

0

7

5

4

0

0

1

3, 5

0

0

0

8

C







































- верхне-треугольная

2

0

0

0

3

4

0

0

4

11

2

1

0

0, 2

7

6

8

C







































- нижне-треугольная

Ступенчатой

называется

матрица,

удовлетворяющая

следующим

условиям:

1.

Если

эта

матрица

содержит

нулевую

строку

(т.е.

строку,

все

элементы которой равны нулю), то все строки, расположенные под

нею, также нулевые;

2.

Если первый ненулевой элемент некоторой строки расположен в

столбце с номером

𝑖

, то первый ненулевой элемент следующей

строки должен находиться в столбце с номером большим чем

𝑖

.

Например,

0

1

2

0

3

1

0

0

3

2

0

0

0

0

0

0

0

2

0

0

0

0

0

0

C



























.

Элементарными преобразованиями матриц являются:

∙

перестановка местами двух строк матрицы;

∙

вычеркивание (удаление) нулевой строки матрицы;

∙

умножение всех элементов строки матрицы на число, отличное

от нуля;

∙

прибавление

ко

всем

элементам

строки

матрицы

соответствующих элементов строки, умноженных на одно и то

же число.

Те

же

операции,

применяемые

для

столбцов,

также

называются

элементарными преобразованиями.

Теорема:

любую

ненулевую

матрицу

можно

путем

элементарных

преобразований свести к эквивалентной ей ступенчатой матрице.

Две матрицы

𝐴

и

𝐵

называются эквивалентными, если одна из них

получается

из

другой

с

помощью

элементарных

преобразований.

Записывается

𝐴

~

𝐵

.

Действия над матрицами

Сложение

(вычитание)

матриц:

складывать

(вычитать)

можно

только матрицы одинакового размера, при этом получается матрица той же

размерности,

что

и

исходные.

Суммой

(разностью)

двух

матриц

𝐴

и

𝐵

называется матрица

𝐶

=

+

𝐴 𝐵

такого же размера, получаемая из исходных

путем сложения (вычитания) соответствующих элементов.

Например, найти

𝐴

+

𝐵

, если

1

2

4

2

0

1

A



















,

5

2

3

4

6

2

B















.

Решение:

1

2

4

5

2

3

1

5

2

2

4

3

6

0

7

2

0

1

4

6

2

2

4

0

6

1

2

6

6

1

A

B





 



















































 

















Умножение матрицы на число: произведением матрицы на число

называется матрица той

же

размерности, что

и

исходная, все

элементы

которой равны элементам исходной матрицы, умноженным на данное число.

Например, найти матрицу

2

𝐴

, если

1

0

2

5

A

















.

Решение:

1

0

2 1

2 0

2

0

2

2

2

5

2 (

2)

2 5

4

10

A



























































Умножение матрицы на матрицу: операция умножения двух матриц

возможна, когда матрицы согласованы.

Матрицы

𝐴

и

𝐵

называются согласованными, если число столбцов

матрицы

𝐴

равно числу строк матрицы

𝐵

.

Произведением матрицы

𝐴

на матрицу

𝐵

называется новая матрица

𝐶

=

∙

𝐴 𝐵

, элементы которой составляются следующим образом:

11

12

13

11

11

12

21

11

12

12

22

11

13

12

23

11

12

21

22

23

21

11

22

21

21

12

22

22

21

13

22

23

21

22

b

b

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

a

b

b

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

a



































































 







Например, найти произведение матриц

2

1

0

3

1

1

A















и

1

2

1

2

1

0

2

2

1

B























.

Решение:

1

2

1

2

1

0

2 1

1 2

0 2

2 2

1 1

0 2

2 1

1 0

0 1

4

5

2

2

1

0

3

1

1

3 1

1 1

1 2

3 2

1 1

1 2

3 1

1 0

1 1

7

9

4

2

2

1

A B







 







 







 

















































 

 



 

 



 

 





















Всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка,

в результате получим квадратную матрицу того же порядка.

Квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя , т.е.

возвести в квадрат (

𝐴

2

).

Матрицы

𝐴

и

𝐵

называются перестановочными, если

∙

𝐴 𝐵

=

∙

𝐵 𝐴

.

Например, найти произведение матриц

∙

𝐴 𝐵

и

∙

𝐵 𝐴

, если

3

1

1

2

A



















,

1

1

3

1

B















.

Решение:

3

1

1

1

0

2

1

2

3

1

5

1

A B





 

















 











 







1

1

3

1

2

1

3

1

1

2

8

1

B A





 

















 











 







Данный пример показывает, что произведение матриц не подчиняется

коммуникативному закону.

Матрица, полученная из данной заменой каждой строки столбцом с

тем

же

номером,

называется

матрицей

транспонированной

к

данной.

Обозначается

𝐴

𝑇

.

Например, найти матрицу, транспонированную к матрице

1

4

5

5

3

6

A

























.

Решение:

1

5

3

4

5

6

T

A

















Задания для самостоятельной работы:

1.

Найти матрицу

3

C

A

B





, если

1

2

2

1

3

0

A

























,

1

1

1

2

0

0

B

























2.

Какие из матриц являются ступенчатыми?

0

0

0

0

A















,

1

2

3

0

0

1

0

0

3

B

























,

1

0

1

0

1

2

0

5

8

0

0

3

C





























,

1

2

3

0

0

1

0

0

0

J























,

1

0

1

0

1

2

0

0

8

0

0

0

G





























,

0

0

1

0

F















,

1

2

3

0

1

1

0

0

7

Q

























3.

Дана матрица

1

3

0

1

2

4

2

1

3

A



























.

Найти матрицу

2

2

B

A

 

и

указать

элементы, стоящие на главной диагонали.

4.

Даны матрицы

3

0

1

2

1

2

A



















,

1

2

3

1

0

2

B



























и

1

0

1

3

1

2

0

1

1

C





























.

Найти:

a)

𝐴𝐵

, b)

𝐵𝐴

, c)

𝐴𝐶

, d)

𝐶𝐵

, i)

2

𝐶

2

𝐵𝐴

, f)

𝐶

𝑇

, g)

𝐶𝐶

𝑇

, h)

3

−

𝐶

2

𝐸

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Любой

квадратной

матрице

𝐴

порядка

𝑛

можно

поставить

в

соответствие

по

определенному

закону

некоторое

число,

называемое

определителем,

или

детерминантом,

n-го

порядка

этой

матрицы.

Обозначается определитель

A

или



,

и вычисляется следующим образом:

1.

Определители первого порядка:

Пусть дана матрица первого порядка





11

A

a



,

определителем такой

матрицы является элемент этой матрицы

11

A

a



.

2.

Определители второго порядка:

Пусть

дана

квадратная

матрица

второго

порядка

11

12

21

22

a

a

A

a

a















.

Определителем

второго

порядка,

соответствующим

данной

матрице,

называется

число,

получаемое

следующим

образом:

11

12

11

22

12

21

21

22

a

a

A

a

a

a

a

a

a











3.

Определители третьего порядка:

Для вычисления определителя третьего порядка, применяют 3 метода:

I.

Разложение определителя по строке или столбцу

Минором

некоторого

элемента

𝑎

𝑖𝑗

определителя

n-го

порядка

называется определитель n-1-го порядка, полученный из исходного путем

вычеркивания

строки

и

столбца,

на

пересечении

которых

находится

выбранный элемент. Обозначается

ij

M

.

Например, найти миноры

21

M

и

22

M

определителя

1

2

3

5

1

1

2

1

4





.

Решение:

21

1

2

3

2

3

5

1

1

11

1

4

2

1

4

M

 









22

1

2

3

1

3

5

1

1

2

2

4

2

1

4

M

 



 



Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки

или столбца на их миноры, взятые с «нужными» знаками.

Схема знаков:



















Формула

разложения

определителя

по

первой

строке

выглядит

следующим образом:

11

12

13

21

22

23

11

11

12

12

13

13

31

32

33

a

a

a

A

a

a

a

a

M

a

M

a

M

a

a

a















Например,

вычислить

определитель

третьего

порядка

2

3

4

1

0

2

1

2

1







разложением по второму столбцу.

Решение:

2

3

4

1

2

2

4

2

4

1

0

2

3 (

1)

0

2 (

1)

3 (

1)

0 (

2)

2 0

3

1

1

1

1

1

2

1

2

1































  























II.

Правило треугольника (правило звездочки)

11

12

13

21

22

23

31

32

33

a

a

a

a

a

a

a

a

a

11

12

13

21

22

23

31

32

33

a

a

a

a

a

a

a

a

a

«+» «-»

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены

прямыми, берется со знаком «плюс», аналогично, для второго определителя –

соответствующие произведения берутся со знаком «минус», т.е.:

11

12

13

21

22

23

11

22

33

12

23

31

21

32

13

31

32

33

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a





















13

22

31

11

23

32

12

21

33

a

a

a

a

a

a

a

a

a

















Например, вычислить определитель третьего порядка

2

3

4

1

0

2

1

2

1







по

правилу треугольника.

Решение:

2

3

4

1

0

2

2 0 1

3 (

2)

(

1)

(

4) 1 2

(

4)

0 (

1)

2 (

2)

2

3 1 1

1

2

1





















 





 















 







0

6

8

0

3

8

3





 

 



III.

Правило Саррюса

Справа

от

определителя

дописывают

первых

два

столбца

и

произведения

элементов

на

главной

диагонали

и

на

диагоналях

ей

параллельных, берут со знаком «плюс», а произведения элементов побочной

диагонали и диагоналей ей параллельных, со знаком «минус»:

11

12

13

11

12

21

22

23

21

22

11

22

33

12

23

31

13

21

32

13

22

31

11

23

32

12

21

33

31

32

33

31

32

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a





































Например, вычислить определитель третьего порядка

2

3

4

1

0

2

1

2

1







по

правилу Саррюса.

Решение:

2

3

4 2

3

1

0

2 1

0

2 0 1

3 (

2)

(

1)

(

4) 1 2

(

4)

0 (

1)

2 (

2)

2

3 1 1

1

2

1

1 2





















 





 















 









0

6

8

0

8

3

3





 

 



4.

Определители более высоких порядков:

Алгебраическим

дополнением

элемента

𝑎

𝑖𝑗

определителя

называется его минор, взятый со знаком «плюс», если сумма индексов

i

j



-

четное

число,

и

со

знаком

«минус»,

если

эта

сумма

нечетная,

т.е.:

(

1)

i

j

ij

ij

A

M



 



.

Обозначается

ij

A

.

Например, найти алгебраические дополнения

21

A

и

22

A

определителя

1

2

3

5

1

1

2

1

4





.

Решение:

2 1

21

2

3

(

1)

11

1

4

A



 



 



2 2

22

1

3

(

1)

2

2

4

A



 



 

Определители высоких порядков вычисляют с помощью разложения

по

строке

или

столбцу.

Это

позволяет

понизить

порядок

вычисляемых

определителей

и,

в

конечном

счете,

свести

задачу

к

нахождению

определителей 3-го порядка. Так, вычисляя определитель четвертого порядка

путем разложения его по элементам строки или столбца, придется вычислить

4 определителя третьего порядка.

Например, при разложении по первой строке:

11

12

13

14

22

23

24

21

23

24

21

22

23

24

1 1

1 2

11

32

33

34

12

31

33

34

31

32

33

34

42

43

44

41

43

44

41

42

43

44

(

1)

(

1)

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

























21

22

24

21

22

23

1 3

1 4

13

31

32

34

14

31

32

33

41

42

44

41

42

43

(

1)

(

1)

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a





















5.

Приведение определителя к треугольному виду:

!!! Изучите данную тему самостоятельно.

Основные свойства определителей

Свойство 1. Определитель не изменяется при транспонировании, т.е.

Замечание. Следующие свойства определителей будут формулироваться только для строк.

При этом из свойства 1 следует, что теми же свойствами будут обладать и столбцы.

.

33

23

13

32

22

12

31

21

11

33

32

31

23

22

21

13

12

11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a



Свойство 2. При умножении элементов строки определителя на некоторое

число весь определитель умножается на это число, т.е.

.

Свойство 3. Определитель, имеющий нулевую строку, равен 0.

Свойство 4. Определитель, имеющий две равные строки, равен 0.

Свойство 5. Определитель, две строки которого пропорциональны, равен 0.

Свойство 6. При перестановке двух строк определителя он умножается на –1.

Свойство 7. Если элементы какого – либо столбца (строки) представляют

собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на

сумму двух соответствующих определителей

Свойство 8. Величина определителя не изменится, если к элементам одной

строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на

одно и то же число.

Задание для самостоятельной работы:

Вычислите определитель матрицы

1

3

1

2

5

8

2

7

4

5

3

2

7

8

4

5

A







































33

32

31

23

22

21

13

12

11

a

a

a

a

a

a

ka

ka

ka

.

33

32

31

23

22

21

13

12

11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

k

.

0

0

0

0

33

32

31

13

12

11



a

a

a

a

a

a

.

0

33

32

31

13

12

11

13

12

11



a

a

a

a

a

a

a

a

a

.

0

33

32

31

13

12

11

13

12

11



a

a

a

ka

ka

ka

a

a

a





33

32

31

13

12

11

23

22

21

a

a

a

a

a

a

a

a

a

.

33

32

31

23

22

21

13

12

11

a

a

a

a

a

a

a

a

a









33

32

31

23

22

21

3

3

2

2

1

1

a

a

a

a

a

a

c

b

c

b

c

b



33

32

31

23

22

21

3

2

1

a

a

a

a

a

a

b

b

b

.

33

32

31

23

22

21

3

2

1

a

a

a

a

a

a

c

c

c









33

32

31

23

22

21

23

13

22

12

21

11

a

a

a

a

a

a

ka

a

ka

a

ka

a

.

33

32

31

23

22

21

13

12

11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ

Квадратная

матрица

𝐴

называется

невырожденной,

если

определитель не равен нулю, в противном случае матрица

𝐴

называется

вырожденной.

Матрицей, союзной к матрице

𝐴

, называется матрица, составленная из

алгебраических дополнений:

11

12

1

21

22

2

*

1

2

m

m

n

n

nm

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A



























Например, составить союзную матрицу для матрицы:

4

3

4

5

1

2

3

2

0

A





























Решение:

1 2

12

5

2

(

1)

6

3

0

A





 







2 1

21

3

4

(

1)

8

2

0

A



 



 



3 1

31

3

4

(

1)

10

1

2

A



 



 



1 2

12

5

2

(

1)

6

3

0

A





 







2 2

22

4

4

(

1)

12

3

0

A



 







3 2

32

4

4

(

1)

28

5

2

A



 







1 3

13

5

1

(

1)

7

3

2

A



 



 





2 3

23

4

3

(

1)

1

3

2

A



 



 





3 3

33

4

3

(

1)

11

5

1

A



 



 

*

4

6

7

8

12

1

10

28

11

A



































Матрица

1

A



называется обратной по отношению к матрице

A

, если

выполняется условие:

1

1

A A

A

A

E













, где

E

- единичная матрица того же

порядка, что и матрица

A

. Матрица

1

A



имеет те же размеры, что и матрица

A

.

Теорема: всякая невырожденная матрица имеет обратную, которая

вычисляется

следующим

образом:

1

*

1

(

)

T

A

A

A







,

где

A

-

определитель

матрицы,

*

A

- союзная матрица.

Свойства обратной матрицы:

1.

1

1

A

A





2.





1

1

1

A B

B

A













3.





1

1

(

)

T

T

A

A







Способ нахождения обратной матрицы:

1.

Вычисление определителя матрицы

A

;

2.

Нахождение алгебраических дополнений

ij

A

;

3.

Построение союзной матрицы

*

A

;

4.

Нахождение обратной матрицы:

1

*

1

(

)

T

A

A

A







;

5.

Проверка:

1

1

A A

A

A

E













.

Например, вычислим обратную матрицу для матрицы

4

3

4

5

1

2

3

2

0

A





























Решение: проверяем, является ли матрица невырожденной:

4

3

4

5

1

2

26

3

2

0

A





 





.

Находим союзную матрицу:

*

4

6

7

8

12

1

10

28

11

A



































- данная

матрица уже вычислялась ранее. Транспонируем союзную матрицу:





*

4

8

10

6

12

28

7

1

11

T

A



































.

Находим обратную матрицу:

1

1

1

1

(

4)

(

8)

(

10)

26

26

26

4

8

10

1

1

1

1

6

12

28

6

12

28

26

26

26

26

7

1

11

1

1

1

(

7)

(

1)

(

11)

26

26

26

A































































































































2

4

5

13

13

13

3

6

14

13

13

13

7

1

11

26

26

26













































.

Проверяем выполнение условия

1

1

A A

A

A

E













1

2

4

5

13

13

13

4

3

4

3

6

14

5

1

2

13

13

13

3

2

0

7

1

11

26

26

26

A A















































































2

3

7

4

6

1

5

14

11

4

3 (

)

4

4

3 (

)

4

4

3 (

)

4

13

13

26

13

13

26

13

13

26

2

3

7

4

6

1

5

14

11

5

1 (

)

(

2)

5

1 (

)

(

2)

5

1 (

)

(

2)

13

13

26

13

13

26

13

13

26

2

3

7

4

6

1

5

(

3)

(

2)

(

)

0

(

3)

(

2)

(

)

0

(

3)

(

2)

13

13

26

13

13

26

13









































 



 





 



 





 



 







 













 













 



14

11

(

)

0

13

26













































8

9

28

16

18

4

20

42

44

13

13

26

13

13

26

13

13

26

10

3

14

20

6

2

25

14

22

13

13

26

13

13

26

13

13

26

6

6

12

12

15

28

0

)

0

0

13

13

13

13

13

13



















































































16

18

28

32

36

4

40

84

44

26

26

26

20

6

14

40

12

2

50

28

22

26

26

26

15

28

0

0

13



































































26

0

0

26

26

26

1

0

0

0

26

0

0

1

0

26

26

26

0

0

1

13

0

0

13





























































Задание для самостоятельной работы:

Найдите обратную матрицу для

1

2

4

0

2

4

3

1

2

A

























.

РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ

Простейшие матричные уравнения могут быть трех видов:

1.

A X

B





2.

X A

B





3.

A X C

B







,

где

X

- неизвестная матрица

Во всех трех случаях матрицы

A

,

B

,

C

и

X

имеют такую размерность,

что

операции

умножения

выполнимы.

При

этом,

левая

и

правая

части

уравнения, представляют собой матрицы одинаковой размерности.

1.

для

уравнения

A X

B





матрица

X

вычисляется

по

формуле:

1

X

A

B







2.

для

уравнения

X A

B





матрица

X

вычисляется

по

формуле:

1

X

B A







3.

для

уравнения

A X C

B







матрица

X

вычисляется

по

формуле:

1

1

X

A

B C











Например, решить матричное уравнение

2

3

3

1

3

9

4

5

2

8

5

6

X























































Решение:

запишем

уравнение

в

виде:

A X C

B







,

где

2

3

4

5

A



















,

3

1

2

8

C



















,

3

9

5

6

B



















и

X

-

неизвестная

матрица.

Решением

этого

уравнения является матрица:

1

1

X

A

B C











.

Для этого найдем матрицы

1

A



и

1

C



.

A X

B





и

1

4

1

11

22

1

3

11

22

C

































.

Вычислим

матрицу

4

1

27

81

5

3

3

9

11

22

22

44

2

2

5

6

1

3

8

35

2

1

11

22

11

22

X

































































 

































.

Проверка:

27

81

2

3

3

1

3

9

22

44

4

5

8

35

2

8

5

6

11

22



























































 

 

















СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Пусть дана система n линейных уравнений с m неизвестными

1

x

,

2

x

, …,

m

x

:

11

1

12

2

1

1

21

1

22

2

2

2

1

1

2

2

m

m

m m

n

n

nm

m

n

a x

a x

a

x

b

a x

a

x

a

x

b

a x

a

x

a

x

b







































, где

ij

a

-

произвольные числа,

называемые

коэффициентами

при

неизвестных,

i

b

-

произвольные

числа,

называемые свободными элементами.

Решением

линейной

системы

называется

такая

совокупность

m

чисел

1

1

x

k



;

2

2

x

k



;

…;

m

m

x

k



,

при подстановке которых каждое уравнение

системы обращается в верное равенство.

Матрица:

11

12

1

21

22

21

1

2

m

n

n

nm

a

a

a

a

a

a

A

a

a

a



























,

составленная из коэффициентов при

неизвестных, называется основной матрицей системы.

Теорема: система n линейных уравнений с m неизвестными имеет

единственное решение тогда и только тогда, когда определитель основной

матрицы системы отличен от нуля.

Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера

По правилу Крамера можно решать системы, когда число уравнений

равно числу неизвестных.

Правило Крамера: пусть



-

определитель матрицы системы, а

i



-

определитель, полученный из



заменой i – го столбца столбцом свободных

элементов.

Тогда,

если

0

 

,

то

система

имеет

единственное

решение,

определяемое по формуле:

i

i

x







Таким образом, правило Крамера позволяет найти единственное решение

системы или сделать вывод о существовании бесконечного числа решений

либо об их отсутствии:

1)

Если

0

 

-

система имеет единственное решение, определяемое по

формуле:

i

i

x







.

2)

Если

0

i

   

-

система имеет бесконечно много решений.

3)

Если

=0, а хотя бы один из

0

i

 

-

система не имеет решений.

Например:

1.

решить систему линейных алгебраических уравнений по правилу

Крамера:

1

2

3

1

2

3

1

2

3

2

3

2

1

3

3

7

4

5

6

3

x

x

x

x

x

x

x

x

x





 























Решение:

2

3

2

3

1

3

4

5

6

A





























2

3

2

3

1

3

22

4

5

6



 







,

следовательно

0

 

-

система имеет единственное

решение, определяемое по формуле:

i

i

x







.

1

1

3

2

7

1

3

44

3

5

6





 



 



2

2

1

2

3

7

3

110

4

3

6





 



3

2

3

1

3

1

7

132

4

5

3



 







1

44

2

22

x





 

2

110

5

22

x





3

132

6

22

x





2.

решить систему линейных алгебраических уравнений по правилу

Крамера:

1

2

3

1

2

3

1

2

3

5

2

3

3

2

2

8

x

x

x

x

x

x

x

x

x





























Решение:

1

1

1

2

1

1

3

2

2

A

























1

1

1

2

1

1

0

3

2

2

 



,

поэтому система либо не имеет решения, либо имеет

бесконечное

множество

решений.

Найдем

i



:

1

5

1

1

3

1

1

0

8

2

2

 



2

1

5

1

2

3

1

0

3

8

2

 



3

1

1

5

2

1

3

0

3

2

8

 



.

Следовательно

система

имеет

бесконечное множество решений.

3.

решить систему линейных алгебраических уравнений по правилу

Крамера:

1

2

3

1

2

3

1

2

3

5

2

3

3

2

2

10

x

x

x

x

x

x

x

x

x





























Решение:

1

1

1

2

1

1

3

2

2

A























1

1

1

2

1

1

0

3

2

2

 



,

поэтому система либо не имеет решения, либо имеет

бесконечное

множество

решений.

Найдем

i



:

1

5

1

1

3

1

1

0

10

2

2

 



2

1

5

1

2

3

1

2

0

3

10

2

 





3

1

1

5

2

1

3

0

3

2

10

 



.

Следовательно система не имеет

решения.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

!!! Изучите данную тему самостоятельно.

Решение систем линейных уравнений матричным способом (с помощью

обратной матрицы)

Рассмотрим линейную систему:

11

1

12

2

1

1

21

1

22

2

2

2

1

1

2

2

m

m

m

m

n

n

nm

m

n

a x

a x

a

x

b

a x

a

x

a

x

b

a x

a

x

a

x

b







































,

введем

обозначения

11

12

1

21

22

21

1

2

m

n

n

nm

a

a

a

a

a

a

A

a

a

a



























,

1

2

n

x

x

X

x



























-

столбец

неизвестных,

1

2

n

b

b

B

b



























-

столбец

свободных членов.

Тогда

исходную

систему

можно

записать

в

виде

матричного

уравнения:

A X

B





Отыскание

решения

системы

по

формуле

1

X

A

B







,

называют

матричным способом решения системы.

Задания для самостоятельной работы:

1.

Решить матричное уравнение

1

2

3

5

3

4

5

9

X





























2.

Решить систему линейных алгебраических уравнений по правилу

Крамера

2

4

3

1

2

4

3

3

5

2

x

y

z

x

y

z

x

y

z





























2

4

3

1

2

4

3

3

5

2

x

y

z

x

y

z

x

y

z





























3.

Решить систему линейных алгебраических уравнений матричным

способом

4

2

3

7

5

8

x

y

z

x

y

z

x

y

z





























РАЗДЕЛ 3. ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

Под множеством понимают совокупность объектов любой природы,

обладающих общим свойством. Примеры множеств:

∙

множество студентов в группе;

∙

множество книг на полке;

∙

множество людей в мире;

∙

множество действительных чисел.

Объекты

(числа),

составляющие

множество,

называются

его

элементами.

Множества

обычно

обозначаются

большими

буквами

латинского

алфавита A, B, C, …, а элементы множеств – малыми буквами а, b, c, …

Запись

a

A



означает,

что

элемент

a

принадлежит

множеству

A

.

Запись

a

A



означает, что элемент

a

не принадлежит множеству

A

.

Например, рассмотрим множество





1;

2;

3;

5;

8

A



,

состоящее из

пяти чисел. Ясно, что, например,

3

A



,

8

A



,

0

A



,

1

3

A



.

Множество,

состоящее

из

конечного числа

элементов,

называется

конечным, из бесконечного числа элементов - бесконечным. Например,

множество дней в году – конечное множество; множество целых чисел –

бесконечное множество.

Множество, не имеющее ни одного элемента, называется пустым

множеством и обозначают символом Ø. Например, множество детей до 5 лет

в группе студентов; множество четных чисел в множестве





1;

3;

5;

7

A



.

Если каждый элемент множества

A

есть элемент множества В, то

говорят, что A есть подмножество множества В, и пишут

A

B



.

Если

A

B



и

A

B



, то пишут, что

A

B



.

Например: N – множество натуральных чисел; Z –

множество

целых

чисел;

Q

–

множество

рациональных

чисел.

Имеем:

N

Z

Q





.

Принято

считать,

что

пустое

множество

является

подмножеством

любого множества.

Число подмножеств любого конечного

множества, содержащего n

элементов, равно

2

n

.

Например,

дано

множество

М

=

{a;

c;

m}.

Найти

все

его

подмножества.

Решение:

M

1

= {a}, M

2

= {c}, M

3

= {m}, M

4

= {a; c}, M

5

= {a; m}, M

6

= {c; m}, M

7

= {a; c; m}, M

8

= Ø. Итого 8 подмножеств

2

8

n



.

Множества А и В называют равными (А = В), если они состоят из

одних и тех же элементов, т.е.

B

A



и

A

B



. Например, множества А = {3, 5,

7, 9} и В = {7, 3, 9, 5} равны, т. к. состоят из одинаковых элементов.

Множества,

элементами

которых

являются

числа,

называются

числовыми.

Способы задания множеств:

Существует три способа задания множеств:

1.

Перечислением его элементов

Так

можно

задавать

только

конечные

множества.

Например,





2;

4;

6;

;

100

A







2;

4;

6;

8;

10

A



2.

Описанием характеристических свойств, которыми обладают его

элементы

Например,





: 2

A

x

N x





- множество натуральных чисел, делящихся

на 2.

3.

Порождающей процедурой, которая описывает способ получения

элементов множества из уже имеющихся элементов либо других

объектов.

В

этом

случае

элементами

множества

являются

все

объекты,

которые

могут

быть

построены

с

помощью

такой

процедуры.

Например, порождающая процедура содержит три правила: а)

2

A



, б)

если

x

N



; то

2

x

A





; в)

98

x



, значит задано множество всех четных

чисел, не превышающих 100:





2;

4;

6;

;

100

A



.

Операции над множествами. Диаграммы Эйлера-Венна.

Универсальным

множеством

U

называется

множество

всех

элементов, которые могут встретиться в данном исследовании.

Диаграмма

Эйлера

–

Венна

представляет

собой

изображение

прямоугольника, обозначающего универсальное множество U, а внутри него

– кругов (или каких–нибудь других замкнутых фигур), соответствующих

рассматриваемым

множествам.

Фигуры

должны

быть

соответствующим

образом обозначены и могут схематически пересекаться или не пересекаться

в наиболее общем случае, требуемом в задаче.

Точки,

лежащие

внутри

различных

областей

диаграммы,

можно

рассматривать как элементы соответствующих множеств.

Заштриховав

определенные

области

диаграммы,

можно

получить

наглядное

геометрическое

представление

(образы)

требуемых

в

задаче

множеств и их комбинаций.

Объединением двух множеств A и B (обозначается

A

B



) называется

множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из

множеств A и B:





:

A

B

x

x

A

или

x

B









Например,

найти

объединение

двух

множеств





2;

4;

6;

8;

10;

12

A



и





3;

6;

9;

12

B



Решение: объединение множеств A и B будет состоять из элементов,

принадлежащих

как

множеству

A,

так

и

множеству

B:





2;

3;

4;

6;

8;

9;

10;

12

A

B





Пересечением двух множеств A и B (обозначается

A

B



) называется

множество,

состоящее

из

элементов,

принадлежащих и

множеству

A,

и

множеству B:





:

A

B

x

x

A

и

x

B









Например, найти пересечение двух множеств





2;

4;

6;

8;

10;

12

A



и





3;

6;

9;

12

B



Решение: пересечение множеств A и B будет состоять только из

элементов, одновременно входящих как в множество A, так и в множество B:





6;

12

A

B





Дополнением

(до

U)

множества

A

(обозначается

A

)

называется

множество всех элементов, не принадлежащих A (но принадлежащих U):





\

:

A

U A

x

x

U

и

x

A









Например,

найти

дополнение

множества





2;

4;

5

A



до

универсального множества





1;

2;

3;

4;

5;

6;

7;

8

U



Решение: дополнение множества A до U будет состоять из элементов,

принадлежащих

множеству

U,

но

не

принадлежащих

множеству

A:





1;

3;

6;

7;

8

A



Разностью

множеств

A

и

B

(обозначается

\

A B

)

называется

множество тех элементов множества A, которые не содержатся в множестве

B:





\

:

A B

x

x

A

и

x

B







В общем случае

\

\

A B

B A



Замечание:

\

A B

A

B





Например, найти разность двух множеств





2;

4;

6;

8;

10;

12

A



и





3;

6;

9;

12

B



Решение: разность множеств A и B будет состоять из всех элементов,

множества A, не принадлежащих множеству B:





\

2;

4;

8;

10

A B



Симметрической

разностью

A B



множеств

A

и

B

называется

объединение множеств

\

A B

и

\

B A

,

т.е.

(

\

)

(

\

)

A B

A B

B A

 



:





:

\

\

A B

x

x

A B

или

x

B A









Замечание:

(

) \ (

)

A B

A

B

A

B

 





Например,

найти

симметрическую

разность

двух

множеств





2;

4;

6;

8;

10;

12

A



и





3;

6;

9;

12

B



Решение: симметрическая разность множеств A и B:





\

2;

4;

8;

10

A B







\

3;

9

B A







(

\

)

(

\

)

2;

3;

4;

8;

9;

10

A B

A B

B A









Основные тождества алгебры множеств:

Для любых подмножеств A, B и C универсального множества U

выполняются следующие тождества:

Коммутативность объединения:

A

B

B

A







Коммутативность пересечения:

A

B

B

A







Ассоциативность объединения:

(

)

(

)

A

B

C

A

B

C











Ассоциативность пересечения:

(

)

(

)

A

B

C

A

B

C











Дистрибутивность

объединения

относительно пересечения:

(

)

(

)

(

)

A

B

C

A

B

A

C













Дистрибутивность

пересечения

относительно объединения:

(

)

(

)

(

)

A

B

C

A

B

A

C













Законы

действия

с

пустым

и

универсальным множествами:

1.

A

A

 

2.

A

A

U

 

3.

A

U

U





Законы

действия

с

пустым

и

универсальным множествами:

1.

A

  

2.

A

A

  

3.

A

U

A





Закон идемпотентности объединения:

A

A

A





Закон идемпотентности пересечения:

A

A

A





Закон де Моргана:

A

B

A

B

 



Закон де Моргана:

A

B

A

B

 



Закон поглощения:





A

A

B

A







Закон поглощения:





A

A

B

A







Закон склеивания:









A

B

A

B

A









Закон склеивания:









A

B

A

B

A









Закон Порецкого:





A

A

B

A

B









Закон Порецкого:





A

A

B

A

B









Закон дистрибутивности пересечения относительно разности:













\

\

A

B C

A

B

A

C









Закон двойного дополнения:

A

A



Закон коммутативности симметрической разности:

A B

B A







Закон ассоциативности симметрической разности:









A

B C

A B

C











Закон дистрибутивности пересечения относительно симметрической разности:













A

B C

A

B

A

C













Операции объединения







, пересечения







, разности





\

являются

двуместными.

Операция дополнения





– одноместная.

Используя

эти

операции,

можно

выражать одни

множества

через

другие, при этом сначала выполняется одноместная операция дополнения,

затем пересечения и только затем операция объединения и разности. Для

изменения этого порядка в выражении используют скобки.

Например, доказать





\

\

A

A B

A

B





Решение: по формуле разности:

\

A B

A

B





,

следовательно:

\ (

)

(

)

A

A

B

A

A

B









,

по

закону

де

Моргана

получаем

(

)

A

B

A

B







,

и

по

закону

двойного

дополнения:

B

B



,

следовательно

\ (

)

(

)

(

)

A

A

B

A

A

B

A

A

B















.

Согласно

дистрибутивности пересечения относительно объединения:

(

)

(

)

(

)

A

A

B

A

A

A

B













и по второму закону действия с

пустым

и

универсальным

множеством:

A

A

  

,

следовательно:

(

)

(

)

(

)

(

)

A

A

B

A

A

A

B

A

B













 



.

По

закону

дистрибутивности

объединения

относительно

пересечения

и

первому

закону

действия

с

пустым

и

универсальным

множеством:

A

A

 

,

значит

-

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

A

A

B

A

A

A

B

A

B

A

B

A

B













 



 

 





Разбиение множества на классы:

Разбиением

множества M на классы

𝐴

𝑖

называется представление

данного множества в виде суммы попарно непересекающихся его множеств

𝐴

𝑖

,

𝑖

= 1, 2, … ,

𝑛

, таких, что каждый элемент множества M является в то же

время и элементом множества

𝐴

𝑖

, т.е.

𝑀

=

𝐴

1

𝐴

∪

2

…

𝐴

∪

∪

𝑛

.

Пусть, в частности,

𝑀

= 𝐴

𝐴

𝐴

∪ ∪

, где A, B,

C – пересекающиеся множества. Тогда разбиение

множества

M

на

классы

можно

представить

в

следующем

виде:

𝑀

=

𝐴

1

+

𝐴

2

+

𝐴

3

+

𝐴

4

+

𝐴

5

+

𝐴

6

+

𝐴

7

,

где

𝐴

1

=

∩

∩

𝐴 𝐵

𝐶

;

𝐴

2

=

𝐴

̅

∩

∩

𝐵

𝐶

;

𝐴

3

=

∩

𝐴 𝐵

̅

∩

𝐶

;

𝐴

4

=

∩

∩

𝐴 𝐵

𝐶

̅

;

𝐴

5

=

𝐴

̅

∩

𝐵

̅

∩

𝐶

;

𝐴

6

=

𝐴

̅

∩

∩

𝐵

𝐶

̅

;

𝐴

7

=

∩

𝐴 𝐵

̅

∩

𝐶

̅

.

Иногда в задачах возникает необходимость нахождения множества

𝐴

̅

∩

𝐵

̅

∩

𝐶

̅

. Оно определяется из соотношения

𝐴

𝐴

𝐴

∪ ∪

+

𝐴

̅

∩

𝐵

̅

∩

𝐶

̅

=

𝑈

.

Число элементов конечного множества называется его мощностью и

обозначается

𝑚

(

)

𝐴

. Если пересечение конечных множеств A и B

(

∩

)

𝐴 𝐵

пусто, то

𝑚

(

𝐴

𝐴

∪

)

=

𝑚

(

𝐴

)

+

(

)

𝑚 𝐵

.

В общем случае

𝑚

(

𝐴

𝐴

∪

)

=

𝑚

(

𝐴

)

+

𝑚

(

𝐵

)

−

𝑚

(

∩

)

𝐴 𝐵

Например,

решить

задачу:

«На

фирме

работают

40

человек.

Из

анкетных данных известно, что 20 человек владеют английским языком, 20

человек

–

компьютером,

14

человек

–

делопроизводством.

Английским

языком и копьютером9 человек; английским языком и делопроизводством –

7

человек;

компьютером

и

делопроизводством –

5

человек;

английским

языком, компьютером и делопроизводством – 2 человека. Сколько человек не

владеют ни английским языком, ни компьютером, ни делопроизводством?»

Решение: введем обозначения:

1.

U – множество человек, работающих на фирме;

2.

A – множество человек, владеющих английским языком;

3.

B - множество человек, владеющих компьютером;

4.

C - множество человек, владеющих делопроизводством;

5.

A ∩ B

-

множество

человек,

владеющих

английским

языком

и

компьютером;

6.

A ∩

С

-

множество

человек,

владеющих

английским

языком

и

делопроизводством;

7.

B ∩ C

-

множество

человек,

владеющих

компьютером

и

делопроизводством;

8.

A ∩ B ∩

С

- множество человек, владеющих английским языком,

компьютером и делопроизводством;

Тогда мощности этих множеств равны: m(U)=40; m(A)=20; m(B)=20;

m(C)=14; m(

A ∩ B

)=9; m(

A ∩

С

)=7; m(

B ∩ C

)=5; m(

A ∩ B ∩ C

)=2.

По условию задачи необходимо определить

мощность множества

A

̅

∩ B

̅

∩ C

̅

. Найти ее можно по

формуле

A

̅

∩ B

̅

∩ C

̅

= U − (A ∩ B ∩ C)

.

Пусть

A

B

C

∪

∪

равно множеству M, которое разделим на

7

попарно

непересекающихся

множеств

A

1

, A

2

, … , A

7

и найдем мощности каждого из этих

множеств.

1.

1

A

A

B

C



 

- множество человек, владеющих английским языком,

компьютером и делопроизводством;

2.

2

A

A

B

C



 

-

множество

человек,

не

владеющих

английским

языком и владеющих компьютером и делопроизводством;

3.

3

A

A

B

C



 

- множество человек, не владеющих компьютером и

владеющих английским языком и делопроизводством;

4.

4

A

A

B

C



 

-

множество

человек,

не

владеющих

делопроизводством

и

владеющих

английским

языком

и

компьютером;

5.

5

A

A

B

C



 

-

множество

человек,

не

владеющих

английским

языком и компьютером и владеющих делопроизводством;

6.

6

A

A

B

C



 

-

множество

человек,

не

владеющих

английским

языком и делопроизводством и владеющих компьютером;

7.

7

A

A

B

C



 

- множество человек, не владеющих компьютером и

делопроизводством и владеющих английским языком;

Мощность

1

A

A

B

C



 

определяли из условия задачи, она равна 2.

Определим остальные мощности:

2

1

(

)

(

)

(

)

5

2

3

m A

m B

C

m A













3

1

(

)

(

)

(

)

7

2

5

m A

m A

C

m A













4

1

(

)

(

)

(

)

9

2

7

m A

m A

B

m A













5

1

2

3

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

14

2

3

5

4

m A

m C

m A

m A

m A



















6

1

2

4

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

20

2

3

7

8

m A

m B

m A

m A

m A



















7

1

3

4

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

20

2

5

7

6

m A

m A

m A

m A

m A



















Окончательно

1

2

3

4

5

6

7

M

A

B

C

A

A

A

A

A

A

A



 















, значит

1

2

3

4

5

6

7

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2

3

5

7

4

8

6

35

m M

m A

m A

m A

m A

m A

m A

m A































1

2

3

4

5

6

7

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2

3

5

7

4

8

6

35

m M

m A

m A

m A

m A

m A

m A

m A































Следовательно,

(

)

(

)

(

)

40

35

5

m A

B

C

m U

m M

 











(

)

(

)

(

)

40

35

5

m A

B

C

m U

m M

 











,

отсюда следует, что 5 человек на фирме

не владеют ни английским языком, ни компьютером, ни делопроизводством.

Задания для самостоятельной работы:

1.

Даны

множества





1;

3;

4;

5;

9

A



и





2;

4;

5;

10

B



.

Определите

A

B



,

A

B



,

\

A B

,

\

B A

,

B

2.

Упростите выражение









\

\

A

B A

A

C

A

C C



 

 

3.

Решить задачу: на уроке литературы учитель решил узнать, кто из

40

учеников

класса

читал

книги

A,

B,

С.

Результаты

опроса

оказались таковы: книгу A читали 25 учеников; книгу B читали 22

ученика; книгу С читали 22 ученика; книги

A и B читали 33

ученика; книги A и С читали 32 ученика; книги B и С читали 31

ученик;

все

книги

читали

10

учеников.

Определите

сколько

учеников не прочитали ни одной книги?

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

Под

высказыванием

будем

понимать

любое

повествовательное

предложение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно.

Повелительные, вопросительные и бессмысленные предложения не являются

высказываниями.

Примеры высказываний:

∙

река Волга впадает в Каспийское море;

∙

берлин – столица России;

∙

число 9 делится на 3;

∙

курица не птица.

Высказывания

1

и

3

истинны,

а

высказывания

2

и

4

–

ложны.

Предложения

типа

«Будь

здоров!»,

«Который

час?»

не

являются

высказываниями.

Высказывания, представляющие собой одно утверждение, называются

простыми,

или

элементарными.

Из

элементарных

высказываний

по

определенным логическим правилам составляются сложные высказывания.

Все

высказывания

рассматриваются

только

с

точки

зрения

логического значения, отвлекаясь от их житейского содержания. Считается,

что каждое высказывание либо истинно, либо ложно и ни одновысказывание

не может быть одновременно истинным и ложным.

Элементарные высказывания, как правило, обозначаются латинскими

буквами A, B, C, …

Истинные

значения

высказываний

обозначаются

буквой

И

или

цифрой 1, а ложные – буквой Л или цифрой 0.

Логические операции над высказываниями:

Конъюнкция

(операция

«и»,

логическое

произведение)

двух

элементарных высказываний A и В – новое высказывание, которое считается

истинным, если оба высказывания A и В истинны и ложным – во всех других

случаях.

Обозначается

A

B



и читается «А и В».

Логические значения конъюнкции описываются таблицей истинности:

A

B

A

B



1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

Например: высказывание А: 8 делится на 2

высказывание В: 8 делится на 4

высказывание

A

B



:

8 делится на 2 и на 4. В данном примере

высказывание

A

B



истинно, т.к. истинны оба высказывания.

Дизъюнкция

(операция

«или»,

логическая

сумма)

двух

элементарных высказываний A и В – новое высказывание, которое считается

ложным,

если

оба

высказывания

ложны

и

истинным

–

во

всех

других

случаях.

Обозначается

A

B



и читается «А или В», при этом разделительный

смысл слова «или» исключается.

Логические значения дизъюнкции описываются таблицей истинности:

A

B

A

B



1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

Например: высказывание А: Москва – столица России

высказывание В: Киев – столица России

высказывание

A

B



:

Москва – столица России или Киев – столица России. В

данном

примере

высказывание

A

B



является

истинным,

т.к.

истинно

высказывание А.

Неравнозначность

(исключающее,

разделительное

«или»)

двух

элементарных высказываний A и В – новое высказывание, которое ложно,

если оба высказывания либо одновременно истинны, любо одновременно

ложны и истинно – в противном случае.

Обозначается

A

B



и читается: «либо А, либо В», «или А, или В».

Понимается в разделительном смысле.

Логические

значения

неравнозначности

описываются

таблицей

истинности:

A

B

A

B



1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

0

Например: высказывание А: юноша - школьник

высказывание В: юноша - студент

высказывание

A

B



:

юноша или школьник, или студент. В данном примере

связка «или» понимается очевидно в разделительном смысле.

Отрицание

(инверсия)

высказывания

A

–

новое

высказывание,

которое считается истинным, если высказывание А ложно, и ложным, если

высказывание А истинно.

Обозначается символом

A

и читается: «не А», или «неверно, что А».

Понимается в разделительном смысле.

Логические значения отрицания описываются таблицей истинности:

A

A

1

0

0

1

Можно

образовать

также

отрицание

высказывания

A

,

т.е.

высказывание

A

,

которое называется двойным отрицанием высказывания.

Ясно, что

A

совпадает с самим высказыванием А.

Например: высказывание А: река Волга впадает в Каспийское море

высказывание

A

:

река Волга не впадает в Каспийское море.

высказывание

A

:

неверно, что река Волга не впадает в Каспийское море.

Импликация (логическое следование) двух высказываний A и В –

новое высказывание, которое считается ложным, если А истинно, а В ложно

и истинным – во всех остальных случаях.

Обозначается

A

B



и читается: «если А, то В» или «из А следует В».

При

этом

высказывание

А

называют

условием

или

посылкой,

а

высказывание В – следствием или заключением.

Логические значения импликации описываются таблицей истинности:

A

B

A

B



1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

Например: высказывание А: Москва – столица России

высказывание В: Москва – столица США

высказывание

A

B



ложно, т.к. высказывание А истинно, а высказывание В

ложно.

Двойная импликация (эквивалентность) двух высказываний A и В –

новое высказывание, которое считается истинным, когда оба высказывания А

и В либо одновременно истинны, либо одновременно ложны, и ложным – во

всех остальных случаях.

Обозначается

A

B



(

A

B

,

A

B



)

и читается: «А тогда и только тогда,

когда В» или «А эквивалентно В».

Логические

значения

двойной

импликации

описываются

таблицей

истинности:

A

B

A

B



1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

Например: высказывание А: четырехугольник параллелограмм

высказывание В: в четырехугольнике противолежащие

стороны попарно параллельны

высказывание

A

B



читается

так:

для

того

чтобы

четырехугольник был

параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы в четырехугольнике

противолежащие стороны были попарно параллельны.

Формулы алгебры логики:

С помощью алгебры логики над высказываниями можно выполнять

следующие операции:

1.

из заданной совокупности элементарных высказываний строить

различные сложные высказывания;

2.

сложные высказывания представлять в виде цепочки элементарных

высказываний;

3.

упрощать

сложные

высказывания

с

помощью

равносильных

формул;

4.

проверять (доказывать) истинность или ложность цепочек сложных

высказываний.

Порядок выполнения операций указывается скобками, которые можно

опускать,

придерживаясь

следующего

порядка

действий:

конъюнкция

выполняется раньше, чем все остальные операции, дизъюнкция – раньше,

чем

импликация

и

эквивалентность.

Если

над

формулой

стоит

знак

отрицания, то скобки же опускаются.

Основные законы, определяющие логические операции:

Закон идемпотентности дизъюнкции:

A

A

A





Закон идемпотентности конъюнкции:

A

A

A





Закон коммутативности дизъюнкции:

A

B

B

A







Закон коммутативности конъюнкции:

A

B

B

A







Закон ассоциативности дизъюнкции:

Закон ассоциативности конъюнкции:

(

)

(

)

A

B

C

A

B

C











(

)

(

)

A

B

C

A

B

C











Законы

дистрибутивности

дизъюнкции

относительно конъюнкции:

(

)

(

)

A

B

C

A

B

A C













Законы дистрибутивности:









(

)

A

B

C

A

B

A

C













Закон де Моргана:

A

B

A

B







Закон де Моргана:

A

B

A

B







Закон склеивания:









A

B

A

B

A









Закон склеивания:









A

B

A

B

A









Закон поглощения:





A

A

B

A







Закон поглощения:





A

A

B

A







Закон Порецкого:





A

A

B

A

B









Закон Порецкого:





A

A

B

A

B









0

A

A





0

0

A

 

1

1

A

 

1

A

A

 

Закон исключенного третьего:

1

A

A





Закон противоречия:

0

A

A





A

B

A

B







A

B

A

B







A

B

A

B







A

B

A

B







Закон снятия двойного отрицания:

A

A



A

B

A

B

A

B

 







A

B

A

B

A

B

 







A

B

A

B

A

B

 































A

B

A

B

B

A

A

B

A

B

A

B

A

B

 























Например: с помощью таблиц истинности проверьте справедливость

следующего логического закона:













A

B

C

A

B

A

C













Решение:

A

B

C

B

C







A

B

C





A

B



A

C











A

B

A

C







1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Как

видно

из

таблицы,

истинные

и

ложные

значения

пятой

и

последней колонок совпадают.

Задание для самостоятельной работы:

С помощью таблиц истинности проверьте правильность следующих

логических законов:

1.

A

B

A

B







A

B

A

B







2.









A

B

A

B

A

B

 















A

B

A

B

A

B

 







3.













A

B

C

A

B

A

C

























A

B

C

A

B

A

C













РАЗДЕЛ 4. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

!!! Изучите данную тему самостоятельно

ПРЕДМЕТ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Математическая

статистика

–

раздел

математики,

в

котором

изучаются

методы

сбора,

систематизации

и

обработки

результатов

наблюдений массовых случайных явлений для выявления существующих

закономерностей.

Совокупность всех подлежащих изучению объектов или возможных

результатов

всех

мыслимых

наблюдений,

производимых

в

неизменных

условиях над одним объектом, называется генеральной совокупностью.

Основной задачей математической статистики является определение

вероятностных

характеристик

генеральной

совокупности.

Поэтому

из

генеральной совокупности случайным образом выбирают часть объектов,

которая называется выборкой (выборочной совокупностью).

Более

строго:

выборка

–

это

последовательность

1

2

,

,

...,

n

X

X

X

независимых одинаково распределенных случайных величин, распределение

каждой

из

которых

совпадает

с

распределением

генеральной

случайной

величины.

Число

объектов

(наблюдений)

в

совокупности,

генеральной

или

выборочной, называется ее объемом; обозначается соответственно

𝑁

и

𝑛

.

Конкретные значения выборки, полученные в результате наблюдений

(испытаний),

называют

реализацией

выборки

и

обозначают строчными

буквами

1

2

,

,

...,

n

x

x

x

.

Задача 1:

десять

студентов

проходят

тестирование

по

математике.

Каждый из них может набрать от 0 до 5 баллов включительно.

Пусть

k

X

-

количество баллов, набранных

𝑘

-м (

𝑘

=1, 2, …, 10)

абитуриентом.

Решение:

значения 0, 1, 2, 3, 4, 5 – все возможные количества баллов,

набранных

одним

студентом,

-

образуют

генеральную

совокупность.

Выборка

1

2

10

,

,

...,

X

X

X

-

результат

тестирования

10

студентов. Объем такой выборки N=10.

Реализациями выборки могут быть следующие наборы чисел:





5,

3,

0,

1,

4,

2,

5,

4,

1,

5

или





4,

4,

5,

3,

3,

1,

5,

5,

2,

5

или





3,

4,

5,

0,

1,

2,

3,

4,

5,

4

Пусть изучается некоторая случайная величина

Х

. С этой целью над

случайной

величиной

Х

производится

ряд

независимых

опытов

(наблюдений). В каждом из этих опытов величина

Х

принимает то или иное

значение.

Пусть она приняла

𝑛

1

раз значение

𝑥

1

,

𝑛

2

раз значение

𝑥

2

, …,

𝑛

𝑘

раз

значение

𝑥

𝑘

.

При

этом

1

2

...

k

n

n

n

n









-

объем

выборки.

Значения

1

2

,

,

...,

k

x

x

x

называются вариантами случайной величины

X

.

Вся

совокупность

значений

случайной

величины

X

представляет

собой первичный статистический материал, который подлежит дальнейшей

обработке, прежде всего – упорядочению.

Операция расположения значений случайной величины (признака) по

не

убыванию

называется

ранжированием

статистических

данных.

Полученная

таким

образом

последовательность

(1)

(2)

(

)

,

,...,

n

x

x

x

значений

случайной

величины

𝑋

(где

(1)

(2)

(

)

...

n

x

x

x







(1)

(2)

(

)

...

n

x

x

x







и

(1)

(

)

min

, ...,

max

i

n

i

x

X

x

X





(1)

(

)

min

,...,

max

i

n

i

x

X

x

X





)

называется

вариационным рядом.

Числа

i

n

, показывающие, сколько раз встречаются варианты

i

x

в

ряде наблюдений, называются частотами, а отношение их к объему выборки

—относительными частотами

*

i

p

, т. е.

*

i

i

n

p

n



*

i

i

n

p

n



, где

1

k

i

i

n

n







Перечень

вариантов

и

соответствующих

им

частот

или

относительных

частот

называется

статистическим

распределением

выборки или статистическим рядом.

Записывается статистическое распределение в виде таблицы. Первая

строка

содержит варианты, а

вторая

—

их

частоты или

относительные

частоты.

Задача 2:

в результате тестирования (проводимого в задаче 1) группа

студентов набрала баллы: 5, 3, 0, 1, 4, 2, 5, 4, 1, 5. Записать

полученную выборку в виде:

a)

вариационного ряда;

b)

статистического ряда.

Решение:

a)

проранжировав статистические данные (т.е. исходный

ряд), получим вариационный ряд (

(1)

(2)

(

)

,

,...,

n

x

x

x

):

(0, 1, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5)

b)

подсчитав частоту и относительную частоту вариантов

1

0

x



,

2

1

x



,

3

2

x



,

4

3

x



,

5

4

x



,

6

5

x



, получим

статистическое распределение выборки

i

x

0

1

2

3

4

5

i

n

1

2

1

1

2

3

или

i

x

0

1

2

3

4

5

*

i

p

1

10

2

10

1

10

1

10

2

10

3

10

В случае, когда число значений признака случайной величины велико

или

признак

является

непрерывным,

составляют

интервальный

статистический

ряд.

В

первую

строку

таблицы

статистического

распределения вписывают частичные промежутки





0

1

,

x

x

,





1

2

,

x

x

, …,





1

,

k

k

x

x



,

которые

берут

обычно

одинаковыми

по

длине:

1

0

2

1

...

h

x

x

x

x











Для

определения

величины

интервала

(h)

можно

использовать

формулу

Стерджеса:

max

min

2

1

log

x

x

h

n







,

где

max

min

x

x



—

разность

между

наибольшим

и

наименьшим значениями признака, т = 1 + log

2

п — число интервалов





2

log

3, 322 lg

n

n



.

За

начало

первого

интервала

рекомендуется

брать

величину

min

2

нач

h

x

x





. Во второй строчке статистического ряда вписывают коли-

чество наблюдений

i

n

(

1,

i

k



), попавших в каждый интервал.

Задача 3:

измерили рост (с точностью до см.) 30 наудачу отобранных

студентов. Результаты измерений таковы:

178, 160, 154, 183, 155, 153, 167, 186, 163, 155,

157, 175, 170, 166, 159, 173, 182, 167, 171, 169,

179, 165, 156, 179, 158, 171, 175, 173, 164, 172.

Построить интервальный статистический ряд.

Решение:

Для удобства проранжируем полученные данные:

153, 154, 155, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 163, 164, 165, 166,

167, 167. 169, 170, 171, 171, 172, 173, 173, 175, 175. 178. 179,

179, 182, 183, 186.

Как видим

min

153

x



,

max

186

x



; по формуле Стерджеса, при п =

30, находим длину частичного интервала

2

186

153

33

33

5,59

1

log 30

1

3,322 lg 30

5,907

h















Примем h = 6. Тогда

6

153

150

2

нач

x







. Исходные данные

разбиваем на 6 (rn = 1 + log

2

30 = 5,907 ≈ 6) интервалов:

[150,156), [156,162), [162,168), [168,174), [174, 180), [180, 186).

Подсчитав

число студентов

i

n

,

попавших в

каждый из

полученных

промежутков,

получим

интервальный

статистический ряд:

i

x

[150,156)

[156,162)

[162,168)

[168,174)

[174,180)

[180,186)

i

n

4

5

6

7

5

3

*

i

p

0,13

0,17

0,20

0,23

0,17

0,10

Статистическое

распределение

изображается

графически

(для

на-

глядности) в виде так называемых полигона и гистограммы.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют

точки с координатами





1

1

,

x

n

,





2

2

,

x

n

, … ,





,

k

k

x

n

.

Варианты (

𝑥

𝑖

) откладываются на оси абсцисс, а частоты и, соот-

ветственно, относительные частоты — на оси ординат.

Для

задачи

2

полигон

относительных

частот

имеет

вид,

изображенный на рисунке:

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из

прямоугольников,

основаниями

которых

служат

частичные

интервалы

длины

ℎ

, а высоты равны отношению

𝑛

𝑖

ℎ

- плотность частоты (

𝑝

𝑖

∗

ℎ

- плотность

относительной частоты).

Используя условие и результаты из задачи 3, построим гистограму

относительных частот.

В данном случае длина интервала равна

ℎ

= 6

. Находим высоты

ℎ

𝑖

прямоугольников:

1

0,13

0, 022

6

h





,

2

0,17

0, 028

6

h





,

3

0, 20

0, 033

6

h





,

4

0, 23

0, 038

6

h





,

5

0,17

0, 028

6

h





,

6

0,10

0, 017

6

h





.

Гистограмма изображена на

рисунке:

Для выборки можно определить ряд числовых характеристик.

Пусть статистическое распределение выборки объема п имеет вид:

i

x

1

x

2

x

3

x

…

k

x

i

n

1

n

2

n

3

n

…

k

n

Выборочным средним

x

называется среднее арифметическое всех

значений выборки:

1

1

k

i

i

i

x

x

n

n









Выборочной

дисперсией

B

D

называется

среднее

арифметическое

квадратов отклонений значений выборки от выборочной средней

x

, т. е.:





2

2

1

1

k

B

i

i

i

D

x

n

x

n











Выборочное среднее квадратическое отклонение выборки опреде-

ляется формулой:

B

D





В

качестве

описательных

характеристик

вариационного

ряда

(1)

(2)

(

)

,

,...,

n

x

x

x

используется медиана, мода, размах вариации (выборки) и т.

д.

Размахом

вариации

называется

число

(

)

(1)

n

R

x

x





,

где

max

x

—

наибольший,

min

x

— наименьший вариант ряда.

Модой

*

0

M

вариационного ряда называется вариант, имеющий наи-

большую частоту.

Медианой

*

e

M

вариационного ряда называется значение признака

случайной величины, приходящееся на середину ряда.

Если ряд имеет четное число членов, то

(

)

(

1)

*

2

k

k

e

x

x

M







Задача 4:

по

условиям

задачи

2

найти

характеристики

выборки

–

результаты тестирования 10 студентов.

Решение:





1

0 1

1 2

2 1

3 1

4 2

5 3

3

10

x







 





 





 



3, 2

1, 79







5

0

5

R







*

0

5

M



*

3

4

3, 5

2

e

M











2

2

2

2

2

2

2

1

0

1

1

2

2

1

3

1

4

2

5

3

3

3, 2

10

B

D































СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.

Математика: учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф.

образования / С.Г. Григорьев, С.В. Иволгина; под ред. В.А. Гусева. –

10-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2014

2.

Математика: учебник / И.Д. Пехлецкий. – М.: Мастерство, 2001

3.

Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике

и случайным процессам / Дмитрий Письменный. – 3-е изд. – М.:

Айрис-пресс, 2008

4.

Сборник

индивидуальных

заданий

по

высшей

математике:

Учеб.

пособие. В 3 ч. Ч 1 / А.П. Рябушко, В.В. Бархатов, В.В. Державец, И.Е.

Юруть; Под общ. ред. А.П. Рябушко. – М.: Выш. шк., 1991

5.

Сборник

индивидуальных

заданий

по

высшей

математике:

Учеб.

пособие. В 3 ч. Ч 2 / А.П. Рябушко, В.В. Бархатов, В.В. Державец, И.Е.

Юруть; Под общ. ред. А.П. Рябушко. – М.: Выш. шк., 1991

6.

Линейная алгебра. Пособие к решению задач и большая коллекция

вариантов заданий – М.: Вузовская книга, 2004

Приложение 1

ЗАДАНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

ВАРИАНТ №1:

1.

Найти указанные пределы:

a)

2

2

1

3

2

1

lim

4

1

x

x

x

x

x











b)

2

2

3

3

10

3

lim

2

3

x

x

x

x

x











c)

3

2

3

2

3

5

2

lim

2

5

x

x

x

x

x

x











d)

2

2

3

2

2

lim

4

x

x

x









2.

Найти

производную

функции.

В

задании

а)

дополнительно

найти

вторую

производную:

a)

5

3

4

1

2

3

y

x

x

x

x









b)





3

4

5

4

3

2

5

2

y

x

x

x











c)

3

5

sin 2

cos 8

y

x

x





d)





5

3

log

3

7

7

x

y

ctg

x





3.

Вычислить предел, используя правило Лопиталя:

0

ln cos 2

lim

sin 2

x

x

x



4.

Вычислить матрицу С выполнив действия:

= 2

С

(

𝐴

+

𝐵

)(

2

−

𝐵 𝐴

)

𝐴

= (

2

3

−1

4

5

2

−1

0

7

)

𝐵

= (

−1

0

5

1

1

3

2

−2

4

)

5.

Вычислить определитель:

|

𝐴

|

= |

3

2

5

2

−2

1

2

3

5

−3

1

−4

−1

−1

4

−2

|

6.

Найти обратную матрицу для матрицы:

𝐴

= (

4

2

3

5

3

2

−3

−1

2

)

7.

Решить матричное уравнение:

(

−4

−7

4

8

) ∙

∙ (

𝑋

−2

3

−8

5

) = (

9

−7

2

−1

)

8.

Решить системы линейных уравнений

a)

по правилу Крамера:

{

3x

1

+ 2x

2

+ x

3

= 5

2x

1

+ 3x

2

+ x

3

= 1

2x

1

+ x

2

+ 3x

3

= 11

b)

матричным способом:

{

2x

1

+ x

2

− x

3

= 1

x

1

+ x

2

+ x

3

= 6

3x

1

− x

2

+ x

3

= 4

9.

Для универсального множества





5;

4;

3;

2;

1;

1;

2;

3;

4;

5

U

 









множества





1;

1;

4;

3

A

 

и множества





2;

1;

4

B

 



найти множества:

1.

A

B



2.

A

B



3.

\

A B

4.

\

B A

5.

A

6.

B

7.

A

B



8.

A B



9.

A

B



10.





A B

A





В заданиях 6 и 7 дополнительно определить мощности полученных множеств.

10.

В техникуме проводилось тестирование по математике, содержащее 60 вопросов.

Данные о результатах тестирования группы из 25 студентов имеют вид:

34, 42, 36, 32, 33, 60, 39, 49, 34, 49, 47, 39, 49, 37, 53, 58, 35, 44, 42, 47, 32, 39, 39, 42, 39

Требуется:

1.

Построить вариационный и статистический ряд;

2.

Определить моду, медиану, размах вариации, среднее выборочное и

среднее квадратическое отклонение;

3.

Построить полигон и гистограмму частот.

ВАРИАНТ №2:

1.

Найти указанные пределы:

a)

2

2

2

1

lim

5

2

x

x

x

x

x











b)

2

2

7

2

13

7

lim

9

14

x

x

x

x

x











c)

4

2

4

3

5

3

7

lim

2

1

x

x

x

x

x











d)

2

2

6

2

lim

4

x

x

x









2.

Найти

производную

функции.

В

задании

а)

дополнительно

найти

вторую

производную:

a)

5

2

3

4

3

2

4

y

x

x

x

x









b)









5

2

2

5

4

2

4

1

y

x

x

x











c)

4

5

arcsin 4

y

tg x

x





d)





2

cos

3

3

4

x

y

lg

x





3.

Вычислить предел, используя правило Лопиталя:

3

0

lim

x

x

arctgx

x





4.

Вычислить матрицу С выполнив действия:

= 3𝐴 −

С

(

𝐴

+ 2

𝐵

)

𝐵

𝐴

= (

4

5

−2

3

−1

0

4

2

7

)

𝐵

= (

2

1

−1

0

1

3

5

7

3

)

5.

Вычислить определитель:

|

𝐴

|

=

|

4

3

1

2

2

5

2

3

−3

−5

1

3

2

2

−3

−4

|

6.

Найти обратную матрицу для матрицы:

𝐴

= (

2

1

0

1

0

3

0

5

−1

)

7.

Решить матричное уравнение:

(

1

−5

1

4

) ∙

∙ (

𝑋

−1

−9

3

6

) = (

2

−7

−1

3

)

8.

Решить системы линейных уравнений

a)

по правилу Крамера:

{

x

1

− 2x

2

+ x

3

= 1

2x

1

+ 3x

2

− 4x

3

= 6

2x

1

− x

2

− 5x

3

= −1

b)

матричным способом:

{

x

1

+ 5x

2

+ x

3

= −7

2x

1

− x

2

− x

3

= 0

x

1

− 2x

2

− x

3

= 2

9.

Для универсального множества





5;

4;

3;

2;

1;

1;

2;

3;

4;

5

U

 









множества





1;

1;

2;

3

A

 

и множества





2;

3;

1

B

 



найти множества:

1.

A

B



2.

A

B



3.

\

A B

4.

\

B A

5.

A

6.

B

7.

A

B



8.

A B



9.

A

B



10.





A B

A





В заданиях 6 и 7 дополнительно определить мощности полученных множеств.

10.

В техникуме проводилось тестирование по математике, содержащее 60 вопросов.

Данные о результатах тестирования группы из 25 студентов имеют вид:

38, 53, 33, 47, 55, 38, 58, 34, 57, 47, 45, 38, 60, 50, 51, 45, 57, 52, 37, 59, 30, 51, 47, 30, 54

Требуется:

1.

Построить вариационный и статистический ряд;

2.

Определить моду, медиану, размах вариации, среднее выборочное и

среднее квадратическое отклонение;

3.

Построить полигон и гистограмму частот.

ВАРИАНТ №3:

1.

Найти указанные пределы:

a)

2

2

3

4

3

lim

2

5

1

x

x

x

x

x











b)

2

2

1

2

3

lim

2

x

x

x

x

x











c)

3

3

2

4

7

lim

2

4

5

x

x

x

x

x









d)

2

3

13

4

lim

9

x

x

x









2.

Найти

производную

функции.

В

задании

а)

дополнительно

найти

вторую

производную:

a)

3

4

5

2

2

4

3

y

x

x

x

x









b)





5

2

3

5

7

3

5

1

y

x

x

x











c)





2

5

ln

4

y

arcctg

x

x







d)





2

lg 11

3

cos 5

x

y

x





3.

Вычислить предел, используя правило Лопиталя:

2

0

1

lim

arcsin

x

x

e

x





4.

Вычислить матрицу С выполнив действия:

= 2

С

(

−

𝐴 𝐵

)(

𝐴

2

+

𝐵

)

𝐴

= (

5

1

7

−10

−2

1

0

1

2

)

𝐵

= (

2

4

1

3

1

0

7

2

1

)

5.

Вычислить определитель:

|

𝐴

|

=

|

−1

3

1

2

−5

5

2

3

−2

−5

1

3

2

2

−3

−4

|

6.

Найти обратную матрицу для матрицы:

𝐴

= (

2

4

6

−3

−4

−5

1

−5

3

)

7.

Решить матричное уравнение:

(

2

−3

−8

3

) ∙

∙ (

𝑋

−2

5

−3

8

) = (

−3

−5

9

1

)

8.

Решить системы линейных уравнений

a)

по правилу Крамера:

{

x

1

+ 2x

2

+ 4x

3

= 10

5x

1

+ x

2

+ 2x

3

= 14

3x

1

− x

2

+ x

3

= 5

b)

матричным способом:

{

x

1

+ x

2

+ x

3

= 2

2x

1

− x

2

− 6x

3

= −1

3x

1

− 2x

2

= 8

9.

Для универсального множества





5;

4;

3;

2;

1;

1;

2;

3;

4;

5

U

 









множества





1;

1;

3;

4

A

 

и множества





3;

1;

3

B

 



найти множества:

1.

A

B



2.

A

B



3.

\

A B

4.

\

B A

5.

A

6.

B

7.

A

B



8.

A B



9.

A

B



10.





A B

A





В заданиях 6 и 7 дополнительно определить мощности полученных множеств.

10.

В техникуме проводилось тестирование по математике, содержащее 60 вопросов.

Данные о результатах тестирования группы из 25 студентов имеют вид:

51, 30, 36, 30, 43, 47, 34, 56, 46, 33, 60, 44, 56, 31, 35, 44, 30, 52, 45, 37, 53, 43, 49, 40, 45

Требуется:

1.

Построить вариационный и статистический ряд;

2.

Определить моду, медиану, размах вариации, среднее выборочное и

среднее квадратическое отклонение;

3.

Построить полигон и гистограмму частот.

ВАРИАНТ №4:

1.

Найти указанные пределы:

a)

2

2

5

25

lim

4

5

x

x

x

x









b)

2

2

6

2

9

18

lim

7

6

x

x

x

x

x











c)

3

2

3

7

2

4

lim

2

5

x

x

x

x

x









d)

2

3

5

1

4

lim

9

x

x

x









2.

Найти

производную

функции.

В

задании

а)

дополнительно

найти

вторую

производную:

a)

3

5

2

4

7

3

y

x

x

x

x









b)





2

4

4

3

3

5

5

y

x

x

x











c)

cos

3

8

x

y

e

ctg x





d)









3

sin

5

1

3

2

x

y

lg

x







3.

Вычислить предел, используя правило Лопиталя:

0

sin

lim

x

x

x

x

tgx







4.

Вычислить матрицу С выполнив действия:

= 𝐴

С

(

2

+

𝐴 𝐵

)

−

𝐵𝐴

𝐴

= (

2

3

1

4

−1

0

5

1

2

)

𝐵

= (

2

3

1

4

−1

0

1

1

2

)

5.

Вычислить определитель:

|

𝐴

|

=

|

3

2

−5

2

−1

1

2

3

4

−3

1

−4

3

−1

4

−2

|

6.

Найти обратную матрицу для матрицы:

𝐴

= (

1

1

−1

−2

1

1

1

1

1

)

7.

Решить матричное уравнение:

(

−9

8

−5

6

) ∙

∙ (

𝑋

−7

−4

−6

−8

) = (

−2

4

−3

−2

)

8.

Решить системы линейных уравнений

a)

по правилу Крамера:

{

x

1

+ x

2

+ x

3

= 3

x

1

− x

2

+ 2x

3

= 2

3x

1

+ x

2

− x

3

= 3

b)

матричным способом:

{

7x

1

+ 5x

2

+ 2x

3

= 18

x

1

− x

2

− x

3

= 3

x

1

+ x

2

+ 2x

3

= −2

9.

Для универсального множества





5;

4;

3;

2;

1;

1;

2;

3;

4;

5

U

 









множества





1;

1;

2;

3

A

 

и множества





5;

1;

2

B

 

найти множества:

1.

A

B



2.

A

B



3.

\

A B

4.

\

B A

5.

A

6.

B

7.

A

B



8.

A B



9.

A

B



10.





A B

A





В заданиях 6 и 7 дополнительно определить мощности полученных множеств.

10.

В техникуме проводилось тестирование по математике, содержащее 60 вопросов.

Данные о результатах тестирования группы из 25 студентов имеют вид:

31, 37, 55, 54, 50, 41, 30, 41, 45, 41, 54, 41, 49, 46, 52, 45, 52, 56, 53, 47, 46, 38, 47, 32, 49

Требуется:

1.

Построить вариационный и статистический ряд;

2.

Определить моду, медиану, размах вариации, среднее выборочное и

среднее квадратическое отклонение;

3.

Построить полигон и гистограмму частот.

ВАРИАНТ №5:

1.

Найти указанные пределы:

a)

2

2

3

2

5

1

lim

2

3

x

x

x

x

x











b)

2

2

2

2

3

2

lim

3

2

x

x

x

x

x











c)

3

2

3

2

4

28

lim

5

3

1

x

x

x

x

x

x

x













d)

0

4

3

4

3

lim

7

x

x

x

x









2.

Найти

производную

функции.

В

задании

а)

дополнительно

найти

вторую

производную:

a)

7

4

2

5

6

7

y

x

x

x

x









b)





4

3

3

3

3

2

3

1

y

x

x

x











c)

arccos 2

3

x

y

x







d)





4

ln 5

3

4

3

x

y

tg x





3.

Вычислить предел, используя правило Лопиталя:

3

0

cos

sin

lim

x

x

x

x

x





4.

Вычислить матрицу С выполнив действия:

=

С

(

𝐴

+ 2

𝐵

)(

3

−

𝐴 𝐵

)

𝐴

= (

1

2

3

4

−2

1

0

1

−1

)

𝐵

= (

2

3

−1

−2

0

−1

1

2

1

)

5.

Вычислить определитель:

|

𝐴

|

=

|

3

−3

4

2

2

1

−3

−3

4

−4

−2

1

2

3

−3

−2

|

6.

Найти обратную матрицу для матрицы:

𝐴

= (

1

2

3

−5

−4

−2

2

3

7

)

7.

Решить матричное уравнение:

(

7

6

−3

−5

) ∙

∙ (

𝑋

7

−4

6

−5

) = (

−1

2

−1

−3

)

8.

Решить системы линейных уравнений

a)

по правилу Крамера:

{

x

1

+ 4x

2

− x

3

= 4

−4x

1

+ x

2

+ x

3

= −2

−3x

1

+ 5x

2

+ x

3

= 3

b)

матричным способом:

{

x

1

+ 5x

2

− x

3

= 7

2x

1

− x

2

− x

3

= 4

3x

1

− 2x

2

+ 4x

3

= 11

9.

Для универсального множества





5;

4;

3;

2;

1;

1;

2;

3;

4;

5

U

 









множества





4;

1;

1;

2

A

 



и множества





2;

1;

4

B

 



найти множества:

1.

A

B



2.

A

B



3.

\

A B

4.

\

B A

5.

A

6.

B

7.

A

B



8.

A B



9.

A

B



10.





A B

A





В заданиях 6 и 7 дополнительно определить мощности полученных множеств.

10.

В техникуме проводилось тестирование по математике, содержащее 60 вопросов.

Данные о результатах тестирования группы из 25 студентов имеют вид:

44, 45, 51, 51, 58, 39, 57, 53, 43, 41, 58, 34, 38, 56, 40, 50, 54, 42, 39, 31, 31, 48, 37, 35, 53

Требуется:

1.

Построить вариационный и статистический ряд;

2.

Определить моду, медиану, размах вариации, среднее выборочное и

среднее квадратическое отклонение;

3.

Построить полигон и гистограмму частот.

ВАРИАНТ №6:

1.

Найти указанные пределы:

a)

2

2

4

6

lim

5

2

x

x

x

x









b)

2

2

5

2

11

5

lim

7

10

x

x

x

x

x











c)

4

2

4

3

lim

3

2

x

x

x

x

x

x













d)

2

2

5

1

3

lim

2

x

x

x

x



 



2.

Найти

производную

функции.

В

задании

а)

дополнительно

найти

вторую

производную:

a)

3

2

4

3

4

5

5

y

x

x

x

x









b)





4

3

3

4

3

2

2

y

x

x

x

x











c)





4

3

3

arccos 5

y

x

x







d)





2

3

5

ctg

x

y

lg

x







3.

Вычислить предел, используя правило Лопиталя:

0

sin

lim

4

sin

x

tgx

x

x

x







4.

Вычислить матрицу С выполнив действия:

= 𝐴

С

(

𝐴

+ 2

𝐵

)

− 3

𝐴𝐵

𝐴

= (

7

−3

0

1

−1

1

2

1

3

)

𝐵

= (

−4

2

1

1

2

1

3

2

1

)

5.

Вычислить определитель:

|

𝐴

|

=

|

3

−1

4

2

2

−8

−3

−3

4

−1

−2

1

2

−1

−3

−2

|

6.

Найти обратную матрицу для матрицы:

𝐴

= (

2

−1

−1

3

−2

2

1

2

−3

)

7.

Решить матричное уравнение:

(

7

9

−3

−5

) ∙

∙ (

𝑋

−1

3

−5

6

) = (

−1

−5

4

−2

)

8.

Решить системы линейных уравнений

a)

по правилу Крамера:

{

x

1

− x

2

+ 4x

3

= 4

−3x

1

+ x

2

+ x

3

= −1

−2x

1

+ x

2

+ 5x

3

= 4

b)

матричным способом:

{

2x

1

− x

2

+ 3x

3

= 7

x

1

+ 3x

2

− 2x

3

= 0

2x

1

− x

3

= 2

9.

Для универсального множества





5;

4;

3;

2;

1;

1;

2;

3;

4;

5

U

 









множества





2;

1;

5;

3

A

 



и множества





4;

1;

2

B

 



найти множества:

1.

A

B



2.

A

B



3.

\

A B

4.

\

B A

5.

A

6.

B

7.

A

B



8.

A B



9.

A

B



10.





A B

A





В заданиях 6 и 7 дополнительно определить мощности полученных множеств.

10.

В техникуме проводилось тестирование по математике, содержащее 60 вопросов.

Данные о результатах тестирования группы из 25 студентов имеют вид:

31, 53, 33, 44, 33, 36, 42, 58, 34, 48, 49, 59, 42, 56, 40, 46, 35, 57, 46, 53, 48, 38, 45, 37, 44

Требуется:

1.

Построить вариационный и статистический ряд;

2.

Определить моду, медиану, размах вариации, среднее выборочное и

среднее квадратическое отклонение;

3.

Построить полигон и гистограмму частот.

ВАРИАНТ №7:

1.

Найти указанные пределы:

a)

2

2

4

2

lim

5

4

x

x

x

x

x











b)

2

2

7

3

17

28

lim

9

14

x

x

x

x

x











c)

2

2

3

10

3

lim

2

5

3

x

x

x

x

x











d)

3

2

8

lim

4

1

3

x

x

x









2.

Найти

производную

функции.

В

задании

а)

дополнительно

найти

вторую

производную:

a)

5

3

5

3

10

3

y

x

x

x

x









b)





5

3

2

5

7

4

3

5

y

x

x

x











c)

3

5

2

arcsin

y

tg

x

x





d)





3

log

4

2

2

x

y

ctg

x





3.

Вычислить предел, используя правило Лопиталя:

3

1

1

2

1

lim

2

x

x

x

x











4.

Вычислить матрицу С выполнив действия:

= 𝐴

С

(

−

𝐴 𝐵

)

+ 2

𝐵

(

𝐴

+

𝐵

)

𝐴

= (

1

−2

−2

1

1

−2

1

−1

−1

)

𝐵

= (

1

3

5

4

1

0

1

1

2

)

5.

Вычислить определитель:

|

𝐴

|

=

|

2

3

3

−4

1

2

1

−3

3

5

−5

2

4

2

−3

2

|

6.

Найти обратную матрицу для матрицы:

𝐴

= (

2

−1

5

3

−2

−2

4

5

−4

)

7.

Решить матричное уравнение:

(

−7

8

−1

4

) ∙

∙ (

𝑋

−3

−6

5

8

) = (

−1

3

−4

−7

)

8.

Решить системы линейных уравнений

a)

по правилу Крамера:

{

3x

1

− x

2

− x

3

= 3

−x

1

+ x

2

+ 2x

3

= 0

2x

1

+ x

2

+ x

3

= 2

b)

матричным способом:

{

x

1

− 2x

2

+ 3x

3

= 6

2x

1

+ 3x

2

− 4x

3

= 16

3x

1

− 2x

2

− 5x

3

= 12

9.

Для универсального множества





5;

4;

3;

2;

1;

1;

2;

3;

4;

5

U

 









множества





3;

1;

1;

2

A

 



и множества





4;

1;

2

B

 

найти множества:

1.

A

B



2.

A

B



3.

\

A B

4.

\

B A

5.

A

6.

B

7.

A

B



8.

A B



9.

A

B



10.





A B

A





В заданиях 6 и 7 дополнительно определить мощности полученных множеств.

10.

В техникуме проводилось тестирование по математике, содержащее 60 вопросов.

Данные о результатах тестирования группы из 25 студентов имеют вид:

54, 48, 55, 34, 42, 31, 60, 57, 59, 31, 51, 42, 58, 39, 53, 32, 57, 31, 46, 42, 51, 45, 57, 30, 36

Требуется:

1.

Построить вариационный и статистический ряд;

2.

Определить моду, медиану, размах вариации, среднее выборочное и

среднее квадратическое отклонение;

3.

Построить полигон и гистограмму частот.

ВАРИАНТ №8:

1.

Найти указанные пределы:

a)

2

2

1

3

1

lim

2

3

5

x

x

x

x

x











b)

2

2

3

3

8

3

lim

6

x

x

x

x

x











c)

2

2

2

7

3

lim

5

3

4

x

x

x

x

x











d)

2

0

9

3

lim

3

x

x

x









2.

Найти

производную

функции.

В

задании

а)

дополнительно

найти

вторую

производную:

a)

3

7

6

5

3

4

4

y

x

x

x

x









b)





6

5

2

2

4

2

3

7

y

x

x

x











c)

5

4

ln

7

y

x arctg

x





d)









3

sin

4

3

ln 7

1

x

y

x







3.

Вычислить предел, используя правило Лопиталя:

2

0

1

cos8

lim

2

x

x

tg

x





4.

Вычислить матрицу С выполнив действия:

= 2𝐴

С

(

𝐴

+

𝐵

)

− 3

𝐴𝐵

𝐴

= (

2

3

4

1

−2

1

−1

1

2

)

𝐵

= (

1

−2

1

1

2

3

1

−2

−1

)

5.

Вычислить определитель:

|

𝐴

|

=

|

2

3

−4

−2

−5

2

1

4

2

−1

4

3

3

−2

5

−1

|

6.

Найти обратную матрицу для матрицы:

𝐴

= (

7

2

3

9

3

4

5

1

3

)

7.

Решить матричное уравнение:

(

1

2

−1

8

) ∙

∙ (

𝑋

−2

−4

3

4

) = (

−1

5

−5

−7

)

8.

Решить системы линейных уравнений

a)

по правилу Крамера:

{

x

1

+ x

2

− x

3

= 1

8x

1

+ 3x

2

− 6x

3

= 2

4x

1

+ x

2

− 3x

3

= 3

b)

матричным способом:

{

2x

1

+ x

2

+ 4x

3

= 20

2x

1

− x

2

− 3x

3

= 3

3x

1

+ 4x

2

− 5x

3

= −8

9.

Для универсального множества





5;

4;

3;

2;

1;

1;

2;

3;

4;

5

U

 









множества





2;

2;

4;

3

A

 

и множества





3;

1;

2

B

 

найти множества:

1.

A

B



2.

A

B



3.

\

A B

4.

\

B A

5.

A

6.

B

7.

A

B



8.

A B



9.

A

B



10.





A B

A





В заданиях 6 и 7 дополнительно определить мощности полученных множеств.

10.

В техникуме проводилось тестирование по математике, содержащее 60 вопросов.

Данные о результатах тестирования группы из 25 студентов имеют вид:

41, 31, 44, 41, 39, 49, 53, 51, 50, 54, 46, 41, 50, 51, 45, 44, 34, 35, 45, 39, 36, 57, 45, 52, 54

Требуется:

1.

Построить вариационный и статистический ряд;

2.

Определить моду, медиану, размах вариации, среднее выборочное и

среднее квадратическое отклонение;

3.

Построить полигон и гистограмму частот.

ВАРИАНТ №9:

1.

Найти указанные пределы:

a)

2

2

2

6

2

lim

2

1

x

x

x

x

x











b)

2

2

1

3

2

lim

3

4

1

x

x

x

x

x











c)

3

2

3

3

10

lim

7

2

1

x

x

x

x

x











d)

2

2

3

10

4

lim

4

x

x

x









2.

Найти

производную

функции.

В

задании

а)

дополнительно

найти

вторую

производную:

a)

3

2

4

3

4

2

8

y

x

x

x

x









b)





2

7

3

5

4

3

4

y

x

x

x











c)





2

3

1

arccos 3

y

x

x







d)









4

cos

7

1

5

x

y

lg x







3.

Вычислить предел, используя правило Лопиталя:





2

0

1

lim

ln 1

2

x

x

e

x







4.

Вычислить матрицу С выполнив действия:

= 2𝐴𝐴 + 𝐴

С

(

−

𝐵 𝐴

)

𝐴

= (

1

2

−1

2

3

1

0

2

−1

)

𝐵

= (

1

2

−1

2

−1

0

1

2

1

)

5.

Вычислить определитель:

|

𝐴

|

=

|

2

3

−4

−2

−5

2

1

4

2

1

−3

−1

3

−1

4

3

|

6.

Найти обратную матрицу для матрицы:

𝐴

= (

3

2

2

2

3

−1

4

5

−3

)

7.

Решить матричное уравнение:

(

−4

−5

5

6

) ∙

∙ (

𝑋

3

−5

1

−7

) = (

−1

5

−2

−3

)

8.

Решить системы линейных уравнений

a)

по правилу Крамера:

{

x

1

− 4x

2

+ 5x

3

= 2

5x

1

+ 2x

2

+ 3x

3

= 10

x

1

+ 3x

2

= 4

b)

матричным способом:

{

2x

1

+ 3x

2

+ x

3

= 2

x

2

+ x

3

= 0

x

1

− x

2

− x

3

= 2

9.

Для универсального множества





5;

4;

3;

2;

1;

1;

2;

3;

4;

5

U

 









множества





1;

3;

2;

3

A

 



и множества





5;

3;

4

B

 



найти множества:

1.

A

B



2.

A

B



3.

\

A B

4.

\

B A

5.

A

6.

B

7.

A

B



8.

A B



9.

A

B



10.





A B

A





В заданиях 6 и 7 дополнительно определить мощности полученных множеств.

10.

В техникуме проводилось тестирование по математике, содержащее 60 вопросов.

Данные о результатах тестирования группы из 25 студентов имеют вид:

35, 44, 45, 39, 38, 44, 47, 39, 48, 56, 56, 43, 30, 48, 30, 48, 53, 42, 50, 39, 58, 36, 32, 41, 35

Требуется:

1.

Построить вариационный и статистический ряд;

2.

Определить моду, медиану, размах вариации, среднее выборочное и

среднее квадратическое отклонение;

3.

Построить полигон и гистограмму частот.

ВАРИАНТ №10:

1.

Найти указанные пределы:

a)

2

2

3

3

lim

4

x

x

x

x









b)

2

2

2

6

lim

2

6

x

x

x

x

x











c)

2

2

3

1

lim

3

5

x

x

x

x

x













d)

2

3

9

lim

4

3

3

x

x

x









2.

Найти

производную

функции.

В

задании

а)

дополнительно

найти

вторую

производную:

a)

3

6

7

4

5

7

4

y

x

x

x

x









b)





3

2

5

2

4

3

4

3

y

x

x

x











c)

4

5

cos

y

x arctgx





d)





2

2

cos

2

1

x

y

lg x

x







3.

Вычислить предел, используя правило Лопиталя:

3

0

arcsin 4

lim

5

5

x

x

x

e







4.

Вычислить матрицу С выполнив действия:

= 3𝐴𝐴 +

С

(

−

𝐴 𝐵

)(

𝐴

+ 2

𝐵

)

𝐴

= (

2

5

−1

1

0

2

2

3

−4

)

𝐵

= (

3

1

2

−1

4

7

1

−2

−4

)

5.

Вычислить определитель:

|

𝐴

|

=

|

2

3

3

−4

−1

−5

−2

2

3

4

−5

2

4

2

−3

2

|

6.

Найти обратную матрицу для матрицы:

𝐴

= (

2

1

4

3

2

1

1

3

3

)

7.

Решить матричное уравнение:

(

−7

−6

4

5

) ∙

∙ (

𝑋

−4

5

−3

5

) = (

−1

3

−5

2

)

8.

Решить системы линейных уравнений

c)

по правилу Крамера:

{

8x

1

+ 5x

2

− 10x

3

= −3

x

1

+ 5x

2

+ 3x

3

= −9

3x

1

− 2x

2

− 2x

3

= 1

d)

матричным способом:

{

x

1

− 2x

2

− 2x

3

= 3

x

1

+ x

2

− 2x

3

= 0

x

1

− x

2

− x

3

= 1

9.

Для универсального множества





5;

4;

3;

2;

1;

1;

2;

3;

4;

5

U

 









множества





5;

1;

1;

3

A

 



и множества





1;

5;

4

B



найти множества:

1.

A

B



2.

A

B



3.

\

A B

4.

\

B A

5.

A

6.

B

7.

A

B



8.

A B



9.

A

B



10.





A B

A





В заданиях 6 и 7 дополнительно определить мощности полученных множеств.

10.

В техникуме проводилось тестирование по математике, содержащее 60 вопросов.

Данные о результатах тестирования группы из 25 студентов имеют вид:

52, 49, 59, 30, 52, 42, 48, 33, 39, 51, 38, 39, 56, 44, 30, 56, 31, 49, 54, 34, 60, 49, 52, 33, 47

Требуется:

1.

Построить вариационный и статистический ряд;

2.

Определить моду, медиану, размах вариации, среднее выборочное и

среднее квадратическое отклонение;

3.

Построить полигон и гистограмму частот.

ВАРИАНТ №11:

1.

Найти указанные пределы:

a)

2

2

5

3

14

5

lim

6

5

x

x

x

x

x











b)

2

2

2

2

lim

6

x

x

x

x

x











c)

2

2

4

5

7

lim

2

10

x

x

x

x

x











d)

2

7

49

lim

2

11

5

x

x

x









2.

Найти

производную

функции.

В

задании

а)

дополнительно

найти

вторую

производную:

a)

3

2

5

7

2

2

3

y

x

x

x

x









b)





2

3

7

8

3

1

y

x

x

x











c)





3

2

log

4

4

y

x

arctg

x







d)





2

4

ln

1

cos 3

x

y

x





3.

Вычислить предел, используя правило Лопиталя:

2

0

1

lim

cos

1

x

x

e

x







4.

Вычислить матрицу С выполнив действия:

= 3

С

(

𝐴

+

𝐵

)

−

(

−

𝐴 𝐵

)

𝐴

𝐴

= (

1

2

3

0

−2

3

1

1

1

)

𝐵

= (

4

2

1

−1

2

0

2

3

−1

)

5.

Вычислить определитель:

|

𝐴

|

=

|

2

−3

1

−2

4

−3

−2

−3

−1

−8

−1

−1

3

2

4

2

|

6.

Найти обратную матрицу для матрицы:

𝐴

= (

3

−4

2

2

1

4

−1

4

3

)

7.

Решить матричное уравнение:

(

−7

1

1

−1

) ∙

∙ (

𝑋

−7

−8

−5

−7

) = (

−1

3

−6

−7

)

8.

Решить системы линейных уравнений

a)

по правилу Крамера:

{

x

1

+ 2x

2

− x

3

= 6

x

1

− 2x

2

+ 5x

3

= 0

3x

1

+ 2x

3

= 5

b)

матричным способом:

{

2x

1

− x

2

+ 3x

3

= −4

x

1

+ 3x

2

− x

3

= 2

5x

1

+ 2x

2

+ x

3

= 5

9.

Для универсального множества





5;

4;

3;

2;

1;

1;

2;

3;

4;

5

U

 









множества





1;

1;

4;

3

A

 

и множества





2;

1;

4

B





найти множества:

1.

A

B



2.

A

B



3.

\

A B

4.

\

B A

5.

A

6.

B

7.

A

B



8.

A B



9.

A

B



10.





A B

A





В заданиях 6 и 7 дополнительно определить мощности полученных множеств.

10.

В техникуме проводилось тестирование по математике, содержащее 60 вопросов.

Данные о результатах тестирования группы из 25 студентов имеют вид:

48, 60, 44, 30, 59, 36, 32, 40, 36, 50, 55, 42, 48, 42, 41, 35, 38, 48, 40, 37, 35, 60, 53, 36, 33

Требуется:

1.

Построить вариационный и статистический ряд;

2.

Определить моду, медиану, размах вариации, среднее выборочное и

среднее квадратическое отклонение;

3.

Построить полигон и гистограмму частот.

ВАРИАНТ №12:

1.

Найти указанные пределы:

a)

2

2

3

3

5

3

lim

15

6

x

x

x

x

x











b)

2

2

1

2

5

7

lim

3

2

x

x

x

x

x











c)

4

4

3

3

2

1

lim

2

x

x

x

x

x

x











d)

2

2

1

1

3

2

lim

x

x

x

x









2.

Найти

производную

функции.

В

задании

а)

дополнительно

найти

вторую

производную:

a)

5

3

2

2

3

6

4

y

x

x

x

x









b)





5

2

4

4

3

4

5

4

y

x

x

x











c)

sin

6

7

x

y

e

tg x







d)





3

log

4

5

2

x

y

ctg

x





3.

Вычислить предел, используя правило Лопиталя:

0

ln cos

lim

x

x

x



4.

Вычислить матрицу С выполнив действия:

=

С

(

2

+

𝐴 𝐵

)

−

𝐵

0,5

𝐴

𝐴

= (

6

−4

2

4

0

−2

2

−2

2

)

𝐵

= (

−1

3

−2

2

1

1

−2

1

1

)

5.

Вычислить определитель:

|

𝐴

|

=

|

−2

4

−1

−1

−4

1

−3

5

3

2

1

−2

2

−5

2

3

|

6.

Найти обратную матрицу для матрицы:

𝐴

= (

1

2

1

3

−5

3

2

7

−1

)

7.

Решить матричное уравнение:

(

−7

8

9

−8

) ∙

∙ (

𝑋

−4

9

−5

9

) = (

−1

2

5

−6

)

8.

Решить системы линейных уравнений

a)

по правилу Крамера:

{

3x

1

− 7x

2

+ 7x

3

= −4

x

1

− 8x

2

+ 10x

3

= −9

4x

1

− 2x

2

+ 3x

3

= 1

b)

матричным способом:

{

2x

1

+ 3x

2

+ 4x

3

= 7

3x

1

+ 4x

2

− x

3

= −4

4x

1

+ 5x

2

− 2x

3

= −7

9.

Для универсального множества





5;

4;

3;

2;

1;

1;

2;

3;

4;

5

U

 









множества





1;

2;

1;

3

A

 





и множества





2;

1;

3

B





найти множества:

1.

A

B



2.

A

B



3.

\

A B

4.

\

B A

5.

A

6.

B

7.

A

B



8.

A B



9.

A

B



10.





A B

A





В заданиях 6 и 7 дополнительно определить мощности полученных множеств.

10.

В техникуме проводилось тестирование по математике, содержащее 60 вопросов.

Данные о результатах тестирования группы из 25 студентов имеют вид:

57, 38, 52, 57, 51, 59, 35, 56, 49, 44, 33, 50, 32, 41, 56, 33, 46, 46, 56, 38, 52, 53, 31, 54, 41

Требуется:

1.

Построить вариационный и статистический ряд;

2.

Определить моду, медиану, размах вариации, среднее выборочное и

среднее квадратическое отклонение;

3.

Построить полигон и гистограмму частот.

ВАРИАНТ №13:

1.

Найти указанные пределы:

a)

2

2

2

2

7

4

lim

3

6

x

x

x

x

x











b)

2

2

5

2

15

lim

2

7

15

x

x

x

x

x











c)

2

2

3

2

9

lim

2

4

x

x

x

x

x











d)

2

5

1

3

2

6

lim

5

x

x

x

x

x











2.

Найти

производную

функции.

В

задании

а)

дополнительно

найти

вторую

производную:

a)

3

2

8

1

5

4

y

x

x

x

x









b)





3

4

2

8

5

2

1

5

y

x

x

x





 



c)

2

5

5

arccos 2

x

y

x





d)





5

lg

2

sin 2

x

y

x





3.

Вычислить предел, используя правило Лопиталя:

0

lim

2sin

x

tgx

x

x

x







4.

Вычислить матрицу С выполнив действия:

=

С

(

3

+ 0,5

𝐴

𝐵

)(

2

−

𝐵 𝐴

)

𝐴

= (

1

2

3

−1

0

2

1

2

1

)

𝐵

= (

2

−2

0

2

4

−2

0

0

6

)

5.

Вычислить определитель:

|

𝐴

|

=

|

−2

4

3

−1

−4

1

4

5

3

2

−1

−2

2

−5

2

3

|

6.

Найти обратную матрицу для матрицы:

𝐴

= (

3

−2

7

2

−4

3

1

−5

2

)

7.

Решить матричное уравнение:

(

−6

2

2

−2

) ∙

∙ (

𝑋

−6

−9

−6

−8

) = (

−3

4

−5

−6

)

8.

Решить системы линейных уравнений

a)

по правилу Крамера:

{

8x

1

+ 2x

2

− 2x

3

= 2

3x

1

+ 4x

2

+ 3x

3

= −2

x

1

− 6x

3

= −5

b)

матричным способом:

{

x

1

+ 2x

2

+ x

3

= 4

3x

1

− 5x

2

+ 3x

3

= 1

2x

1

+ 7x

2

− x

3

= 8

9.

Для универсального множества





5;

4;

3;

2;

1;

1;

2;

3;

4;

5

U

 









множества





1;

1;

2;

3

A

 

и множества





5;

3;

1

B

 



найти множества:

1.

A

B



2.

A

B



3.

\

A B

4.

\

B A

5.

A

6.

B

7.

A

B



8.

A B



9.

A

B



10.





A B

A





В заданиях 6 и 7 дополнительно определить мощности полученных множеств.

10.

В техникуме проводилось тестирование по математике, содержащее 60 вопросов.

Данные о результатах тестирования группы из 25 студентов имеют вид:

39, 52, 31, 44, 42, 40, 47, 55, 39, 55, 32, 31, 55, 45, 47, 56, 48, 49, 30, 39, 52, 45, 30, 32, 39

Требуется:

1.

Построить вариационный и статистический ряд;

2.

Определить моду, медиану, размах вариации, среднее выборочное и

среднее квадратическое отклонение;

3.

Построить полигон и гистограмму частот.

ВАРИАНТ №14:

1.

Найти указанные пределы:

a)

2

3

3

12

lim

2

x

x

x

x









b)

2

2

1

3

5

2

lim

4

3

x

x

x

x

x











c)

4

2

4

8

4

3

lim

2

1

x

x

x

x









d)

3

2

8

lim

2

2

x

x

x







2.

Найти

производную

функции.

В

задании

а)

дополнительно

найти

вторую

производную:

a)

3

4

4

3

9

2

5

y

x

x

x

x









b)





7

2

5

3

5

7

3

2

y

x

x

x











c)





2

log

7

y

x

arctg

x







d)





2

log

3

7

3

x

y

tg x





3.

Вычислить предел, используя правило Лопиталя:

3

2

3

1

2

2

lim

7

6

x

x

x

x

x

x













4.

Вычислить матрицу С выполнив действия:

= 𝐴𝐴 − 2

С

(

𝐴

+

𝐵

)

𝐴

𝐴

= (

2

1

−1

1

0

1

3

1

−2

)

𝐵

= (

2

−1

6

0

2

1

1

3

−1

)

5.

Вычислить определитель:

|

𝐴

|

=

|

−4

−3

2

2

3

1

−5

−3

3

2

5

2

2

1

3

4

|

6.

Найти обратную матрицу для матрицы:

𝐴

= (

2

−3

1

3

−6

5

5

−4

2

)

7.

Решить матричное уравнение:

(

−6

2

3

−3

) ∙

∙ (

𝑋

−1

2

5

−5

) = (

−2

4

−7

9

)

8.

Решить системы линейных уравнений

a)

по правилу Крамера:

{

x

1

− 3x

2

+ 3x

3

= −2

−2x

1

+ 2x

2

− x

3

= 1

−4x

1

+ 2x

3

= −2

b)

матричным способом:

{

3x

1

+ 2x

2

+ x

3

= 5

2x

1

+ 3x

2

+ x

3

= 1

2x

1

+ x

2

+ 3x

3

= 11

9.

Для универсального множества





5;

4;

3;

2;

1;

1;

2;

3;

4;

5

U

 









множества





3;

5;

4;

3

A

 

и множества





2;

1;

4

B

 



найти множества:

1.

A

B



2.

A

B



3.

\

A B

4.

\

B A

5.

A

6.

B

7.

A

B



8.

A B



9.

A

B



10.





A B

A





В заданиях 6 и 7 дополнительно определить мощности полученных множеств.

10.

В техникуме проводилось тестирование по математике, содержащее 60 вопросов.

Данные о результатах тестирования группы из 25 студентов имеют вид:

46, 47, 51, 30, 52, 34, 54, 53, 48, 37, 50, 52, 44, 56, 45, 40, 52, 50, 52, 50, 56, 54, 59, 50, 35

Требуется:

1.

Построить вариационный и статистический ряд;

2.

Определить моду, медиану, размах вариации, среднее выборочное и

среднее квадратическое отклонение;

3.

Построить полигон и гистограмму частот.

ВАРИАНТ №15:

1.

Найти указанные пределы:

a)

3

2

2

3

1

lim

1

x

x

x

x

x











b)

2

2

4

2

9

4

lim

20

x

x

x

x

x











c)

2

5

5

4

5

3

lim

6

8

x

x

x

x

x











d)

0

3

3

lim

5

x

x

x

x









2.

Найти

производную

функции.

В

задании

а)

дополнительно

найти

вторую

производную:

a)

5

2

3

5

4

9

7

y

x

x

x

x









b)





5

4

2

4

1

7

3

2

y

x

x

x











c)

4

1

arccos

y

ctg

x

x





d)





3

ln

5

1

x

y

tg

x

















3.

Вычислить предел, используя правило Лопиталя:

3

1

ln

lim

1

x

x

x





4.

Вычислить матрицу С выполнив действия:

= 2𝐴 − 𝐴𝐴

С

(

−

𝐵 𝐴

)

+

𝐵

𝐴

= (

3

2

−1

1

−1

2

5

7

1

)

𝐵

= (

0

3

−1

2

−1

2

−3

1

4

)

5.

Вычислить определитель:

|

𝐴

|

=

|

−4

2

2

2

3

−2

−5

−3

3

−5

4

2

2

−1

3

4

|

6.

Найти обратную матрицу для матрицы:

𝐴

= (

5

−2

−4

−1

−2

5

2

3

4

)

7.

Решить матричное уравнение:

(

−5

3

4

3

) ∙

∙ (

𝑋

−3

−5

−1

−4

) = (

−1

1

−5

−7

)

8.

Решить системы линейных уравнений

a)

по правилу Крамера:

{

3x

1

+ 5x

2

− x

3

= 8

x

1

− 3x

2

+ x

3

= −2

−x

1

+ x

2

− 2x

3

= 0

b)

матричным способом:

{

x

1

+ 2x

2

+ 4x

3

= 31

5x

1

+ x

2

+ 2x

3

= 29

3x

1

− x

2

+ x

3

= 10

9.

Для универсального множества





5;

4;

3;

2;

1;

1;

2;

3;

4;

5

U

 









множества





1;

2;

4;

3

A

 

и множества





2;

1;

3

B

 

найти множества:

1.

A

B



2.

A

B



3.

\

A B

4.

\

B A

5.

A

6.

B

7.

A

B



8.

A B



9.

A

B



10.





A B

A





В заданиях 6 и 7 дополнительно определить мощности полученных множеств.

10.

В техникуме проводилось тестирование по математике, содержащее 60 вопросов.

Данные о результатах тестирования группы из 25 студентов имеют вид:

48, 50, 36, 47, 39, 44, 35, 41, 42, 45, 43, 48, 56, 43, 39, 31, 42, 48, 54, 53, 32, 40, 54, 36, 47

Требуется:

1.

Построить вариационный и статистический ряд;

2.

Определить моду, медиану, размах вариации, среднее выборочное и

среднее квадратическое отклонение;

3.

Построить полигон и гистограмму частот.

ВАРИАНТ №16:

1.

Найти указанные пределы:

a)



 



2

2

5

2

4

lim

1

1

x

x

x

x

x











b)

2

2

4

12

lim

2

8

x

x

x

x

x











c)

2

4

2

4

2

5

lim

2

3

x

x

x

x

x

x











d)

4

4

lim

5

5

5

x

x

x









2.

Найти

производную

функции.

В

задании

а)

дополнительно

найти

вторую

производную:

a)

3

7

3

8

3

4

2

y

x

x

x

x









b)





6

5

3

2

3

2

7

4

y

x

x

x











c)

5

3

y

tg

x arcctg x





d)





4

2

3

4

tg

x

y

lg x

x







3.

Вычислить предел, используя правило Лопиталя:





2

0

ln 1

lim

cos 3

x

x

x

x

e









4.

Вычислить матрицу С выполнив действия:

=

С

(

2

−

𝐴 𝐵

)

−

𝐴

2

𝐴𝐵

𝐴

= (

1

0

3

−2

1

1

−1

3

1

)

𝐵

= (

7

5

2

0

1

2

−3

−1

−1

)

5.

Вычислить определитель:

|

𝐴

|

=

|

−2

−3

3

2

1

−2

−4

4

−3

−3

1

2

2

4

−3

3

|

6.

Найти обратную матрицу для матрицы:

𝐴

= (

3

−3

2

4

−5

2

5

−6

4

)

7.

Решить матричное уравнение:

(

6

−9

3

−3

) ∙

∙ (

𝑋

−7

6

−6

5

) = (

−1

2

6

−7

)

8.

Решить системы линейных уравнений

a)

по правилу Крамера:

{

2x

1

− 4x

2

+ x

3

= −9

−x

1

+ 6x

2

− 2x

3

= 11

x

1

+ x

2

+ x

3

= 2

b)

матричным способом:

{

4x

1

− 3x

2

+ 2x

3

= 9

2x

1

+ 5x

2

− 3x

3

= 4

5x

1

+ 6x

2

− 5x

3

= 3

9.

Для универсального множества





5;

4;

3;

2;

1;

1;

2;

3;

4;

5

U

 









множества





1;

2;

4;

3

A

 

и множества





2;

1;

2

B

 

найти множества:

1.

A

B



2.

A

B



3.

\

A B

4.

\

B A

5.

A

6.

B

7.

A

B



8.

A B



9.

A

B



10.





A B

A





В заданиях 6 и 7 дополнительно определить мощности полученных множеств.

10.

В техникуме проводилось тестирование по математике, содержащее 60 вопросов.

Данные о результатах тестирования группы из 25 студентов имеют вид:

34, 49, 50, 44, 43, 49, 59, 55, 56, 37, 41, 54, 39, 60, 52, 52, 39, 51, 52, 51, 34, 46, 34, 45, 56

Требуется:

1.

Построить вариационный и статистический ряд;

2.

Определить моду, медиану, размах вариации, среднее выборочное и

среднее квадратическое отклонение;

3.

Построить полигон и гистограмму частот.

ВАРИАНТ №17:

1.

Найти указанные пределы:

a)

2

2

2

2

lim

2

8

x

x

x

x

x











b)

2

2

2

3

2

lim

2

5

2

x

x

x

x

x











c)

3

3

7

4

lim

3

2

x

x

x

x

x









d)

0

2

2

lim

5

x

x

x

x









2.

Найти

производную

функции.

В

задании

а)

дополнительно

найти

вторую

производную:

a)

3

2

7

6

4

5

2

y

x

x

x

x









b)





3

4

2

3

4

3

4

y

x

x

x











c)

6

2

2

cos 7

y

tg

x

x





d)

3

2

lg

sin 5

x

y

x



3.

Вычислить предел, используя правило Лопиталя:





2

0

cos

1

lim

cos

1

x

x

e

x







4.

Вычислить матрицу С выполнив действия:

= 𝐴𝐴 −

С

(

𝐴

+

𝐵

)(

−

𝐴

3

𝐵

)

𝐴

= (

4

5

6

−1

0

3

−1

2

−1

)

𝐵

= (

0

−1

2

1

4

−2

3

1

2

)

5.

Вычислить определитель:

|

𝐴

|

=

|

−1

5

−2

3

−1

−3

1

2

4

1

2

−5

−2

−4

3

2

|

6.

Найти обратную матрицу для матрицы:

𝐴

= (

2

−1

−3

2

3

5

3

2

4

)

7.

Решить матричное уравнение:

(

−6

2

3

2

) ∙

∙ (

𝑋

−9

−6

−7

−5

) = (

1

4

−6

−3

)

8.

Решить системы линейных уравнений

a)

по правилу Крамера:

{

x

1

+ 6x

2

+ x

3

= −2

3x

1

+ 6x

2

− 2x

3

= −11

x

1

+ 5x

2

− 4x

3

= −7

b)

матричным способом:

{

3x

1

− x

2

= 5

−2x

1

+ x

2

+ x

3

= 0

2x

1

− x

2

+ 4x

3

= 15

9.

Для универсального множества





5;

4;

3;

2;

1;

1;

2;

3;

4;

5

U

 









множества





1;

1;

2;

3

A

 

и множества





1;

5;

4

B



найти множества:

1.

A

B



2.

A

B



3.

\

A B

4.

\

B A

5.

A

6.

B

7.

A

B



8.

A B



9.

A

B



10.





A B

A





В заданиях 6 и 7 дополнительно определить мощности полученных множеств.

10.

В техникуме проводилось тестирование по математике, содержащее 60 вопросов.

Данные о результатах тестирования группы из 25 студентов имеют вид:

59, 60, 54, 52, 53, 32, 31, 54, 59, 34, 50, 46, 56, 49, 46, 55, 54, 36, 43, 33, 44, 55, 56, 42, 50

Требуется:

1.

Построить вариационный и статистический ряд;

2.

Определить моду, медиану, размах вариации, среднее выборочное и

среднее квадратическое отклонение;

3.

Построить полигон и гистограмму частот.

ВАРИАНТ №18:

1.

Найти указанные пределы:

a)

5

7

5

lim

10

2

x

x

x







b)

2

2

3

12

lim

5

6

x

x

x

x

x











c)

4

2

4

3

6

2

lim

4

3

x

x

x

x

x











d)

1

1

lim

2

x

x

x

x









2.

Найти

производную

функции.

В

задании

а)

дополнительно

найти

вторую

производную:

a)

2

5

4

4

5

10

3

y

x

x

x

x









b)





3

2

3

5

5

4

1

y

x

x

x











c)

cos

3

2

x

y

arcctg x





d)





3

sin 5

ln 2

3

x

y

x





3.

Вычислить предел, используя правило Лопиталя:

2

2

0

1

2

lim

cos

1

2

x

x

x

e

x

x

x













4.

Вычислить матрицу С выполнив действия:

=

С

(

−

𝐴 𝐵

)(

𝐴

+

𝐵

)

− 2

𝐴

𝐴

= (

3

4

5

−1

0

2

−2

−1

1

)

𝐵

= (

0

1

2

−1

1

2

3

−1

3

)

5.

Вычислить определитель:

|

𝐴

|

=

|

2

−3

2

4

2

−5

5

3

−3

1

2

1

−4

3

3

2

|

6.

Найти обратную матрицу для матрицы:

𝐴

= (

3

2

4

2

1

1

1

3

5

)

7.

Решить матричное уравнение:

(

−3

7

3

−6

) ∙

∙ (

𝑋

−3

4

8

−9

) = (

−8

2

−5

9

)

8.

Решить системы линейных уравнений

a)

по правилу Крамера:

{

x

1

+ 4x

2

− x

3

= 0

−2x

1

+ x

2

+ x

3

= −1

−x

1

+ 5x

2

+ 2x

3

= 1

b)

матричным способом:

{

5x

1

+ 8x

2

− x

3

= 7

x

1

+ 2x

2

+ 3x

3

= 1

2x

1

− 3x

2

+ 2x

3

= 9

9.

Для универсального множества





5;

4;

3;

2;

1;

1;

2;

3;

4;

5

U

 









множества





1;

1;

4;

2

A

 

и множества





2;

1;

5

B





найти множества:

1.

A

B



2.

A

B



3.

\

A B

4.

\

B A

5.

A

6.

B

7.

A

B



8.

A B



9.

A

B



10.





A B

A





В заданиях 6 и 7 дополнительно определить мощности полученных множеств.

10.

В техникуме проводилось тестирование по математике, содержащее 60 вопросов.

Данные о результатах тестирования группы из 25 студентов имеют вид:

50, 35, 37, 42, 57, 57, 33, 40, 33, 50, 53, 48, 52, 44, 59, 51, 49, 40, 32, 44, 37, 39, 47, 37, 48

Требуется:

1.

Построить вариационный и статистический ряд;

2.

Определить моду, медиану, размах вариации, среднее выборочное и

среднее квадратическое отклонение;

3.

Построить полигон и гистограмму частот.

ВАРИАНТ №19:

1.

Найти указанные пределы:

a)

2

2

2

2

3

2

lim

3

2

8

x

x

x

x

x











b)

2

2

1

3

5

2

lim

2

1

x

x

x

x

x











c)

3

3

2

7

2

lim

3

4

x

x

x

x

x











d)

0

lim

4

2

x

x

x







2.

Найти

производную

функции.

В

задании

а)

дополнительно

найти

вторую

производную:

a)

5

3

3

3

4

3

y

x

x

x

x









b)





2

4

2

7

5

4

1

5

y

x

x

x





 



c)





6

5

4

7

arcsin 3

y

x

x







d)





4

5

ln

7

tg

x

y

x





3.

Вычислить предел, используя правило Лопиталя:

0

1

lim

tgx

x

e

tgx

x







4.

Вычислить матрицу С выполнив действия:

=

С

(

𝐴

+

𝐵

)

−

𝐵

(

2

+ 3

𝐴

𝐵

)

𝐴

= (

1

−2

3

2

3

5

1

4

−1

)

𝐵

= (

4

11

3

1

6

1

2

2

16

)

5.

Вычислить определитель:

|

𝐴

|

=

|

2

−2

−5

4

2

−5

5

3

−3

1

2

1

−4

3

3

2

|

6.

Найти обратную матрицу для матрицы:

𝐴

= (

2

4

−1

4

1

−3

3

2

1

)

7.

Решить матричное уравнение:

(

−6

9

4

−7

) ∙

∙ (

𝑋

−5

5

7

−8

) = (

1

7

−6

2

)

8.

Решить системы линейных уравнений

a)

по правилу Крамера:

{

3x

1

+ x

3

= 6

x

1

− 4x

2

+ 6x

3

= 11

4x

1

− x

2

− x

3

= −1

b)

матричным способом:

{

5x

1

− 2x

2

+ x

3

= 4

3x

1

− 5x

2

+ 3x

3

= 1

2x

1

+ 7x

2

− x

3

= 8

9.

Для универсального множества





5;

4;

3;

2;

1;

1;

2;

3;

4;

5

U

 









множества





2;

1;

4;

3

A



и множества





5;

3;

1

B

 



найти множества:

1.

A

B



2.

A

B



3.

\

A B

4.

\

B A

5.

A

6.

B

7.

A

B



8.

A B



9.

A

B



10.





A B

A





В заданиях 6 и 7 дополнительно определить мощности полученных множеств.

10.

В техникуме проводилось тестирование по математике, содержащее 60 вопросов.

Данные о результатах тестирования группы из 25 студентов имеют вид:

30, 44, 60, 45, 43, 55, 33, 30, 52, 30, 50, 38, 42, 48, 49, 58, 56, 58, 45, 60, 38, 41, 41, 49, 34

Требуется:

1.

Построить вариационный и статистический ряд;

2.

Определить моду, медиану, размах вариации, среднее выборочное и

среднее квадратическое отклонение;

3.

Построить полигон и гистограмму частот.

ВАРИАНТ №20:

1.

Найти указанные пределы:

a)

2

3

1

3

3

2

1

lim

27

7

x

x

x

x









b)

2

2

2

10

3

8

lim

3

8

4

x

x

x

x

x











c)

3

2

3

2

7

2

lim

6

4

3

x

x

x

x

x











d)

2

4

3

4

lim

16

x

x

x

x









2.

Найти

производную

функции.

В

задании

а)

дополнительно

найти

вторую

производную:

a)

3

3

7

4

5

7

9

y

x

x

x

x









b)





5

2

5

4

3

7

7

y

x

x

x











c)





5

4

ln

2

x

y

x









d)









3

3

2

3

log

2

ctg

x

y

x







3.

Вычислить предел, используя правило Лопиталя:

0

sin

lim

4

sin

x

tgx

x

x

x







4.

Вычислить матрицу С выполнив действия:

= 3

С

(

𝐴

+

𝐵

)

(

−

)

𝐴𝐵 𝐴

𝐴

= (

2

1

3

1

−2

0

4

−3

1

)

𝐵

= (

22

−14

3

6

−7

0

11

3

15

)

5.

Вычислить определитель:

|

𝐴

|

=

|

3

4

−1

3

−1

−3

1

2

4

1

2

−5

−2

−4

3

2

|

6.

Найти обратную матрицу для матрицы:

𝐴

= (

1

2

0

2

−1

5

3

1

2

)

7.

Решить матричное уравнение:

(

1

6

2

9

) ∙

∙ (

𝑋

3

−4

8

−9

) = (

−4

5

−5

5

)

8.

Решить системы линейных уравнений

a)

по правилу Крамера:

{

x

1

− 3x

2

+ 3x

3

= 0

−2x

1

+ 2x

2

− x

3

= −9

−2x

1

+ 3x

3

= −15

b)

матричным способом:

{

3x

1

+ 2x

2

+ 3x

3

= 11

2x

1

+ 3x

2

+ x

3

= 1

2x

1

+ x

2

+ 3x

3

= 11

9.

Для универсального множества





5;

4;

3;

2;

1;

1;

2;

3;

4;

5

U

 









множества





1;

2;

1;

3

A

 





и множества





2;

1;

3

B

 

найти множества:

1.

A

B



2.

A

B



3.

\

A B

4.

\

B A

5.

A

6.

B

7.

A

B



8.

A B



9.

A

B



10.





A B

A





В заданиях 6 и 7 дополнительно определить мощности полученных множеств.

10.

В техникуме проводилось тестирование по математике, содержащее 60 вопросов.

Данные о результатах тестирования группы из 25 студентов имеют вид:

35, 56, 34, 43, 48, 41, 55, 40, 50, 54, 58, 54, 50, 59, 31, 56, 45, 31, 30, 41, 56, 34, 31, 59, 58

Требуется:

1.

Построить вариационный и статистический ряд;

2.

Определить моду, медиану, размах вариации, среднее выборочное и

среднее квадратическое отклонение;

3.

Построить полигон и гистограмму частот.

Приложение 2

Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение

Иркутской области «Заларинский агропромышленный техникум»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине: ЕН.01 МАТЕМАТИКА

вариант №_______

Студента: ________________________________________________

_______________________________________________________

(Фамилия, имя, отчество)

Группы: ___________________ Курса: _____________________

Работа принята к проверке «_____» __________________ 20___ г.

Оценка: ________________________________________________

Дата проверки: «_____» __________________ 20___ г.

Преподаватель: ______________ /___________________________/

(подпись) (Фамилия, инициалы)

ДЛЯ ЗАМЕТОК

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________