Статья по теме:

« Применение элементов

комбинаторики в школьном

курсе математики».

Автор: Каирбекова Маликат Изамутдиновна, учитель математики

Республика Дагестан

Махачкала 2022

Введение

1. Актуальность темы

Комбинаторика – один из разделов дискретной математики, который

приобрел большое значение в связи с использованием его в теории

вероятностей, математической логике, теории чисел, вычислительной

технике, кибернетике.

Элементы теории вероятностей, в частности элементы комбинаторики, на

современном этапе являются составной частью всего курса математики,

начиная с начальной школы. Поэтому знание этого раздела математики

необходимо студентам – будущим учителям. От увлеченности учителя

элементами комбинаторики, от умения решать комбинаторные задачи

зависит заинтересованность учеников этим материалом.

В практической деятельности человеку часто приходится иметь дело с

задачами, в которых нужно подсчитать число всех возможных способов

расположения некоторых предметов или число всех возможных способов

осуществления некоторого действия. Приходится выбирать из некоторого

конечного множества совокупности объектов его подмножества,

обладающие тем или иным свойством, подсчитывать, сколько различных

комбинаций можно составить из конечного числа элементов, принадлежащих

данной совокупности, располагать эти элементы в определенном порядке.

Представителям самых различных специальностей приходится решать

задачи, в которых рассматриваются те или иные комбинации, составленные

из букв, цифр и иных объектов. Начальнику цеха надо распределить

несколько видов работ между имеющимися станками, агроному —

разместить посевы сельскохозяйственных культур на нескольких полях,

заведующему учебной частью школы — составить расписание уроков,

ученому-химику — рассмотреть возможные связи между атомами и

молекулами, лингвисту — учесть различные варианты значений букв

незнакомого языка и т. д.

В этих задачах речь идет о тех или иных комбинациях. Задачи такого типа

называются комбинаторными, а область математики, в которой изучают

комбинаторные задачи, называют комбинаторикой.

Глава 1.Разработка системы задач по комбинаторике для размещений,

сочетаний и перестановок в школьном курсе математики.

Пример.

Сколькими способами 4 юноши могут пригласить четырех из шести девушек

на танец?

Решение

Два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И

варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами

считаются, разными, поэтому:

Α

6

4

=

6 !

(

6

−

4

)

!

=

720

2

=

360

Возможно 360 вариантов.

Пример

Сколькими способами можно выбрать четырех человек на четыре различные

должности, если имеется девять кандидатов на эти должности?

Ответ

A

9

4

=

9

∗

8

∗

7

∗

6

=

3024

способами.

Пример

Расписание одного дня состоит из 5 уроков. Определить число вариантов

расписания при выборе из 11 дисциплин.

Решение

По схеме получаем: n=11 , k=5, порядок важен (уроки идут по порядку),

повторений нет.

Нужна формула: Размещения

A

n

k

=

n !

(

n

−

k

)

!

Будем считать, что уроки в течение дня не повторяются. Тогда количество

вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин определим по формуле

размещений:

A

11

5

=

11 !

(

11

−

5

)

!

=

11 !

6 !

=

11

∗

10

∗

9

∗

8

∗

7

=

55440

вариантов.

Ответ: 55440.

Пример

Шифр сейфа состоит только из 6 цифр, которые должны набираться

последовательно и могут повторяться. Чему в этом случае равно общее число

всех возможных комбинаций шифра?

Решение.

По схеме получаем: n=10, k=6 , порядок важен (шифр набирается в строгом

порядке), повторения есть (цифры могут повторяться).

Нужна формула: Размещения с повторениями

ˉA

n

k

=

n

k

.

Считаем, что в шифр может входить любая из 10 цифр, всего 6 возможных

позиций (длина шифра равна 6 цифрам). Подсчитаем общее число всех

возможных комбинаций шифра.

Первую цифру можно выбрать 10 способами, вторую – также 10 (цифры

могут повторяться), и так далее для всех шести цифр шифра, то есть

N = 10*10*10*10*10*10=10

6

.

В терминах комбинаторики это размещения с повторениями из 10 объектов

по 6: N=

ˉA

10

6

=

10

6

Ответ:

10

6

Пример

У мамы 2 яблока и 3 груши. Каждый день в течение 5 дней подряд она

выдает по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?

Решение

Имеем набор {я, я, г, г, г}. Всего перестановок пятиэлементного множества

5!, но мы не должны учитывать перестановки, в которых объекты одного

типа меняются местами несколько раз, поэтому нужно поделить на

возможное число таких перестановок: 2! · 3!.

Получаем в итоге 5!/( 2! · 3!) = (3 · 4 · 5)/( 2 · 3) = 10.

Ответ: 10 способов

Пример

В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в

поезде 4 человека, при условии, что все они должны ехать в различных

вагонах?

Решение

Т.к. все пассажиры должны ехать в разных вагонах, требуется отобрать 4

вагона из 9 с учетом порядка (вагоны отличаются №), эти выборки т

– размещения из n различных элементов по k элементов, где n=9, k=4. Число

таких размещений находим по формуле:

A

n

k

= n *(n – 1)*(n – 2)*…*(n − k + 1).

Получаем:

A

9

4

=9*8*7*6=3024.

Ответ: 3024 способами можно рассадить в поезде 4 человека.

Пример.

Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трех

горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал пяти

цветов?

Решение

Искомое число трехполосных флагов:

Пример.

Пусть даны цифры: 7; 8; 9; 4; 5; 6. Определить сколько двузначных чисел

можно составить из этих цифр.

Решение

Если цифры могут повторяться, то количество двузначных чисел

будет N=n

k

=6

2

=36. Если цифры не повторяются, то .N=

A

6

2

=

6

∗

5

=

30

Пример

а) Спортивный клуб насчитывает 30 членов, из которых надо выделить 4

человека для участия в забеге на 1000 метров. Сколькими способами это

можно сделать?

б) Сколькими способами можно составить команду из 4 человек для участия

в эстафете 100 м + 200 м + 300 м + 400 м?

Ответ: а)

A

30

2

=

27405

; б) 30*29*28*27=657720 способами.

Пример

На плоскости отмечено 10 точек так, что никакие три из них не лежат на

одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих

точках?

Ответ

A

10

3

=

120

треугольников.

Задачи на сочетание

Пример

В группе 9 человек. Сколько можно образовать разных подгрупп при

условии, что в подгруппу входит не менее 2 человек?

Решение

Не менее 2-х человек, т.е. 2+7 или 3+6 или 4+5 человек (5+4, 6+3, 7+2 – те же

самые комбинации).

В каждой выборке важен только состав, т.к. члены подгруппы не

различаются по ролям, т.е. выборки − сочетания из n различных элементов по

k элементов, их число:

C

n

k

=

n !

k !

(

n

−

k

)

!

,где n!=1*2*3*…*n.

Число выборок из 2-х человек:

C

9

2

=

9!

2 !

(

9

−

2

)

!

=

9!

2 !

∗

7 !

=

8

∗

9

1

∗

2

=

36.

Число выборок из 3-х человек:

C

9

3

=

9!

3 !

(

9

−

3

)

!

=

9 !

3!

∗

6 !

=

7

∗

8

∗

9

1

∗

2

∗

3

=

84.

Число выборок из 4-х человек:

C

9

4

=

9!

4 !

(

9

−

4

)

!

=

9 !

4 !

∗

5!

=

6

∗

7

∗

8

∗

9

1

∗

2

∗

3

∗

4

=

126.

Применяем правило сложения:

C

9

2

+

C

9

3

+

C

9

4

=36+84+126=246 способов.

Ответ: 246 способов.

Пример

Группу из 20 студентов нужно разделить на 3 бригады, причем в первую

бригаду должны входить 3 человека, во вторую — 5 и в третью — 12.

Сколькими способами это можно сделать.

Решение

Создавая первую бригаду, отбирают 3 человека из 20, создавая вторую – 5 из

оставшихся 17, создавая третью – 12 из оставшихся 12. Для выборок важен

только состав (роли членов бригады не различаются).

Эти выборки - сочетания из n различных элементов по k элементов, их число:

C

n

k

=

n !

k !

(

n

−

k

)

!

.

Создавая сложную выборку (из 3-х бригад), воспользуемся правилом

умножения:

N=

C

20

3

∗

C

17

5

∗

C

12

12

=

20 !

3 !

(

20

−

3

)

!

∗

17 !

5 !

(

17

−

5

)

!

∗

12 !

12 !

(

12

−

12

)

!

=

20 !

3 !17 !

∗

17 !

5 !12!

∗

12 !

12! 0!

=

13

∗

14

∗

15

∗

16

∗

17

∗

18

∗

19

∗

20

1

∗

2

∗

3

∗

4

∗

5

∗¿=

7054320

¿

Ответ: 7054320 способов.

Пример

Для участия в команде тренер отбирает 5 мальчиков из 10. Сколькими

способами он может сформировать команду, если 2 определенных мальчика

должны войти в команду?

Решение

Т.к. известно, что двое мальчиков войдут в команду, то остается отобрать 3

из 8. Для выборки важен только состав (по условию все члены команды не

различаются по ролям). Следовательно, выборки – сочетания из n различных

элементов по k элементов, их число:

C

n

k

=

n !

k !

(

n

−

k

)

!

, где n!= 1

⋅

2

⋅

3

⋅

...

⋅

n , при

n=8, k=3.

C

8

3

=

8!

3 !

(

8

−

3

)

!

=

8 !

3 ! 5 !

=

6

∗

7

∗

8

1

∗

2

∗

3

=

56

.

Ответ: 56 способов сформировать команду.

Пример

В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем

каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных.

Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?

Решение

Способ 1. В одной игре участвуют 2 человека, следовательно, нужно

вычислить, сколькими способами можно отобрать 2-х человек из 15, причем

порядок в таких парах не важен. Воспользуемся формулой для нахождения

числа сочетаний (выборок, отличающихся только составом) из n различных

элементов по k элементов

C

n

k

=

n !

k !

(

n

−

k

)

!

, где n!= 1

⋅

2

⋅

3

⋅

...

⋅

n , при n=15, k=2.

C

15

2

=

15!

2 !

(

15

−

2

)

!

=

15 !

2 !

∗

13!

=

14

∗

15

1

∗

2

=

105

В процессе решения исключили 13! из15!, т.е. сократили произведение 15! =

1

⋅

2

⋅

3

⋅

...

⋅

15 на 13!= 1

⋅

2

⋅

3

⋅

...

⋅

13, остались после сокращения множители

14 и 15).

Способ 2. Первый игрок сыграл 14 партий (с2-м, 3-м, 4-м, и так до 15-го), 2-

ой игрок сыграл 13 партий (3-м, 4-м, и т.д. до 15-го, исключаем то, что с

первым партия уже была), 3-ий игрок − 12 партий, 4-ый − 11 партий, 5 –

10партий, 6 – 9 партий, 7 – 8 партий, 8 – 7 партий,

9 – 6

10 – 5

11 – 4

12 – 3

13 – 2

14 – 1, а 15-ый уже играл со всеми.

Итого: 14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=105 партий

Ответ: 105 партий.

Пример

Сколько различных дробей можно составить из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17 так,

чтобы в каждую дробь входили 2 различных числа? Сколько среди них будет

правильных дробей?

Решение

Различных дробей из 6 чисел: 3, 5, 7, 11, 13, 17 можно составить

C

6

2

∗

2

=

6 !

4 ! 2 !

∗

2

=

5

∗

6

=

30

штук (

C

6

2

способами выбираем два числа из 6, и двумя

способами составляем из них дробь: сначала одно число – числитель, другое

знаменатель и наоборот).

Из этих 30 дробей ровно 15 будут правильные (т.е., когда числитель меньше

знаменателя):

C

6

2

=

15

способами выбираем два числа из 6, и единственным

образом составляем дробь так, чтобы числитель был меньше знаменателя.

Ответ: 30; 15.

Пример с повторением.

В почтовом отделении продаются открытки 10 видов. Сколькими способами

можно купить 12 открыток для поздравлений?

Решение

По схеме получаем: n=10, k=12 , порядок не важен, повторения есть.

Нужна формула: Сочетания с повторениями ˉ

C

n

k

=

C

n

+

k

−

1

k

=

(

n

+

k

−

1

)

!

k !

(

n

−

1

)

!

.

Число способов купить 12 открыток равно числу выборок 12 (k) из 10 (n)

элементов (видов открыток) без учета порядка с повторениями:

ˉ

C

10

12

=

C

21

12

=

21 !

12! 9!

=

13

∗

14

∗

15

∗

16

∗

17

∗

18

∗

19

∗

20

∗

21

1

∗

2

∗

3

∗

4

∗

5

∗

6

∗

7

∗

8

∗

9

=

13

∗

5

∗

17

∗

2

∗

19

∗

7

1

=¿

293930.

Задачи на перестановки

Пример

Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове Гора и

Институт?

Решение

1) В слове «гора» четыре буквы, все они различны, поэтому можно

получить всего N

1

= 4!=1*2*3*4*24 различных слова.

2) В слове «институт» 8 букв, из них две буквы «и», три буквы «т» и по

одной букве «н», «с» и «у». Поэтому всего можно получить

перестановками букв N

2

=

8 !

2 !3 ! 1 ! 1! 1 !

=

1

∗

2

∗

3

∗

4

∗

5

∗

6

∗

7

∗

8

1

∗

2

∗

1

∗

2

∗

3

∗

1

∗

1

∗

1

=

3

∗

4

∗

5

∗

7

∗

8

=

3360

различных слов.

Ответ: 24 и 3360 слов.

Пример

Сколькими способами 4 человека могут разместиться в четырехместном

купе?

Решение

По схеме получаем: n=4,k= 4 , порядок важен (места в купе различны), нужно

выбрать все объекты, повторений нет.

Нужна формула: Перестановки P

n

= n! .

Значит, число различных размещений 4 человек в четырехместном купе – это

число всех перестановок из 4 элементов: N =4!=1*2*3*4=24 способа.

Ответ: 24.

Пример с повторением

Сколькими способами можно расставить белые фигуры (короля, ферзя, 2

ладьи, 2 слонов и 2 коней) на первой линии шахматной доски?

Решение.

По схеме получаем: n = 8,k=1+1+2+2+2+8, порядок важен (места на доске

различны), нужно выбрать все объекты, повторения есть (есть одинаковые

фигуры).

Нужна формула: Перестановки с повторениями ˉ

P

n

❑

(

k

1

, … , k

m

)

=

n !

k

1

!

∗

…

∗

k

m

!

Всего мест на первой линии 8, фигур расставляется также 8, из них 2

одинаковых встречаются три раза. По формуле числа перестановок с

повторениями получаем:

P

8

❑

(

1,1 ,2 ,2 ,2

)

=

8 !

1 !

∗

1!

∗

2 !

∗

2 !

∗

2!

=

1

∗

2

∗

3

∗

4

∗

5

∗

6

∗

7

∗

8

2

3

=

5040

Ответ: 5040 способов.

Глава2. Система задач по комбинаторике для начальной школы

2 класс

3 класс

4 класс

1. У кошки Мурки родилось 8 котят. Из них 6 – пушистые, а 5 – рыжие. Может

ли быть такое? Сколько одновременно рыжих и пушистых котят у Мурки?

Ответ: 6+5 – 8 = 3 котёнка.

2. Миша решил в воскресенье навестить дедушку, своего друга Петю и

старшего брата Володю. Сколько вариантов визитов получится, если он может

идти в гости в любом порядке?

ДПВ, ДВП, ВПД, ВДП, ПДВ, ПВД

Ответ: 6

3. Из цифр 2, 7, 3 составь все возможные двузначные числа (цифры могут в

числе повторяться). Сколько и какие из них больше 30?

32, 33, 37, 72, 73, 77.

Ответ: 6 чисел

4. Начерти отрезок АО. Поставь внутри него 2 точки, обозначь их буквами М и

К. Сколько всего получится отрезков?

А М К О

АМ, АК, АО, МК, МО, КО.

Ответ: 6 отрезков.

1. У Вити имеется 4 вида цветной бумаги (красная, синяя, желтая и зелёная) и 3

вида образца оригами животных (заяц, собака, голубь). Сколько вариантов

одного любого животного он может сделать из любого цвета?

4 ∙ 3 = 12

Ответ: 12 различных вариантов.

2. Шесть семей уехали отдыхать в разные города. Приехав к месту отдыха, они

поговорили друг с другом по телефону. Сколько звонков было сделано?

5 + 4 + 3 + 2 +1 = 15

Ответ: 15 звонков.

3.Как можно разместить на скамейке Настю, Таню, Мишу и Сережу, чтобы

мальчики и девочки чередовались? Сколько способов получилось?

Ответ: НМТС, НСТМ, ТМНС, ТСНМ, МТСН, МНСТ, СТМН, СНМТ. 8

вариантов.

4. Из цифр 2, 7, 5, 0 составь все возможные трёхзначные числа так, чтобы

цифры не повторялись. Сколько и какие из них больше 300?

507, 502, 570, 520, 705, 702, 720, 750

Ответ: 8

1.3. Сосчитай, сколько слов содержится в заклинании волшебника, если в

словах по три буквы, первая из них – Щ или Ц, второй могут быть О, Е, И, а

оканчиваются слова на Р, Х, К,

2 ∙ 3 ∙ 3 = 18

Ответ: 18

2. Из цифр 9, 7, 5, 0 составь все возможные четырёхзначные числа так, чтобы

цифры не повторялись. Сколько их?

5079, 5097, 5709, 5790, 5907, 5970, 7059, 7095, 7507, 7509, 7905, 7950, 9057,

9075, 9507, 9570, 9705, 9750

Решение умножением: на первом месте может быть 3 цифры, кроме 0, но

втором месте другие 3 цифры, на третьем месте только 2 цифры, на четвёртом

месте – только одна оставшаяся, т.е.

3∙3∙2∙1 = 18

Если бы в условии разрешили повторять цифры, то решение выглядело бы так:

3∙4∙4∙4 = 192 варианта (т.е. на первом месте нельзя брать 0, на всех

последующих местах можно брать все цифры)

Ответ: 18 чисел.

3. У клоуна четыре берета: красный (К), чёрный (Ч), жёлтый (Ж), зелёный (З) и

две рубашки: клетчатая (1) и полосатая (2). Сможет ли клоун в течение недели

надевать каждый день разные комплекты «берет — рубашка»? Докажи.

Сколько вариантов комплектов у тебя получилось?

4 ∙ 2 = 8, значит, на 1 неделю хватит.

Ответ: 8 комплектов, их хватит.

1. Начерти отрезок АО. Поставь внутри него 3 точки, обозначь их буквами М, К,

Е.

Сколько всего получится отрезков?

А М К Е О

АМ, АК, АЕ, АО, МК, МЕ, МО, КЕ, КО, ЕО.

Ответ: 10

2).4 парусника готовились к соревнованиям. У каждого спортсмена был свой

белый корабль, на корабле – два паруса. Судьи решили, что надо раскрасить

паруса, чтобы парусники были видны издалека, и было ясно, кто из спортсменов

идет впереди, кто запаздывает. Покажите, как по-разному раскрасили паруса,

если были всего 2 краски красная и синяя?

Ответ:

3. Из цифр 1, 7, 6 составь все возможные двузначные числа (цифры могут в

числе повторяться). Сколько и какие из них больше 20?

61, 66, 67, 71, 76, 77

Ответ: 6 чисел

4. У Алёши 12 кубиков. Из них 9 – синие, а на 7 написаны буквы. Сколько

синих кубиков с буквами?

Ответ: 9+7 – 12 = 4 .

1. Из города А в город В ведут пять дорог, а из города В в город С — три

дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?

А

С

В

Ответ: 5 ∙ 3 = 15 вариантов пути.

2. Пять друзей после отдыха в лагере обменялись фотографиями на память

(каждый подарил остальным одну свою). Сколько фотографий потребовалось?

4+4+4+4+4 = 20

Ответ: 20 фотографий.

3. Из цифр 9, 7, 5, 0 составь все возможные трёхзначные числа так, чтобы

цифры не повторялись. Сколько и какие из них меньше 900?

507, 509, 570, 590, 705, 709, 750, 790

Ответ: 8

4.У Кати в четверг 2 лёгких предмета – физкультура и изо, и 2 трудных

предмета – русский и математика. Как нужно составить расписание, чтобы

лёгкие предметы чередовались с трудными? Найди все варианты.

Ответ: ФМИР, ФРИМ, РФМИ, РИМФ, ИМФР, ИРФМ, МИРФ, МФРИ.

8 вариантов.

1.В знаменитой басне Крылова “Квартет” “Проказница Мартышка, Осел, Козел

да косолапый Мишка” герои пытались сесть, чтобы красиво сыграть музыку.

Сколько существует способов, чтобы рассадить четырех музыкантов?

ПОКМ ПОМК ПКОМ ПКМО ПМОК ПМКО

И т.д. каждый может быть впереди….

4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24

Ответ: 24

2. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова

«здание»?

Гласных – 3, согласных – 3

ЗА, ЗИ, ЗЕ, ДА, ДИ, ДЕ, НА, НИ, НЕ

3 ∙ 3 = 9

Ответ: 9

3. У Вити имеется 4 вида цветной бумаги (красная, синяя, желтая и зелёная) и 5

видов оригами животных (заяц, собака, лиса, голубь, кот) . Сколько вариантов

одного любого животного он может сделать из разного цвета?

4 ∙ 5 = 20

Ответ: 20 различных вариантов.

4. Из цифр 9, 7, 2 составь все возможные трёхзначные числа так, чтобы цифры в

числе повторялись. Сколько и какие из них меньше 900?

799, 797, 792, 779, 777, 772, 727, 729, 722, 277, 272,279, 227, 222, 229, 299, 292,

297.

Решение умножением: 2∙3∙3 = 18 – все числа, которые меньше 900

Ответ: 18 чисел.

1. Петя, Вася, Катя, Лиза и Миша участвуют в конкурсе чтецов. В каком

порядке выступят дети, если Миша будет первым, а Катя идёт сразу за Мишей?

Найди все варианты.

Ответ:

1) Миша, Катя, Лиза, Петя, Вася

2) Миша, Катя, Лиза, Вася, Петя

3) Миша, Катя, Петя, Вася, Лиза

4) Миша, Катя, Петя, Лиза, Вася

5) Миша, Катя, Вася, Петя, Лиза

6) Миша, Катя, Вася, Лиза, Петя

Всего 6 вариантов.

2. Как можно разместить на скамейке Настю, Таню, Мишу и Сережу, чтобы

мальчики и девочки чередовались? Сколько способов получилось?

Ответ: НМТС, НСТМ, ТМНС, ТСНМ, МТСН, МНСТ, СТМН, СНМТ. 8

вариантов.

3. Из цифр 1, 7, 9, 0 составь все возможные двузначные числа (цифры не

должны повторяться). Сколько и какие из них больше 20?

70, 71, 79, 90, 91, 97.

Ответ: 6 чисел

4. Начерти отрезок АО. Поставь внутри него 3 точки, обозначь их буквами М, К,

Е.

Сколько всего получится отрезков?

А М К Е О

АМ, АК, АЕ, АО, МК, МЕ, МО, КЕ, КО, ЕО.

Ответ: 10

1. В классе 30 человек.19-ходят на кружок по математике, 10-на кружок по

русскому языку, 1-человек ходит на русский и на математику. Сколько человек

не посещают кружки?

30 – (19 +10 - 1) = 2

Ответ: 2

2. На цветочной клумбе сидели шмель, жук, стрекоза, бабочка и муха. Двое

насекомых улетели. Какие пары насекомых могли улететь?Перечисли все

варианты.

ШЖ, ШС, ШБ, ШМ, ЖС, ЖБ, ЖМ, СБ, СМ, БМ.

2 ∙ 5 = 10 вариантов.

Ответ: 10 вариантов.

3. Сосчитай, сколько слов содержится в заклинании волшебника, если в словах

по три буквы, первая из них – Щ или Ц, второй могут быть О, Е, И, а

оканчиваются слова на Р, Х, К.

2 ∙ 3 ∙ 3 = 18

Ответ: 18.

4. Из цифр 9, 7, 5, 0 составь все возможные трёхзначные числа так, чтобы

цифры не повторялись. Сколько и какие из них меньше 900?

507, 509, 570, 590, 705, 709, 750, 790

Ответ: 8 чисел

1. На вершину горы ведут пять дорог. Сколькими способами турист может

подняться на гору и спуститься с нее, если по любой тропинке он может идти и

вверх и вниз?

5∙ 5 = 25

Ответ:25

2. В огороде у бабушки растут 3 белые, 2 алые и 4 чайных розы. Сколькими

различными способами можно составить букет из трех роз разного цвета?

Обозначим белые - Б1, Б2, Б3, алые - А1,А2, чайные - Ч1, Ч2, Ч3,Ч4.

Перечислим возможные варианты

Б1-А1-Ч1, Б1-А1-Ч2, Б1-А1-Ч3, Б1-А1-Ч4, Б1-А2-Ч1,Б1-А2-Ч2, Б1-А2-Ч3, Б1-

А2-Ч4

Б2- А1-Ч1, Б2-А1-Ч2, Б2-А1-Ч3, Б2-А1-Ч4, Б2-А2-Ч1,Б2-А2-Ч2, Б2-А2-Ч3, Б2-

А2-Ч4

Б3- А1-Ч1, Б3-А1-Ч2, Б3-А1-Ч3, Б3-А1-Ч4, Б3-А2-Ч1,Б3-А2-Ч2, Б3-А2-Ч3, Б3-

А2-Ч4

Рациональное решение умножением:

3 ∙ 2 ∙ 4 = 24

Ответ: 24 варианта.

3. У клоуна четыре берета: красный (К), чёрный (Ч), жёлтый (Ж), зелёный (З) и

три рубашки: клетчатая (1), полосатая (2), в горошек (3). Сможет ли клоун в

течение двух недель надевать каждый день разные комплекты «берет —

рубашка»? Докажи.

Сколько вариантов комплекта у тебя получилось?

Литература

1.

Арифметика: Учеб.для 5 кл. общеобразоват. учреждений / С. М.

Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. – 4-е

изд. – М.: Просвещение, 2003. – 255с..

2.

Болотов В. А. О введении элементов комбинаторики, статистики и

теории вероятностей в содержание математического образования

основной школы //Математика. – 2004. - №44. – с.45-47.

3. Виленкин Н. Я. Комбинаторика. – М.: Наука, 1969. – 328с.

4. H.Я. Виленкин, B.Г. Потапов. Задачник-практикум по теории

вероятностей c элементами комбинаторики и математической

статистике. 1979г.

5.Н.Я. Виленкин, А.Н. Виленкин, П.А.

Виленкин. Комбинаторика. М., 2006.

В.Е. Гмурман Теория вероятностей и математическая статистика. М., 2017.