"Ключевые задачи в процессе обучения школьников решению задач по геометрии"

Автор: Власенко Нина Михайловна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: "Ленинская средняя общеобразовательная школа №1"
Населённый пункт: г. Ленинск, Волгоградской области
Наименование материала: презентация
Тема: "Ключевые задачи в процессе обучения школьников решению задач по геометрии"
Дата публикации: 15.06.2016







Вернуться назад       Перейти в раздел





Текстовая часть публикации



« Каждая решенная мною задача

« Каждая решенная мною задача

становилась образцом, который

становилась образцом, который

служил впоследствии для решения

служил впоследствии для решения

других задач »

других задач »

Рене

Декарт
(31
марта
1596 – 11
февраля
1650)

Основная цель школьного курса

геометрии – обучение решению

геометрических задач
 В практической деятельности закрепляются теоретические знания  Развивается подлинная творческая активность  Развивается мышление
 Понимание учащимися природы и структуры математических задач.  Ликвидацию перегрузки учащихся.  Гарантию успеха в решении всех школьных задач, предлагаемых на тестировании, ОГЭ и ЕГЭ.  Рациональное использование учебного времени.  Воспитание у учащихся веры в свои способности.
 учить методам решения математических задач  облегчает поиск решения  дает возможность индивидуализировать процесс их решения

Математическая задача

Математическая задача

называется ключевой, если

называется ключевой, если

ее содержание либо метод ее

ее содержание либо метод ее

решения используется при

решения используется при

решении других задач .

решении других задач .

Ключевая задача Ключевая задача Задача - Задача - факт факт Задача - Задача - факт факт Задача- Задача- метод метод Задача- Задача- метод метод Задача-факт Задача-факт и метод и метод Задача-факт Задача-факт и метод и метод
 1)проанализировать, какие умения должны быть сформированы у учащихся в результате изучения данной темы;  2)соотнести просматриваемые задачи по теме с планируемыми умениями;  3) выделить то минимальное их число, овладев решениями которых, школьник сможет решить любую задачу
 1 Аналитический : анализ любой задачи позволяет вычленить из нее подзадачи  2) Основан на умениях, которые должны быть сформированы у учеников после изучения темы.  3)Метод исключения и дополнения (Задача А – ключевая)  4) Основан на методах решения, которые учитель должен ввести и отработать в изучаемой теме А А В А А
 начинать лучше с самых простых ключевых задач;  задачи, выходящие за рамки школьной программы, лучше разбирать в конце урока;  cамые яркие задачи лучше отнести на вторую часть урока;
 желательно чередовать задачи с обширными записями и те, которые не предполагают громоздких обоснований;  задачи, связанные с предыдущей темой, лучше включать в число первых, а активно используемые в последующих темах - позднее
 умение школьников распознавать ключевые задачи;  умение решать ключевые задачи;  умение правильно оформлять решение ключевых задач;  умение запоминать такие задачи, иметь их в своем арсенале;  умение осуществлять самоконтроль деятельности по решению ключевых задач .
Ознакомление учащихся с решением указанных задач Ознакомление учащихся с решением указанных задач Систематизации методов решения задач по теме Систематизации методов решения задач по теме Решение задач, сводящихся к последовательност и ключевых Решение задач, сводящихся к последовательност и ключевых Обучение распознания ключевых задач среди других Обучение распознания ключевых задач среди других Создание банка ключевых задач Создание банка ключевых задач
Ключевые задачи Ключевые задачи
 1. Медианы в треугольнике пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1, считая от вершины. 
2
. Медиана делит треугольник на два равновеликих. 
3
. Медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников
.
 4. Если О – точка пересечения медиан треугольника АВС, то S АВС = 3S АОВ = 3S ВОС

1
Сумма квадратов медиан треугольника равна суммы квадратов его сторон. 
2
. Сумма квадратов медиан прямоугольного треугольника, проведенных из вершин острых углов, равна квадрата его гипотенузы. 
3.
В прямоугольном треугольнике длина медианы, проведенной к гипотенузе, равна ее половине.

Ключевая задача
. Докажите, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.





1.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы.  2. Если в треугольнике длина медианы равна половине длины стороны, к которой она проведена, то этот треугольник – прямоугольный.
А С B M A D C B
 1. Найдите отношение суммы квадратов длин всех медиан треугольника к сумме квадратов длин всех его сторон.  2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к катету, равна l. Найдите площадь треугольника.  3. В равнобедренном треугольнике к боковой стороне, равной 4, проведена медиана, равная 3. Найдите основание треугольника.



 Расстояние от вершины прямого угла до гипотенузы равно а, а до точки пересечения биссектрисы меньшего угла с меньшим катетом равно b. Найдите длину меньшего катета
 1. В треугольнике АВС С= 90°, СD – биссектриса, AD=m, BD=n Найдите катеты треугольника.  2.В прямоугольный треугольник вписана полуокружность так, что диаметр лежит на гипотенузе, а центр делит гипотенузу на отрезки длиной 15 и 20. Найдите радиус полуокружности.  3.Точка на гипотенузе, равноудаленная от обоих катетов, делит гипотенузу на отрезки длиной 30 и 40. Найдите катеты треугольника
 4. В прямоугольный треугольник с углом 60° вписан ромб со стороной, равной 6, так, что угол в 60° у них общий и все вершины ромба лежат на сторонах треугольника. Найдите стороны треугольника.  5. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 и 20. Найдите биссектрису угла при основании треугольника.
 1 . Концы лестницы скользят по стенкам угла. Какую траекторию описывает при этом фонарик, находящийся на средней ступеньке лестницы?  2. В прямоугольном треугольнике ABC ( C=90 0 ) CM - медиана. В треугольник BMC вписана окружность, точка касания делит отрезок BM пополам. Найдите острые углы треугольника ABC.  3. В равнобедренном треугольнике ABC основание AC равно 12. Точка M - середина BC, BK ⊥

AC и BK=MK. Найдите площадь треугольника.  4. В трапеции ABCD AB =2CD =2AD, AC=a, BC=b. Найдите основания AB и CD.



Ключевая задача

Ключевая задача.
Середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

 1. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и она делит каждую медиану в отношении 2
:
1, считая от вершины.  2. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, длина одной из них равна 6. Длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна 5. Найдите площадь трапеции.
 Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.
Биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны
Высоты параллелограмма, опущенные из одной вершины, образуют угол, равный углу при соседней вершине параллелограмма.
Любой отрезок с концами на сторонах параллелограмма, проходящий через его центр, делится центром пополам.
1) AOD подобен СOВ, k=a/b(коэффициент подобия равен отношению оснований трапеции) 2)S 1 = S 2 (S ABO = S DOC )
 Рис. 2. В равнобокой трапеции Рис. 2 а. – углы при основании равны ( 1= 2)  Рис. 2 б. – диагонали равны (d 1 =d 2 )  Рис. 2 в. - AOD – равнобедренный  Рис. 2 г. – если BL AD, CM AD, то ABL = DCM,  AL = MD = (a-b)/2  Рис. 2 д. – если BL AD, CM AD, то AM = LD = l (l – средняя линия.)
 Если в равнобокую трапецию вписана окружность, то ее боковая сторона равна средней линии трапеции. AB = CD = (a+b)/2 = l
 1) Если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность. 2) Если около трапеции можно описать окружность, то она равнобокая. Радиус окружности, описанной около трапеции ABCD, равен радиусу окружности, описанной около треугольника ABD, (или около треугольника, вершинами которого являются любые три вершины трапеции) R=abc/4S .
 Если окружность вписана в трапецию, то 1) суммы противоположных сторон трапеции равны AB + CD = AD + BC 2) центр окружности – точка пересечения биссектрис, проведенных из углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции (AO; BO – биссектрисы) 3 BOA = 90° 4)Высота трапеции равна удвоенному радиусу вписанной окружности h=2r
«Обучение математике имеет «Обучение математике имеет смысл только тогда, когда оно смысл только тогда, когда оно учит думать, решать задачи. учит думать, решать задачи. Способность решать задачи Способность решать задачи гораздо важнее, чем просто гораздо важнее, чем просто владение информацией». владение информацией».
Спасибо за внимание! Спасибо за внимание!