Показательные уравнения и методы их решения.

Определение: Показательными уравнения называются уравнения, в которых неизвестное

содержится в показателе степени.

Например:

а)

в)

б)

г)

Решение показательных уравнений сводится к решению простейших показательных

уравнений вида

,

.

Решение простейших показательных уравнений основано на монотонности показательной

функции

).

1.

1.

Простейшее показательное уравнение

имеет единственное решение

.

1)

2)

3)

4)

5)

Уравнение

при

решений не имеет.

2.

2.

Уравнение вида

равносильно уравнению

1)

2)

3)

3.

3.

Показательные уравнения, решаемые вынесением общего множителя за скобки:

1)

2)

4.

4.

Показательные уравнения, решаемые методом замены переменной:

1)

- не имеет корней

2)

- не имеет корней

5.

5.

Показательные уравнения, содержащие равенство степеней с одинаковыми показателями:

1)

2)

3)

6.

6.

Показательные уравнения, решаемые группировкой:

1)

2)

7.

7.

Показательные уравнения, решаемые логарифмированием обеих частей уравнения:

1)

2)

8.

8.

Показательные уравнения, решаемые с помощью однородности:

1)

Делим на

:

,

Ответ: 0; 1

2)

Делим на

:

Замена:

Ответ: 0; 2

9.

9.

Показательные уравнения, решаемые с помощью свойства монотонности функции:

1)

Функция

возрастает на R.

Уравнение имеет единственный корень

.

2)

Делим на

:

Функция

убывает на R.

Уравнение имеет единственный корень

.

10.

10.

Показательные уравнения, решаемые с помощью графиков функций:

1)

Строим графики функций

и

.

Абсцисса точки пересечения графиков – корень уравнения.

- корень уравнения.

Ответ: 0

2)

Строим графики функций

и

Абсциссой точки пересечения графиков является

- корень уравнения.

Ответ: -1.

11.

11.

Уравнения, содержащие переменную в основании степени

Рассматриваем следующие случаи:

1)

2)

3)

4)

Пример:

1) Если

является корнем, т.к.

верно.

2) Если

является корнем, т.к.

верно.

3) Если

не является корнем, т.к.

не верно.

4) Если

, то

,

Ответ: 4; 3; 1; 5.