Визуализация и эстетика школьной математики: эффективные приемы

решения задач по темам в 5-6 классах

В.Н. Ильина

(Государственное бюджетное

образовательное учреждение

Краснодарского края «Детская

школа-интернат искусств и

казачьей культуры им. В.Г.

Захарченко»,

г. Краснодар, Россия)

2

Аннотация: В

статье

рассматривается

визуализация

и

эстетический

потенциал школьного курса математики 5-6 классов. Часто он остается не

конца нераскрытым в системе обучения. Красота решения многих задач

заключается в эффективности приемов решения. Вместе с анализом тем

курса

5-6

классов

(делимость

чисел,

дроби,

задачи

на

проценты,

комбинаторные задачи) предложены методические приемы, раскрывающие

эстетическую составляющую. Через внедрение нестандартных подходов к

решению задач можно раскрыть эстетический потенциал ключевых тем

курса математики 5-6 классов, тем самым повысив учебную мотивацию и

развив

творческое

мышление

учащихся.

Для

учителей

математики,

заинтересованных в развитии гибкого, творческого мышления учащихся.

Ключевые слова: визуализация и эстетика решений, эффективное мышление,

учебная мотивация, визуализация задачи.

3

Школьный курс математики для 5-6 классов насыщен отработкой

вычислительных алгоритмов и решением типовых задач. Часто у учащихся

формируется

устойчивое

восприятие

математики

как

строго

регламентированного предмета. Однако в процессе обучения учитель может

преодолеть формализацию действий через визуализированный эстетический

пласт эффективного решения задач. Математика, по высказыванию Г.Г.

Харди, это «искусство математиков», где ценятся изящество, простота,

неожиданность и эффективность рассуждений [1, c. 25].

Визуализация и эстетика в математике для учащихся 5-6 классов – это

вполне осязаемое переживание «математической красоты». Оно возникает в

момент

нахождения

неожиданно

простого

решения

сложной

задачи,

обнаружения

изящной

закономерности

или

осознания

связи

между

разрозненными фактами.

Эстетика как педагогический инструмент в математике.

Эстетическое восприятие и визуализация математики базируется на

нескольких ключевых принципах, которые могут быть трансформированы в

педагогические приемы:

Принцип неожиданности и озарения («Эврика!»). Красота заключается в

внезапном преодолении кажущейся сложности простым и оригинальным

методом.

Принцип экономии и изящества. Самый короткий и лаконичный путь к

ответу воспринимается как наиболее красивый.

Принцип симметрии и гармонии. Выявление симметричных структур и

закономерностей в числовых рядах и геометрических фигурах.

Принцип визуализации. Превращение абстрактной задачи в наглядную

схему или рисунок, который сам по себе обладает эстетической ценностью.

Нестандартные приемы решения задач являются тем стимулом, который

позволяет учащимся испытать эти эстетические переживания на практике.

Нестандартные подходы к ключевым темам курса 5-6 классов.

Эстетика делимости: от «формальных» правил к числовым узорам.

4

Тема «Делимость чисел» часто подается как набор правил для

определения, делится ли число на 2, 3, 5, 9, 10. Однако ее эстетика

раскрывается в поиске изящных закономерностей.

Задача-исследование: «Разделите 1000 на 3, на 9, на 11. Проанализируйте

остатки. Можно ли, не выполняя деления, предсказать остаток от деления

1000...0 (с n нулями) на 9?»

Нестандартный подход: Ученики могут обнаружить, что 10 при делении на

9 дает остаток 1, 100 – остаток 1 (т.к. 99 делится на 9) и т.д. Следовательно,

10^n при делении на 9 всегда дает остаток 1. Это открытие не только изящно,

но и мощно, так как дает универсальный метод. Красота здесь – в

обнаружении скрытой стабильности.

Задача на «числовые палиндромы»: «Возьмите любое двузначное число.

Прибавьте к нему число, записанное теми же цифрами, но в обратном

порядке. Повторяйте действие до тех пор, пока не получится палиндром

(число, читающееся одинаково слева направо и справа налево). Исследуйте,

всегда ли это процесс приводит к палиндрому, и сколько шагов требуется для

разных чисел?»

Эстетический

компонент: Учащиеся

сталкиваются

с

магией

чисел,

наблюдая,

как

хаотичные

на

первый

взгляд

операции

приводят

к

симметричному, «красивому» результату.

Эстетика дробей: визуализация и решение «с конца»

Тема «Обыкновенные дроби» является одной из самых сложных.

Нестандартные задачи помогают преодолеть страх перед ними.

Классическая задача: «В клетке сидят фазаны и кролики. Известно,

что у них 35 голов и 94 ноги. Сколько фазанов и сколько кроликов?»

Стандартное решение: система линейных уравнений с двумя переменными.

Нестандартное «изящное» решение для 5 класса:

представим, что все

животные встали на две ноги. Тогда ног на полу будет 35 * 2 = 70. Но по

условию их 94. «Лишние» 24 ноги (94 – 70) принадлежат кроликам, которые

подняли только по две ноги. Значит, кроликов 24 / 2 = 12. Фазанов 35 – 12 =

5

23. Эстетика этого метода в его наглядности и обходе от алгебраической

темы Системы линейных уравнений с двумя переменными.

Красота следующего метода – в его четкой логике, движущейся от

известного к неизвестному.

Задача на дроби «с конца»: «Мальчик прочитал книгу за 3 дня. В

первый день он прочитал 0,2 книги и еще 16 страниц, во второй – 0,3 остатка

и еще 20 страниц, в третий – 0,75 нового остатка и последние 30 страниц.

Сколько страниц в книге?»

Нестандартный подход: Решение начинать с конца.

В третий день: 30 стр. – это 0,25 последнего остатка (т.к. 1 – 0,75 = 0,25).

Значит, последний остаток = 30 / 0,25 = 120 стр.

Во второй день: 120 + 20 = 140 стр. – это 0,7 первоначального остатка (1 – 0,3

= 0,7). Значит, остаток после первого дня = 140 / 0,7 = 200 стр.

В первый день: 200 + 16 = 216 стр. – это 0,8 всей книги (1 – 0,2 = 0,8). Значит,

вся книга = 216 / 0,8 = 270 страниц.

Задача на проценты «с конца»: Даны три числа. Первое число

составляет 65% от второго числа. Третье число составляет 50% от второго, и

разность первого и третьего числа равна 18. Найти первое число.

Нестандартный подход: Решение начинать с конца.

Разность 18 — это 65%-50%=15%.

Тогда

18

∗

65 %

15 %

= 6*13=78- первое число.

Аналогично решаем подобные задачи:

Даны три числа. Первое число составляет 15% от второго числа. Третье

число составляет 70% от второго, и разность первого и третьего числа равна

22. Найти третье число.

Нестандартный подход: Решение начинать с конца.

Разность 22 — это 70%-15%=55%.

Тогда

(

22

∗

70 %

)

55 %

= 2*14=28.

Эстетика геометрии: искусство визуального мышления.

6

Визуализированные геометрические сведения могут стать полем для

творчества.

Задача

на

разрезание

(«Танграм»

своими

руками): «Квадрат

площадью 16 см

2

разрезали на 7 частей. Соберите из этих частей

прямоугольник со сторонами 2 см и 8 см. Объясните, почему площади фигур

равны?»

Эстетический компонент: Учащиеся на практике постигают один из

краеугольных

камней

геометрии

–

принцип

сохранения

площади.

Превращение одной фигуры в другую через перекомпоновку элементов – это

зрелищно и красиво.

Задача Изменение объема куба, если изменить сторону куба:

«Сторона куба уменьшилась на 50%. На

сколько % уменьшится объем куба?»

Визуальный

компонент

помогает

понять

логику решения этой задачи:

Нестандартный подход:

Уменьшив сторону куба на 50%, т.е. в

половину мы разрезали кубик на 8 частей.

Значит, от исходного куба осталась восьмая

часть, т.е.

1

8

объема = 12,5% объема. Тогда 100%-12,5%= 87,5%. — это

уменьшение объема. Ответ: на 87,5%. Визуализация здесь помогает

перенесли алгоритм решения на аналогичные задачи.

Визуализация и эстетика математики – хорошие инструменты создания

образовательной среды, эффективный педагогический ресурс. Внедрение

вуалированных приемов нестандартных задач в уроки математики в 5-6

классах позволяет изменить формализованное восприятие математики

учащимися. Математика превращается в увлекательное пространство для

7

интеллектуальных открытий, где ценятся изящество, остроумие и творческий

подход.

Приемы обучения: акцент на закономерностях, решение «с конца»,

визуализация, историко-игровые контексты – помогают учащимся испытать

подлинное эстетическое переживание от встречи с математической красотой.

Это

помогает

формировать

устойчивую

положительную

мотивацию,

развивает гибкость ума и готовит почву для успешного освоения более

сложных математических тем в будущем. Учитель, раскрывая эстетику

математики, сам испытывает удовлетворение от процесса обучения и

становится интересным проводником в мир интеллектуальной красоты.

Важно в повседневной работе учителя математики искать тех

учеников, кто увидит красивое и эффективное решение нестандартной

задачи, кто разделит с учителем Счастье преодоленной трудности.

Список литературы

1.

Харди Г.Г. Апология математика. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая

динамика», 2000. – 104 с.

2.

Перельман Я.И. Живая математика. – М.: АСТ, 2022. – 240 с.

3.

Шарыгин И.Ф., Шевкин А.В. Задачи на смекалку: 5-6 классы. – М.: Просвещение,

2015. – 95 с.

4.

Фарков А.В. Математические кружки в школе. 5-8 классы. – М.: Айрис-пресс, 2018. –

144 с.