Практическая часть

Уравнением называется не тождественное равенство, в котром

одна или несколько букв обозначают неизвестные величины. Неизвестные

величины обозначают через x, y, z, t, …., а заданные числа (параметры)

через а, в, с, d…..Если обе части уравнения есть целые рациональные

выражения относительно неизвестных, то такое уравнение называется

целым рациональным алгебраическим уравнением. Если уравнение целое

рациональное, то наивысшую степень членов уравнения относительно

неизвестных называют степенью уравнения.

Всякое целое алгебраическое уравнение может быть записано в

общем виде a

n

x

n

+ a

n-1

x

n-1

+ …. + a

1

x + a

0

= 0 где a

n

, a

n-1

, ….a

1

, a

0

заданные числа (коэффициенты уравнения), а х – неизвестные.

Уравнение с одним неизвестным называется дробным

алгебраическим, если хотя бы одна его часть является дробным

рациональным алгебраическим выражением относительно неизвестного

(если только одна часть дробная, то другая дробная бывает целой

рациональной), т.е. кроме сложения, умножения, возведения в

натуральную степень в уравнении указано еще действие деления на целое

рациональное алгебраическое выражение относительно неизвестного.

Всякое дробное алгебраическое уравнение может быть приведено к

целому. Решением уравнения с n неизвестными называется совокупность

n чисел ( значений неизвестных), которая обращает данное уравнение в

тождество.

Уравнение с одним неизвестным.

В общем виде уравнение с одним неизвестным можно записать

в виде f

1

(x) = f

2

(x) где f

1

(x) и f

2

(x) аналитически заданные функции.

Решениями уравнения могут быть только допустимые значения

неизвестного.

Решить уравнение значит найти все его решения,

принадлежащие указанному множеству чисел.

Областью определения уравнения или областью допустимых

значений неизвестного х, при которых существуют заданные функции f

1

(x) и f

2

(x) ( т.е. общая часть областей существования f

1

(x) и f

2

(x).

При решении уравнений необходимо выполнять тождественные

преобразования заданного уравнения, заменяя его более простым

равносильным данному. Два уравнения называются равносильными, если

каждое решение одного уравнения есть решение второго, и, наоборот,

каждое решение второго уравнения есть решение первого или, если оба

уравнения решений не имеют. Равносильность уравнений устанавливается

с помощью следующих теорем и следствий из них:

1.

Если над частями уравнения произвести

тождественные преобразования, не изменяющие

области определения уравнения, то получится

уравнение, равносильное данному.

2.

Члены уравнения можно переносить из одной части

уравнения в другую, изменив их знаки на

противоположные.

3.

Если среди членов уравнения есть дробные, то от них

можно избавиться умножением обеих частей

уравнения на НОК знаменателей дробных членов,

причем полученное уравнение равносильно данному

при всех значениях неизвестного, при которых НОК

не равно нулю.

4.

Если все члены уравнения делятся на одно и тоже

число или выражение, не равное нулю при всех

допустимых значениях неизвестного, то их можно

разделить на это число или выражение.

5.

при преобразовании уравнения область допустимых

значений его неизвестного может изменяться.

Полученное уравнение в общем случае равносильно

данному. Если при некоторых преобразованиях

область определения данного уравнения расширяется,

то полученное уравнение может иметь посторонние

корни. Если корнями полученного уравнения окажутся

те значения х , которые не принадлежать к ОДЗН

данного уравнения, то они для данного будут

посторонними; те корни получат уравнения которые

принадлежат к ОДЗН данного уравнения, следует

проверить подстановкой в него.

Если при некоторых преобразованиях данного уравнения ОДЗН

полученного уравнения сузилась по сравнению к ОДЗН данного,

то полученное уравнение может не содержать всех корней

данного уравнения. Поэтому при таком решении можно потерять

корни. При решении уравнений необходимо избегать

тождественных преобразований, ведущих к4 к сужению ОДЗН.

Если при решении уравнений приходилось пользоваться какими

либо преобразованиями, не входящими в условия теорем, то

проверка найденных значений неизвестного обязательна, т.е.

является составной частью решения уравнения. Это относится к

иррациональным, показательным, логарифмическим и

тригонометрическим уравнениям.

§ 2. Уравнения высших степеней, решение которых

приводится к решению квадратных уравнений

Рассмотрим несколько частных случаев, в которых решение уравнений

высших степеней приводится к решению квадратных уравнений

Биквадратные уравнения. Уравнение вида

ах

4

+ bх

2

+ с = 0 (а ≠ 0)

(4.16)

называется биквадратным.

Заменим х

2

на t, получим уравнение аt

2

+ bt+ с = 0, из которого находим

Если t

1

> 0 и t

2

> 0 (а > 0, с > 0, b

2

– 4ac ≥ 0, b < 0 или а < 0, с < 0, b

2

– 4ac ≥ 0,

b > 0), то биквадратное уравнение имеет четыре действительных корня

(4.17)

Уравнения, содержащие взаимно обратные выражения. Это, например,

уравнение

Областью допустимых значений неизвестного являются х ≠ - 1 и х ≠ 0.

Обозначим

тогда Относительно t уравнение

принимает вид

откуда находим

6

это уравнение

действительных

решений не имеет.

Б. откуда следует или

Решая эти уравнения, находим х

1

= -2

+ √2 и

х

2

= -2 - √2.

О т в е т .

х

1

= -2 + √2 и х

2

= -2 - √2.

Уравнения четвертой степени, решение которых приводится к решению

квадратных уравнений путем выделения полного квадрата, рассмотрим

на следующих примерах.

П р и м е р

1 .

Решить уравнение х

4

+ 6х

3

+ 5х

2

-12х + 3 = 0. В левой части

уравнения выделим полный квадрат; получим

х

4

+ 6х

3

+ 9 х

2

- 4 х

2

-12х + 3 = 0

или

(х

2

+ 3х)

2

– 4 (х

2

+ 3х) + 3 = 0.

Обозначим х

2

+ 3х через t; тогда относительно t уравнение примет вид

t

2

- 4t + 3 = 0; откуда следует t

1

= 1 и

t

2

= 3.

А. t

1

= 1 или х

2

+ 3х = 1; х

2

+ 3х – 1 = 0; откуда находим

Б. t

2

= 3 или х

2

+ 3х = 3, т.е. х

2

+ 3х – 3 = 0; откуда находим

О т в е т :

П р и м е р

2 .

Решить уравнение х

4

+ 4х

3

+ 3х

2

+ 2х – 1 = 0. Выделим

в левой части уравнения полный квадрат; получаем

х

4

+ 4х

3

+ 4х

2

- х

2

+ 2х – 1 = 0

или

(х

2

+ 2х)

2

– (х

2

– 2х + 1) = 0,

или

(х

2

+ 2х)

2

– (х - 1)

2

= 0.

Раскладывая левую часть уравнения на множители, как разность квадратов,

получаем

(х

2

+ х + 1) (х

2

+ 3х - 1) = 0

Произведение двух чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя

бы одно из них равно нулю.

х

2

+ х + 1 = 0 действительных корней не имеет;

х

2

+ 3х – 1 = 0 имеет действительные корни

О т в е т .

7

Возвратные уравнения. Целое алгебраическое уравнение

a

n

x

n

+ a

n-1

x

n-1

+ … + a

1

x + a

0

= 0

(4.18)

называется возвратным, если

a

n

= a

0

, a

n-1

= a

1

, a

n-2

= a

2

, …

Легко показать, что если х = х

0

– корень возвратного уравнения, о и х =

также корень

этого уравнения.

П р и м е р

1 .

Решить уравнение 2х

4

+ 3х

3

– 16х

2

+ 3х + 2 = 0. Разделив обе

части уравнения на х

2

≠ 0, получим

или

Обозначим ;; тогда , или

.

Относительно t уравнение принимает вид 2(t

2

– 2) + 3t – 16 = 0 или 2t

2

+ 3t –

20 = 0,

откуда находим t

1

= - 4 и … Если t

1

= - 4, то или х

2

+ 4х + 1 = 0:

х

1,2

= - 2 ± √3. Если то или 2х

2

– 5х + 2 = 0;

, х

4

= 2.

О т в е т

х

1,2

= - 2 ± √3, , х

4

= 2.

П р и м е р

2 .

Найти условие, при котором решение уравнения

ах

2

+ bx

3

+ cx

2

+ dx + e = 0 (a ≠ 0, b ≠ 0)

(4.19)

приводится к решению квадратного уравнения способом деления на х

2

(как

возвратного)

разделив обе части уравнения на х

2

, получим

8

или

Обозначим ; тогда , откуда следует х

2

+

Если , то . Данное уравнение

относительно

t принимает вид + bt + c = 0 или

т.е. его решение приводится к решению квадратного уравнения.

В ы в о д .

Решение уравнения ах

2

+ bx

3

+ cx

2

+ dx + e = 0

приводится к

решению квадратного уравнения делением на х

2

(как возвратного), если

(4.20)

Поэтому такое уравнение иногда называют также возвратным.

П и м е р

2 Решить уравнение 2х

4

– 21х

3

+ 74х

2

– 105х + 50 = 0. Так

как

Условие выполняется, т.е. или 25 = 25, то обе

части

уравнения делим на х

2

, получим

или

Обозначим тогда и относительно

t уравнение

примет вид t

2

– 21t + 54 = 0, откуда находим , t

2

= 6.

Если , то или 2х

2

– 9х + 10 = 0; х

1

= 2 и

Если t

2

= 6, то или х

2

– 6х + 5 = 0; х

3

= 1, х

4

= 5.

О т в е т .

х

1

= 2; ; х

3

= 1; х

4

= 5.

9

Аналогично решаются возвратные уравнения высших степеней.

Если степень возвратного уравнения равна 2k, то заменой оно

приводится к уравнению степени k относительно t.

Если возвратное уравнение имеет нечетную степень, то одним из

корней

этого уравнения будет х = - 1; разделив обе части этого уравнения на х + 1,

получим

возвратное уравнение четной степени

Уравнение вида

(х + а) (х + b) (x + c) (x + d) = m

(4.21)

приводится к решению квадратного уравнения, если

a + b = c + d (или a + c = b + d, или a + d = b + c).

(4.22)

П р и м е р .

Решить уравнение (х + 2) (х - 3) (х + 1) (х + 6) = - 96.

Так как 2 + 1 = - 3 + 6, то можно сгруппировать множители левой части

уравнения так:

[(х + 2) (х + 1)] [(х - 3) (х + 6)] = - 96

или

(х

2

+ 3х + 2) (х

2

+ 3х - 18) = - 96.

Обозначим х

2

+ 3х = t (можно обозначить х

2

+ 3х + 2 = t или х

2

+ 3х – 18 = t);

тогда

относительно t получим (t + 2) (t -18) = - 96 или t

2

- 16 t + 60 = 0, откуда

находим t

1

= 6 и

t

2

= 10.

Если t

1

= 6, то х

2

+ 3х = 6, х

2

+ 3х – 6 = 0; .

Если t

2

= 10, то х

2

+ 3х = 10, х

2

+ 3х – 10 = 0; х

3

= - 5, х

4

= 2.

О т в е т .

, х

3

= - 5, х

4

= 2.

Заметим, что уравнения вида (4.21) при условии (4.22) могут быть решены

выделением полного квадрата

Уравнение вида

( х + а)

4

+ (х + b)

4

= с

(4.23)

приводится к биквадратному уравнению

10

(4.24)

Заменим

Вычитая, получим a – b = 2m или m = ; тогда х + а = t + или

Относительно t уравнение принимает вид

или после упрощений

П р и м е р .

Решить уравнение (х + 6)

4

+ (х + 4)

4

= 82. Заменим

; тогда относительно t уравнение примет вид (t + 1)

4

+

(t - 1)

4

= 82

или после упрощений t

4

+ 6t

2

– 40 = 0, откуда находим t

2

= 4 и t

2

= - 10.

При t

2

= 4, t

1

= - 2 и t

2

= 2; тогда

х

1

= - 2 – 5 = - 7, х

2

= 2 – 5 = - 3.

При t

2

= - 10 уравнение действительных решений не имеет.

О т в е т .

х

1

= - 7, х

2

= - 3.

Уравнение вида

(4.25)

приводится к квадратному заменой

(4.26)

Если с = 0, то х

1

= 0 и дальнейшее решение приводится к решению

квадратного уравнения относительно х.

Если с ≠ 0, то и х ≠ 0; тогда можно числитель и знаменатель каждой дроби

левой части уравнения (4.25) разделить на х

11

Если в полученном уравнении заменить , то относительно t

получим

уравнение

которое при условии t ≠ - n, t ≠ - m приводится квадратному:

ct

2

+ (mc + nc – a – b) t + mnc – am – bn = 0.

П р и м е р .

Решить уравнение

Разделив числитель и знаменатель каждой дроби левой части уравнения на х,

получим

Обозначим тогда относительно t получим уравнение

(t ≠ 5, t ≠ - 1) или 2t

2

- 13t + 11 = 0,

откуда найдем t

1

= 1,

Если t

1

= 1, то или 2х

2

– х + 3 = 0; уравнение действительных

корней

не имеет.

Если , то , 4х

2

– 11х + 6 = 0; , х

2

= 2.

О т в е т .

, х

2

= 2.

Для приобретения навыков в решении частных случаев уравнений высших

степеней, решение которых приводится к решению квадратных уравнений,

необходима достаточная тренировка.