" Извлечение квадратного корня без калькулятора"

Автор: Кондратьева Надежда Павловна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МБОУ "Колыванская СОШ №2"
Населённый пункт: р.п. Колывань
Наименование материала: исследовательская работа
Тема: " Извлечение квадратного корня без калькулятора"
Дата публикации: 18.04.2016







Вернуться назад       Перейти в раздел





Текстовая часть публикации


МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«КОЛЫВАНСКАЯ СРЕДНЯЯ

ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №2»

МБОУ «Колыванская СОШ № 2»
633160 РФ, Новосибирская обл. р.п. Колывань, пр-кт Революционный, 21 vildnik@yandex. ru тел/факс 8-38352-51-283 Извлечение квадратного корня без калькулятора Работу выполнила Сидорова Ирина Руководитель Кондратьева Надежда Павловна учитель математики первой квалификационной категории 1
СОДЕРЖАНИЕ Введение ---------------------------------------------------------------------2 стр. Квадратный корень из числа -------------------------------------------------4 стр. Методы извлечения квадратных корней ------------------------------------6 стр. Геометрические приложения -----------------------------------------------13 стр. Заключение --------------------------------------------------------------------------16 стр. Список литературы ----------------------------------------------------------------17 стр. 2

ВВЕДЕНИЕ
В ходе решения некоторых математических задач приходится оперировать с квадратными корнями. Поэтому важно знать правила действий с квадратными корнями. Данная тема актуальна, так как задания на вычисление квадратных корней есть в каждом классе на уроках физики, химии и биологии. Для извлечения квадратного корня существуют таблицы квадратов. Таблицы иногда бывает недостаточно. В этом году я и мои одноклассники изучали тему квадратные корни. Все было замечательно, пока под рукой была таблица квадратов, но однажды корень из шестизначного числа нам нужно было вычислить на уроке геометрии. Те, у кого были телефоны и калькуляторы, воспользовались ими, телефон я забыла дома, и пришлось разбивать число на простые множители. Корень был извлечен, но вопрос есть ли другие алгоритмы для извлечения квадратного корня, остался. Все знают, что извлечь квадратный корень без калькулятора - это непосильная задача.Я провела опрос, в ходе которого выяснилось, что извлекать квадратный корень без калькулятора умеют только учителя математики. В лучшем случае, в ситуации, когда решение задач требует извлечения корня, а калькулятор вне зоны досягаемости, прибегают к методу подбора и стараются вспомнить данные из таблицы квадратов целых чисел, но это не всегда спасает. Сколько раз все попадали в подобные ситуации? Почти все, к кому я обращалась с этим вопросом, не знали ни одного 3
способа решения этой проблемы. Но однажды я узнала, что извлекать корни люди научились задолго до изобретения «умной» техники. Мои вопросы и легли в основу исследования, которое для меня стало маленьким открытием. Исследуя эту тему, я нашла не один, а несколько способов решения данной проблемы.
Цель работы: изучить методы извлечения квадратного корня.
Были намечены следующие
задачи
: Проанализировать путем соцопроса умение учащихся, преподавателей и родителей извлекать квадратные корни без калькулятора. Изучить математическую литературу по данной теме, использовать также интернет-ресурсы, научные статьи, исторические статьи. Рассмотреть особенности каждого найденного способа и описать его алгоритм. Показать практическое применение полученных знаний и оценить степень сложности в использовании различных способов.
Актуальность исследования
обусловлена стремлением углублять математические знания через применение простейших способов извлечения квадратных корней без калькулятора, распространение алгоритмов извлечения корней среди учащихся, что особенно актуально при сдаче экзаменов, где запрещено пользование калькулятором, а также использовать эти знания при работе с вычислениями корней на уроках математического цикла в ситуациях недоступности калькулятора. В работе представлены простые алгоритмы извлечения арифметических корней, которыми может овладеть каждый.
Гипотеза
: заключается в предположении, что существует не менее двух-трех способов извлечения квадратных корней без калькулятора.
Объект исследования
: математические символы – квадратные корни. Предмет исследования: особенности способов извлечения квадратных корней без калькулятора.
Методы исследования
: 1. поиск способов и алгоритмов. 2. Сравнение найденных способов и выявление их преимущества и недостатков. 3. Экспериментальное подтверждение правильности разных способов на практике при исследовании путём решения конкретных зада 4

Определение.

Неотрицательное число, квадрат которого равен

неотрицательному числу а, называется квадратным корнем из

а.
Это число обозначают а. Таким образом ( ) . а а а 2 0   и
Пример.
Т ак как 0 0 1 1 2 4 3 9 0 1 1 4 2 9 3 2 2 2 2         , , , , , , , . то 0 В записи а знак называют знаком радикала (от латинского "радикс" - корень). Знак корня происходит из строчной латинской буквы r (начальной в латинском radix –корень), сросшейся с надстрочной чертой: ранее. Надчеркивание выражения использовалось вместо нынешнего заключения его в скобки. Так что, √ а+в есть всего лишь видоизмененный способ записи r, а+в. Впервые такое обозначение использовал немецкий математик Томас Рудольф в 1525 году. 5
Во время работы над данной работой я обнаружила интересную информацию. Оказывается, существует неофициальный праздник, посвященный квадратному корню. День квадратного корня – праздник, отмечаемый девять раз в столетие: в день, когда и число, и порядковый номер месяца являются квадратными корнями из двух последних цифр года (например, 2 февраля 2004 года: 02 -02 -04). Впервые этот праздник отмечался 9 сентября 1981года (09-09-81).Основателем праздника является школьный учитель Рон Гордон из города Редвул Сити, Калифорния, США. Главным блюдом на этом «праздничном столе» обычно являются вареные кубики из овощей и выпечка в форме математического знака квадратного корня. По математическим причинам этот праздник может отмечаться строго девять раз в столетие (семь раз в первой половине века и дважды – во второй), всегда в одни и теже дни: 1 января xx01 года 2 февраля xx04года 3марта xx09 года 4 апреля xx16 года 5мая xx25 года 6 июня xx36 года 7июля xx49 года 8 августа xx64 года 9 сентября xx81 года. При этом промежуток (в годах) между праздниками составляет непрерывную последовательность нечетных чисел: 3, 5, 7 и т.д.
Методы извлечения квадратных корней
Мы знаем, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. Это означает, что 2 не может быть рациональным числом. Он является иррациональным числом, т.е. записывается в виде непериодической бесконечной десятичной дроби, причем первые десятичные знаки этой дроби имеют вид 1,414... Чтобы найти следующий десятичный знак, надо взять число 1.414х, где х может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, возвести по порядку эти числа в квадрат и найти такое значение х, при котором квадрат меньше, чем 2, но следующий за ним квадрат больше, чем 2. Таким значением является х=2. Далее повторяем то же самое с числами вида 1,4142х. Продолжая этот процесс, получаем одну за другой цифры бесконечной десятичной дроби, равной 2 . Аналогично доказывается существование квадратного корня из любого положительного действительного числа. Если точность, даваемая микрокалькулятором, недостаточна, можно воспользоваться способом уточнения значения корня, даваемым следующей теоремой:
Теорема.

Если а - положительное число и
х 1
- приближенное значение для
а
по избытку, то - приближенное значение для
а
/

х

2

по недостатку.

Пример 1
. Уточним по формуле х 2 =          1 1 2 1 х а х приближение 6
х 1 = 1,414 для 2 .
Решение
. В нашем случае, а=2. Поэтому х 1 = 2 1 414 , 1 2 414 , 1 2 1         (1,414 + 1,4144271) + 1,4142135… Выполнив еще одно приближение, мы убедимся, что все выписанные знаки полученного ответа верны, т. е. число верных знаков удвоилось. А если серьезно, то вычисление квадратного корня часто выполняют, используя прием
«артиллерийской вилки
»: сначала берут число, квадрат которого, примерно, соответствует подкоренному выражению. Лучше, если «наш квадрат» чуть меньше этого выражения. Затем корректируют число по собственному умению-разумению, например, умножают на два, и… вновь возводят в квадрат. Если результат больше числа под корнем, последовательно корректируя исходное число, постепенно приближаются к его «коллеге» под корнем. Как видите – никакого калькулятора, только умение считать «в столбик». Чтобы подтвердить свою возросшую грамотность, вычислим квадратный корень ранее указанного числа 12345. Делаем пошагово:1. Возьмем, чисто интуитивно, Х=100. Подсчитаем: Х * Х = 10000. Интуиция на высоте - результат меньше 12345.2. Попробуем, тоже чисто интуитивно, Х = 120. Тогда: Х * Х = 14400.И опять с интуицией порядок - результат больше 12345.3. Выше получена «вилка» 100 и 120. Выберем новые числа - 110 и 115. Получаем, соответственно, 12100 и 13225 – вилка сужается.4. Пробуем на «авось» Х=111. Получаем Х * Х = 12321. Это число уже достаточно близко к 12345. В соответствии с требуемой точностью «подгонку» можно продолжить или остановиться на полученном результате. Вот и все. Как и было обещано – все очень просто и без калькулятора.
Древние вавилоняне
пользовались следующим способом нахождения приближенного значения квадратного корня их числа х. Число х они представляли в виде суммы а 2 +b, где а 2 ближайший к числу х точный квадрат натурального числа а (а 2 <х), и пользовались формулой . (1) Извлечем с помощью формулы (1) корень квадратный, например из числа 28: 7
Результат извлечения корня из 28 с помощью МК 5,2915026. Как видим способ вавилонян дает хорошее приближение к точному значению корня.
Исаак Ньютон
разработал метод извлечения квадратного корня, который восходил еще к Герону Александрийскому (около 100 л. н.э.). Метод этот (известный как метод Ньютона) заключается в следующем. Пусть а 1 — первое приближение числа (в качестве а 1 можно брать значения квадратного корня из натурального числа — точного квадрата, не превосходящего х) . Следующее, более точное приближение а 2 числа найдется по формуле . Третье, еще более точное приближение и т.д. (n+1)-е приближение найдется по формуле . Нахождение приближенного значения числа методом Ньютона дает следующие результаты: а 1 =5; а 2 = 5,3; а 3 =5,2915. - итерационная формула Ньютона для нахождения квадратного корня из числа х (n=2,3,4,…, а n - n-е приближение . Указанный мною способ позволяет извлекать квадратный корень из большого числа с любой точностью, правда с существенным недостатком:
громоздкость
вычислений.
Извлечение столбиком
8
= 2 8 4 5 4 48 4 09 8 3 84 564 25 40 4 22 56 568 5 2 84 25 5 2 84 25 569 0 0 - остаток 0, число найдено Способ почти универсальный, так как применим к любым числам, но составление ребуса (угадывание цифры на конце числа) требует логики и хороших вычислительных навыков столбиком.
Он трудоёмкий, но очень точный
. Продолжая процесс, можно вычислить корень из любого числа с любой точностью. Случай, если число дробное, приводится к нашему алгоритму умножением на 100 = 10 в квадрате, 10000 = 100 в квадрате и так далее. Например, перед использованием приведенного метода для извлечения числа 25,8 его нужно умножить на 100, а после извлечения результат поделить на 10.
Метод вычетов нечётного числа
Этот способ предлагает преподаватель математики одной из школ Вашингтона миссис Бруксбанк своим ученикам. Он заключается в том, чтобы последовательно вычитать нечётные числа 1,3,5,7 и т.д. пока не дойдете до нуля, а затем подсчитать число вычитаний. Это и будет ответ. Например, чтобы получить квадратный корень из 36 и 121 это: 36 - 1 = 35 - 3 = 32 - 5 = 27 - 7 = 20 - 9 = 11 - 11 = 0 Общее количество вычитаний 6, поэтому квадратный корень из 36 равен 6. 9 Сносим пары чисел Разбиваем число по парам. Подбираем число, квадрат которого ближе всего к первой цифре слева, т.е. к 8. В нашем случае это 2 Здесь пишем квадрат найденного числа Здесь пишем число, которое нашли, умноженное на 2
121 - 1 = 120 - 3 = 117- 5 = 112 - 7 = 105 - 9 = 96 -11 = 85 – 13 = 72 - 15 = 57 – 17 = 40 -19 = 21 - 21 = 0 Общее количество вычитаний 11, поэтому √121 = 11. Пример: найдём √529 Решение: 1)_529 1 2)_528 3 3)_525 5 4)_520 7 5)_513 9 6)_504 11 7)_493 13 8)_480 15 9)_465 17 10)_448 19 11)_429 21 12)_408 27 13)_385 25 14)_360 27 15)_333 29 16)_304 31 17)_273 33 18)_240 35 19)_205 37 20)_168 39 10
21)_129 41 22)_88 43 23)_45 45 0 Ответ: √529 = 23 Способ настолько прост, что пользоваться им может ребенок, обладающий простыми навыками вычисления. Российские учёные называют этот метод арифметическим извлечением квадратного корня, а за глаза «
методом черепахи» из-

за его медлительности.

Недостатком
такого способа является то, что если извлекаемый корень не является целым числом, то можно узнать только его целую часть, но не точнее. В то же время такой способ вполне доступен детям, решающим простейшие математические задачи, требующие извлечения квадратного корня.
Метод Герона
Этот метод был известен еще в Древней Греции и приписывается Герону Александрийскому. Герон жил в 1 веке н.э. и описал в своих книгах закон отражения света, формулу вычисления площади треугольника по трем сторонам. Интересно, что и в наше время метод Герона используется в некоторых вычислительных машинах. Герон объясняет свой метод на примере: пусть надо найти корень из 720. Так как 720 не имеет рационального корня, то возьмем корень с очень малой погрешностью следующим образом. Так как ближайший к 720 квадрат есть число 729, и оно имеет корнем 27, то разделим720 на 27 получается 26 2/3. 26 2/3+ 27=53 2/3. Разделим результат на 2, получим 26 5/6. Это и есть результат. Если возвести это число в квадрат, получим 720 1/36. Погрешность составляет 1/36 единицы. Но при желании погрешность может быть и меньшей. Для уменьшения величины погрешности процедуру следует проделать еще и еще раз с вновь полученной величиной. В нашем случае с числом 720 1/36. Второй метод Герона. Число представим в виде суммы а 2 +b. Где а 2 ближайшее к числу ч точный квадрат натурального числа а и воспользуемся формулой √а 2 +b=a + b/2a/ Извлечем с помощью формулы корень квадратный из числа 28. √28=√5 2 + 3≈5 +3/2*5≈5,3. Возведем в квадрат полученный результат ( 5,3) 2 =28,09. Погрешность составляет 0,09 единицы.
По-моему методы Герона являются самыми простыми и доступными. Кроме

того, данные методы имеют самый маленький коэффициент погрешности.
11

Геометрические приложения.
К извлечению квадратных корней сводятся многие геометрические задачи. Например, в курсе геометрии доказывают
теорему Пифагора: квадрат длины

гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов длин катетов

этого треугольника.
Индийцы две тысячи лет тому назад доказывали ее с помощью следующего чертежа. a b b a b a b a b a c Рис.1 Видим, что площади заштрихованных фигур в обоих квадратах равны, но в одном случае площадь равна а b 2 2  , а в другом - с 2 . Значит, а b c 2 2 2   . Из теоремы Пифагора следует, что расстояние между точками М (х 1 ;у 1 ) и N(x 2 ;y 2 ) координатной плоскости (рис.2) выражается формулой y N y 2 y 2 -y 1 у 1 M х 2 -х 1 О х 1 х 2 x Рис 2.
MN=
    2 1 2 2 1 2 у у х х   
.
(1)
Пример
1. Найдем расстояние от вершины дерева до конца его тени, если высота дерева равна 12 м, а длина тени -- 16 м.
Решение
. По теореме Пифагора имеем AC AB BC        2 2 2 2 12 16 144 256 400 (м). Так как 20 400 400 20 2   , то , т. е. расстояние равно 20 м.
Пример 2
. Найдем расстояние между точками М(3; 1)и N(8; -11) координатной плоскости.
Решение
. По формуле (1) имеем MN =     2 2 1 11 3 8     = 169 =13


Геометрическое извлечение квадратного корня
- рисуем окружность диаметра (x+1) 12
- проводим диаметр - отмеряем по диаметру 1 от одного края диаметра - проводим перпендикуляр - длина перпендикуляра до пересечения с окружностью = корень из x критерий точности: чем руки прямее, тем точнее. ВН =√АН*НС, если АН =1,а НС = х, то ВН=√х 13

Заключение.
В ходе исследования было выявлено, что современной науке известно много способов извлечения квадратного корня, начиная со способа математиков Древнего Вавилона и заканчивая способом степенных рядов сложных степеней из разделов высшей математики. Были изучены и отработаны на практике все найденные способы.Наше предположение, что существует не менее двух-трех способов извлечения квадратных корней без калькулятора подтвердилось. Описанные в работе методы извлечения корней встречаются во многих источниках. Тем не менее, разобраться в них оказалось для меня непростой задачей, что вызвало немалый интерес. Представленные алгоритмы позволят всем, кто заинтересуется данной темой, быстрее овладеть навыками вычисления квадратного корня, их можно использовать при проверке своего решения и не зависеть от наличия в кармане калькулятора. Тем более что на экзамене в 9 и 11 классах применение калькулятора не допускается. Таким образом, цель работы достигнута, задачи выполнены.



14

Список литературы:
1. Алгебра: Учеб. Для 8 кл. сред.шк.\ Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров и др. – Просвещение, 2012г. 2. В.А. Гусев, А.Т. Мордкович «Математика: справочные материалы»; Книга для учащихся – 2-е издание. – М: Просвещение. 3. Керимов З., «Как найти целый корень?» Научно-популярный физико- математический журнал "Квант" №2, 1980 4. Петраков И.С. «математические кружки в 8-10 классах»; Книга для учителя.– М.:Просвещение,1987 5. И.Н. Сергеев, С.Н. Олехник, С.Б.Гашков «Примени математику». – М.: Наука, 1990 6. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. «Рассказы о прикладной математики».- М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979 15