"Арифметическая прогрессия"

Автор: Косарева Людмила Николаевна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МБОУ "Кураловская СОШ"
Населённый пункт: Верхнеуслонский район село Куралово
Наименование материала: Конспект урока
Тема: "Арифметическая прогрессия"
Дата публикации: 07.03.2016







Вернуться назад       Перейти в раздел





Текстовая часть публикации


Урок в 9-м классе по теме: "Арифметическая прогрессия".
Тип урока: повторительно-обобщающий. Цели:  (дидактическая) обобщить и систематизировать теоретические знания по арифметической прогрессии; совершенствовать навыки нахождения п члена и суммы п первых членов арифметической прогрессии с помощью формул;  (развивающая) развивать познавательный интерес учащихся, учить их видеть связь между математикой и окружающей жизнью; развивать грамотную математическую речь;  (воспитательная) воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов; воспитание уважительного отношения к одноклассникам. Оборудование: мультимедийный проектор; наглядные таблицы, плакаты; раздаточный дидактический материал; справочный материал. Структура урока: 1. Орг.момент. 2. Сообщение темы, типа и целей урока. 3. Актуализация опорных знаний и умений: фронтальная работа // индивидуальная. 4. Работа в парах // индивидуальная разноуровневая работа у доски. Проверка, оценивание. 5. Тренировочные упражнения-закрепления. 6. Историческая справка. 7. Индивидуальная разноуровневая работа на местах по карточкам. 8. Решение ключевой задачи. 9. Выставление оценок, домашнее задание. 10.Рефлексия.

ХОД УРОКА.

1. Орг.момент, приветствие, пожелания.
Учитель: Здравствуйте, ребята! На протяжении последних уроков мы с вами рассматривали арифметическую прогрессию и решали задачи, связанные с ней. Сегодня у нас итоговый урок по теме: «Арифметическая прогрессия». Мы должны повторить определения, формулы и с помощью их решать успешно задачи. Увидеть тесную связь между математической и окружающей жизнью. Продолжить решения заданий по подготовке к итоговой аттестации.
1. Устная работа
1)Является ли заданная последовательность арифметической прогрессией, почему 1. 3; 6; 9; 12; …(ДА) 2. -5; -5; -5; … (да) 3. 0; 13; 1; 14; …(нет) 4. = 3п – 3; (да) 5. = 16 + ;(нет) 2). В последовательности (х n ): 9; 7; 5; 3; 1; - 1; -3; … назовите первый, четвёртый, шестой ,седьмой члены.
(9,-1;-3)
3). Последовательность (а n ) задана формулой а n = 2n - 3. Найдите a 1 а 2 a 5
. (-1;1;7)
4)У арифметической прогрессии первый член 4 , второй 6 . Найти разность d.
(D=2)
5) У арифметической прогрессии первый член 6 , второй 2 . Найти третий член
. (-2)
6) Найти десятый член арифметической прогрессии, если ее первый член равен 1, а разность d равна 4
.(37)
2 n n x n a

II. Математический диктант
(Презентация: слайд № ) У каждого ученика на столе лежит листочек и копирка. Задания выполняются под копирку, затем один экземпляр сдается, а по-другому ведется проверка и обсуждение в классе. Истинно или ложно каждое высказывание? Если истинно, то ставите +, ложно- 1) В арифметической прогрессии 2,4; 2,6;:: разность равна 2 . 2) Четвертый член арифметической прогрессии: 13; 9; … равен 3) 11-й член арифметической прогрессии, у которой а 1 = -4,2; d = 0,4, равен 0,2. 4) Сумма 5 первых членов арифметической прогрессии, у которой равна 11. 5) Последовательность чисел, кратных 5, является арифметической прогрессией. 6) Последовательность степеней числа 3 является арифметической прогрессией.
4. Для того чтобы вы окончательно убедились в своих твёрдых знаниях

теоретического материала и формул, поработаем в парах.
Вам предлагается карточка, в которой вы вместе с соседом по парте должны «найти пару», соединив их стрелкой. Работаем индивидуально.(слайд ). а) Чем задаётся арифметическая прогрессия ? б) чему равна разность арифметической прогрессии? в) записать формулу n-ого члена арифметической прогрессии; г) характеристическое свойство , 2 , 1 1    d b
д) формула суммы арифметической прогрессии ; Оцените себя. Отметьте в рабочей карточке, сколько правильных формул записали. А теперь проверим !!. Поставьте оценку по количеству правильных ответов. В ходе математического диктанта мы повторили определения арифметической прогрессии, формулы n-го члена, формулы суммы. Были разобраны простейшие задачи на применение этих формул.
3. Индивидуальная работа.
К доске я приглашаю 3 ребят, которые желают поработать индивидуально. Посмотрите внимательно, вам предложены задания уровней А, В, С. (ап)- арифметическая прогрессия. А1 А2 В С Дано: а 10 =126, d=4. Найти: а 1 . Дано: а 2 =84, а 1 =12. Найти: d. Найдите сумму первых восьми членов арифметической прогрессии, если а 1 = 12 d=-4 Каким будет номер члена арифметической прогрессии равного -198 , если а1=5; d=-7 ? Дано: а1=12, d=4. Найти: а12. Дано: а2=14, а1=12. Найти: d. Найдите сумму первых восьми членов арифметической прогрессии, если а 1 = -7 d=4 Является ли число 156 членом арифметической прогрессии (ап), в которой а1=24, а22=60. Дано: а 1 = 20, d = 3 Найти: а 5 Дано: а2=24, а1=11. Найти: d. Разность арифметической прогрессии равна 1,5. Найти а 1 , если а 7 = -4. Каким будет номер члена арифметической прогрессии равного 53, если а1=-4; d=3?

Фронтальная работа.
Ну, а нам с вами ребята, необходимо вспомнить теоретический материал по изученной теме:  Дайте определение арифметической прогрессии + формула.  Как найти разность арифметической прогрессии + формула?  Запишите формулу п-го члена арифметической прогрессии.  Какой вид будет иметь эта формула после алгебраических преобразований?  Сформулируйте свойство каждого члена арифметической прогрессии, начиная со второго + формула.  Запишите формулы суммы п первых членов арифметической прогрессии.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОЕ задание

(Слайд №



):
Решение
(Слайд № )
Рефлексия. Поднимите руки кто получил оценку «5», «4». А есть такие у кого нет правильных формул? Продолжим.
4. ГИА у ворот.

На ГИА по окончании 9 класса есть задачи по теме «Арифметическая прогрессия». Вам предлагается небольшая тестовая работа по этой теме (каждый получает тест). 1. Какая из следующих последовательностей является арифметической прогрессией? a) последовательность натуральных чисел, кратных 5; b) последовательность натуральных степеней числа 2; c) последовательность чисел, обратных натуральным; d) последовательность квадратов натуральных чисел. 2. Разность арифметической прогрессии равна 7. Какой формулой может быть задана эта арифметическая прогрессия? a) Аn = 4n – 7 b) Аn = 4n + 7 c) Аn = 8n + 4 d) Аn = 7n – 4 3. Какое из чисел не является членом арифметической прогрессии 7; 12; 17; 2;..? a) 97; b) 107; c) 31; d) 52. 4. Из арифметических прогрессий выберите ту, среди членов которой есть число 8. a) Аn = 3n b) An = - 3n – 5 c) An = 2n +6 d) An = 3n – 5 5. Какая из предложенных формул соответствует формуле n-ого члена арифметической прогрессии?

Оцените себя. Поставьте в рабочей карточке количество правильно

решенных заданий.

III. Решение нестандартных задач.

Приложение математических знаний.
- Прогрессии встречаются не только в математике, но и в окружающем нас мире и очень часто. И одну практическую задачу мы с вами уже решили. Воспользуйтесь советом для подготовки к экзаменам. А сейчас давайте решим задачу
от родителей
: Родители ко Дню рождения своего сына Андрея решили купить и обновить ему мобильный телефон. Для этого, они в первый месяц отложили 650 рублей, а в каждый следующий месяц откладывали на 50 рублей больше, чем в предыдущий. Какая сумма будет у родителей Андрея через 10 месяцев, и смогут ли они купить ему телефон «Сони-эрексон К-750»? (Слайд 9)
Решение
(Слайд 10 )
Родители ко дню рождения сына Андрея решили купить ему мобильный

телефон. Для этого они в первый месяц отложили 650 рублей, а в

каждый следующий месяц откладывали на 50 рублей больше, чем в

предыдущий. Какая сумма будет у родителей Андрея через 10 месяцев и

смогут ли они купить выбранный им телефон за 8 500 рублей?
Решение: а 1 = 650 руб; d = 50 руб; n = 10. Найти: S 10. n d n a S n  2 ) 1 ( 2 1   
S 10 = (1300 + 9 · 50) · 5 = 8750 руб. Ответ: смогут купить. Задача
от экономистов
:
Вкладчик 1 января 2008 года внес в сберегательный банк 50000 рублей.

Какой стала сумма его вклада на 1 января 2011 года, если сбербанк

начислял ежегодно 20% от вложенной суммы?
Решение: а 1 = 50000 руб; d = 20%; Найти: а 4 d = 0,2 · 50000 = 10000 руб; а 4 = а 1 + 3 d; а 4 = 50000 + 3 · 10000 = 80000 руб.
Слова учителя
: А теперь рассмотрим еще несколько занимательных задач на характеристические свойства членов арифметической прогрессии.
Задача 1.
На каждый из нескольких опытных участков внесли по два удобрения. На первый участок внесли по 6 кг каждого удобрения. На каждом следующем участке массу первого удобрения сохраняли, а массу второго удобрения уменьшали на 0,5 кг по сравнению с предыдущим участком. Всего нанесли 34 кг удобрения. Сколько всего килограммов первого удобрения было внесено?
Ответ:
48 кг.
Задача 2.
За 16 дней Карл украл у Клары 472 коралла. Каждый день он крал на три коралла больше, чем в предыдущий день. Сколько кораллов Карл украл в последний день?
Ответ:
52 коралла. А, сейчас ребята, вы будете работать индивидуально на местах.
Для участия в международной математической игре «Кенгуру – математика для всех» необходимо в региональный оргкомитет подать заявку от школ. В первый день указанного срока заявку в оргкомитет подали 5 школ, во второй- 7, в третий- 9… Через сколько дней в оргкомитет будет подано 60 заявок (считая, что полученная закономерность не будет нарушена)? Сколько заявок поступит в последний день?
4 Этап:
Заключительный. Итог: С такими задачами , ребята, вам придется сталкиваться не только в жизни, но и на экзаменах, как в 9 классе, так и в 11 классе. Чтобы набрать большее количество баллов, нужно уметь их решать.
Решение задач из вариантов ГИА
. Учитель совместно с учащимися выбирает метод решения, следит за грамотным решением у доски, один учащийся отвечает у доски, класс выполняет задание в тетрадях. После обсуждения на экране появляется правильный ответ. (Слайд )
Выставление оценок.
. Домашнее задание:
Рефлексия:
Оцените свои знания и умения наконец урока. Был ли полезен урок для каждого из вас? Чем? Сейчас я раздам вам тесты, заполнив их, вы сможете проанализировать нашу с вами совместную работу и индивидуальную. (Собрать тесты и проговорить ответы с детьми).
V. Итог урока.
Сегодня на уроке мы повторили определения арифметической прогрессии, формулы n-го члена, суммы n первых членов. Наряду с простейшими задачами разобрали нестандартные задачи, поговорили о связи математики с жизнью. Чтобы преуспеть в бизнесе, нужно хорошо знать математику. Эти знания помогут избежать невыгодных сделок. Урок окончен. МОЛОДЦЫ!

А знаете ли вы
, что арифметическая прогрессия применяется и в литературе: у А.С. Пушкина в романе «Евгений Онегин» есть такие строки: «не мог он ямба от хорея, как мы не бились, отличить…». Интересно, а вы сможете? Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха. Ямб – стихотворный размер с ударениями на четных слогах стиха (Мой дя´дя са´мых че´стных пра´вил), т.е. ударными являются второй, четвертый, шестой, восьмой и т.д. слоги. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью 2. Хорей - стихотворный размер с ударениями на нечетных слогах стиха (Бу´ря мгло´ю не´бо кро´ет), т.е. ударными являются первый, третий и т.д. слоги. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 1 и разностью 2. Заключительное слово учителя: Есть в математике молва, что она в порядок ум приводит. Потому хорошие слова часто говорят о ней в народе. Ты нам, математика, даёшь для победы трудностей закалку. Учится с тобою молодёжь развивать и волю, и смекалку. И за то, что в творческом труде выручаешь в трудные моменты,
Мы сегодня искренне тебе посылаем гром аплодисментов!

Проверка
(Слайд № 4)

5. Тренировочные упражнения.
Устно
(Слайд № 5, 6)
Является ли заданная последовательность арифметической прогрессией, почему? 1. 3; 6; 9; 12; … 2. -1; -1; -1; … 3. 0; 13; 1; 14; 2; 15; … 4. -3; -1; 1; 3; … 5. Хп= 3п-2; 6. Ап=25+п2; 7. Вп=12/3 – 4п. Выразите через а 1 и d: а 8 , а 33 , а 100 . Найдите а 5 , если а 1 =4 и d=7. Найдите а 12 , если а 11 =20 и а 13 =30. Письменно. 1. Найдите сумму первых 24 членов арифметической прогрессии, заданной под № 5. S 24 = • n; а 1 = 3•1 – 2 =1; а 24 = 3•24 – 2 =70; S 24 = • 24= 71 •12 =852. 2. Выразите ап из прогрессии № 1, и найдите сумму первых 18 членов. a 1 = 3; d = a 2 – a 1 = 3; a n = a 1 + (n – 1)d S n = •n
a n = 3 + (n – 1) • 3 S 18 = •18 a n = 3 + 3n – 3 S 18 = (6 + 51) • 9 a n = 3n S 18 =513. 3. Дополнительно. Используя, прогрессию под № 4, найдите сумму первых десяти её членов (два способа по вариантам). Чему равно S п ? 4.
(Слайд № 7)
Родители ко Дню рождения своего сына Андрея решили купить и обновить ему мобильный телефон. Для этого, они в первый месяц отложили 650 рублей, а в каждый следующий месяц откладывали на 50 рублей больше, чем в предыдущий. Какая сумма будет у родителей Андрея через 10 месяцев, и смогут ли они купить ему телефон «Сони-эрексон К- 750»? Решение
(Слайд № 8)

6. Исторический момент (Слайд № 9).
На проекторе высвечивается фотография, где дети считают сумму …. Вопрос 1: кто изображён на фото и что он делает? (Карл Гаусс) Вопрос 2: Какую известную математическую фразу он сказал? («Математика-царица всех наук, а арифметика-царица математики»)
Историческая справка о К.Гауссе (индивидуальное домашнее задание ученика).
Гаусс Карл Фридрих
(30.04.1777 - 23.02.1855) Дед Гаусса был бедным крестьянином, отец — садовником, каменщиком, смотрителем каналов в герцогстве Брауншвейг. Уже в двухлетнем возрасте мальчик показал себя вундеркиндом. В три года он умел читать и писать, даже исправлял счётные ошибки отца. Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Юный Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат 50×101=5050. До самой старости он привык большую часть вычислений производить в уме. Свободно владея множеством языков, Гаусс некоторое время колебался в выборе между филологией и математикой, но предпочёл последнюю. Ему принадлежат формулировка и доказательства множества свойств и теорем математики. Он очень любил латинский язык и значительную часть своих трудов написал на латыни; любил английскую, французскую и русскую литературу. В возрасте 62 года Гаусс начал изучать русский язык, чтобы ознакомиться с трудами Лобачевского, и вполне преуспел в этом деле. Современники вспоминают Гаусса как жизнерадостного, дружелюбного человека, с отличным чувством юмора…
7. А, сейчас ребята, вы будете работать индивидуально на местах.
К доске я приглашаю 4 - х ребят, которые желают поработать индивидуально. Посмотрите внимательно, вам предложены задания уровней А, В, С.
Часть А
( a n )- арифметическая прогрессия.
Дано: a 10 = 126, d=4. Найти: a 1 .
Часть В
Дано: a 25 =84, a 1 =12. Найти: d.
Часть С
Подготовку к экзамену начинают с 15 мин. В каждый следующий день её время увеличивают на 10 мин. Сколько дней следует готовиться к экзамену в указанном режиме, чтобы достичь максимальной продолжительности подготовки, не влияющей на здоровье подростка, 1час 45минут? Является ли число 156 членом арифметической прогрессии ( a n ), в которой a 1 =24, a 22 =60.
Фронтальная работа
Ну, а нам с вами ребята, необходимо вспомнить теоретический материал по изученной теме: Дайте определение арифметической прогрессии + формула. Как найти разность арифметической прогрессии + формула?
Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии. Какой вид будет иметь эта формула после алгебраических преобразований? Сформулируйте свойство каждого члена арифметической прогрессии, начиная со второго + формула. Запишите формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии. ПОЛУЧИВ ДИФФЕРЕНЦИРОВАННУЮ карточку-задание, трудитесь как пчёлки, ведь недаром их называют «труженицами»
(Слайд № ):
Решение
(Слайд № 11)

4. ГИА у ворот.
На ГИА по окончании 9 класса есть задачи по теме «Арифметическая прогрессия». Вам предлагается небольшая тестовая работа по этой теме (каждая команда получает тест). 1. Какая из следующих последовательностей является арифметической прогрессией? a) последовательность натуральных чисел, кратных 5; b) последовательность натуральных степеней числа 2; c) последовательность чисел, обратных натуральным; d) последовательность квадратов натуральных чисел.
2. Разность арифметической прогрессии равна 7. Какой формулой может быть задана эта арифметическая прогрессия? a) Аn = 4n – 7 b) Аn = 4n + 7 c) Аn = 8n + 4 d) Аn = 7n – 4 3. Какое из чисел не является членом арифметической прогрессии 7; 12; 17; 2;..? a) 97; b) 107; c) 31; d) 52. 4. Из арифметических прогрессий выберите ту, среди членов которой есть число 8. a) Аn = 3n b) An = - 3n – 5 c) An = 2n +6 d) An = 3n – 5 5. Какая из предложенных формул соответствует формуле n-ого члена арифметической прогрессии?
Физкультминутка.


8. Ключевая задача - проверка индивидуальной работы.
Составьте модель решения задачи
(Слайд № )
: Для участия в международной математической игре «Кенгуру – математика для всех» необходимо в региональный оргкомитет подать заявку от школ. В первый день указанного срока заявку в оргкомитет подали 5 школ, во второй- 7, в третий- 9… Через сколько дней в оргкомитет будет подано 60 заявок (считая, что полученная закономерность не будет нарушена)? Сколько заявок поступит в последний день? При составлении модели задачи, ребята увидят задачи, которые были решены ими в индивидуальной работе. С такими задачами, ребята, вам придется сталкиваться не только в жизни, но и на экзамене и в 9 классе, и в 11 классе на ЕГЭ (часть В). Чтобы набрать большее количество баллов нужно уметь их решать. Сейчас я раздам вам тесты, заполнив их, вы сможете проанализировать нашу с вами совместную работу и индивидуальную. (Собрать тесты и проговорить ответы с детьми).
ТЕСТ:
1) Результатом своей личной работы считаю, что я… А) разобрался в теории. Б) научился решать задачи. В) повторил изученный материал. 2) Чего вам не хватало на уроке при решении заданий: А) знаний. Б) времени. В) желания. Г) решал нормально. 3) Кто оказывал вам помощь в преодолении трудностей на уроке: А) одноклассники. Б) учитель.
В) учебник. Г) никто.
9. Выставление оценок. Домашнее задание:
«3» - №371(а), 372(а); «4» и «5» - № 264
Домашнее задание
: (творческое) 1) Задача: Для участия в международной математической игре «Кенгуру – математика для всех» необходимо в оргкомитет подать заявку от школ. В первый день указанного срока заявку в оргкомитет подали 5 школ, во второй – 7 школ, в третий – 9 школ и т.д. Через сколько дней в оргкомитет будет подано 60 заявок (считая, что полученная закономерность не будет нарушена)? Сколько заявок поступит в последний день? 2) Заполните пустые клетки таблицы числами так, чтобы в каждых строке и столбце они составили арифметическую прогрессию. 21 16 27 1
10. Рефлексия (Слайд № ).
Ребята, я вам сейчас раздам тесты, заполнив их, вы сможете проанализировать нашу совместную работу и индивидуальную. Собрать тесты и оговорить ответы с детьми.
1. Прием «ЗУХ» - знаю, узнал, хочу узнать. Вернемся к нашей таблице. Заполните вторую и третью графу и прочитайте написанное. 2. Достигли мы цели нашего урока? Достигли ли вы своей цели?
3.
Дополните фразы: (
Слайд № )

Сегодня на уроке я…

- узнал…

- учился…

- смог…, потому что …

У меня не получилось, потому что…

Дома надо потренироваться…
1. Домашнее задание: Слайд № 13 - Составить кроссворд до 10 слов по теме «Последовательность. Арифметическая прогрессия». - Ответить на вопросы после пункта 31. СПАСИБО ЗА УРОК! 3) Сегодня на уроке мы не только обобщим знания по теме “Арифметическая прогрессия”, но и найдем им практическое применение в искусстве стихосложения. Обратимся к литературе и вспомним два стихотворных размера “ямб” и “хорей”. С этими словами мы встречались в одном известном романе (слайды 4, 5).
3. Повторение
Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха. Ямб – стихотворный метр с ударениями на четных слогах стиха. Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил.(А.С.Пушкин). Ударными являются 2-й, 4-й, 6-й, 8-й и так далее слоги.
Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и сразностью, равной двум: 2,4,6,8,… Двусложный размер – ямб – придает нерифмованным строчкам стихотворения четкость,чеканность. Ломоносов самым подходящим размером считал ЯМБ, полагая, сто стихи, составленные из ямбических стоп “матери благородство,великолепие, высоту умножают”. Известное преувеличение, конечно, в таком утверждении имеется. Однако настойчивая пропаганда Ломоносовым преимущества ямбического стиха пошла на пользу русской поэзии. В ямбической организации она обретала и лёгкость, и“скорость”, и способность передавать достаточно разнообразные состояния. 80% стихов А.С.Пушкина написаны ямбом. Хорей – стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха. Я пропАл , как звЕрь в загОне.(Б.Л.Пастернак) Номера ударных слогов также образуют арифметическую прогрессию, но ее первый член равен единице, а разность по-прежнему равна двум: 1,3,5,7,… (слайды 6, 7)